Астронет > 4.1 Фиксированные фоны в ОТО, линеаризованная гравитация, полевая формулировка ОТО

Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node19.html

<< 4. Суперпотенциалы в ... | Оглавление | 4.2 Обобщенная полевая формулировка ОТО >>

Разделы

4.1 Фиксированные фоны в ОТО, линеаризованная гравитация, полевая формулировка ОТО

4.1.1 Геометрические и полевые теории

Общая терия отностительности является геометрической теорией в том смысле, что арена физических взаимодействий -- это пространство-время, которое в свою очередь является динамическим объектом и в равной мере участвует в этих взаимодействиях. Эта особенность теории придает ей красоту, стройность и внутреннюю самосогласованность, законченность. Но это же свойство влечет за собой проблемы. Пожалуй главные из них встречаются при определении и интерпретации энергии, и при квантовании.

Другая картина наблюдается в полевых теориях на фиксированном фоне (в частности в пространстве Минковского). Симметрии заданного пространства-времени очевидны и могут быть использованы для определения сохраняющихся величин, в частности -- энергии, для которой очевидно выделение вектора Киллинга временной трансляции на заданном фоне. В результате возникла идея: а нельзя ли построить теорию гравитации с заданным фоном? Может быть можно переформулировать ОТО с участием заданного фона и использовать преимущества такой формулировки? Кроме того, многие задачи в ОТО сами по себе требуют использования заданного вспомогательного пространства- времени. Для целей этих конретных задач часто вводились необходимые фоны, или вспомогательные метрики вводились. В результате, хотя бы и не имелось в распоряжении полной и самосогласованной теории такой процедуры, успешно изучались требуемые свойства.

4.1.2 Развитие полевой формулировки ОТО

Еще в 1918 году Эйнштейн [1] рассматривал гравитационные волны на фоне пространства Минковского. В последующие десятилетия, в разное время с разной интенсивностью, метод полевого подхода развивался. Многие исследователи в области ОТО либо ,,частным'' образом вводили и использовали заданный фон в ОТО, либо непосредственно развивали теорию метода. Во втором случае мы адресуем читателя к наиболее известным работам [2] $^{\!- }$ [11]. Работу Дезера [11] можно считать итоговой из этой серии. Сейчас, во многом следуя введению в этой работе, которое лучшим образом обобщает результаты предшественников, мы опишем способ и результаты этих работ в построении полевой формулировки ОТО.

Предположим, что требуется построить теорию гравитации (безотносительно к ОТО) на плоском фоне в лоренцевых координатах. То есть попытаемся построить терию гравитации как обычную полевую теорию, скажем как электродинамику в специальной терии относительности. Обычно рассматривались скалярный, векторный и тензорный варианты теории. По известным причинам и после известных тестов (см. учебник [12]) выживает тензорный вариант, линейные уравнения для которого

$\begin{displaymath} 2\hat G^L_{\mu\nu}(h) \equiv (h^{ ,\alpha}_{\mu\nu ,\alph... ...} - h^\alpha_{ \mu,\nu\alpha} - h^\alpha_{ \nu,\mu\alpha}) =0 \end{displaymath}$

(4.1)

описывают безмассовое поле спина 2. Уравнения (4.1) однозначно определяются квадрантичным лагранжианом L⁽²⁾_gr.

Развивая построение гравитационной теории, необходимо предположить, что источником оператора в уравнении (4.1) должен быть симметричный тензор энергии-импульса всех остальных полей $\phi$ :

$\begin{displaymath} G^L_{\mu\nu}(h) = \kappa T_{\mu\nu}(\phi,\eta). \end{displaymath}$

(4.2)

Дивергенция левой части этих уравнений тождественно обращается в нуль $\partial_\nu G^{L\nu}_\mu \equiv 0$ и из этого следует, что должен выполняться дифференциальный закон сохранения: $\partial_\nu T^{\nu}_\mu =0$ . Далее необходимо предположить, что уравнения (4.2) получаются не только эвристическим способом, но и варьированием некоторого общего ланранжиана, где поля $\phi$ взаимодействуют с гравитационным полем $h_{\mu\nu}$ . Здесь появляется противоречие: несоответствие закона сохранения $\partial_\nu T^{\nu}_\mu =0$ с уравнениями движения взаимодействующих полей $\phi$ . Другими словами: не могут поля $\phi$ сохраняться сами по себе. Взаимодействие проявляется в том, например, что в присутствие $h^{\mu\nu}$ пробные частицы уже не будут двигаться по геодезическим фона. Формально дело обстоит так: все уравнение (4.2), а значит и правая часть, получаются варьированием по $h^{\mu\nu}$ , но $T_{\mu\nu}(\phi,\eta)$ по определению есть также результат варьирования по фоновой метрике. Поэтому, как для аргументов материального лагранжиана, так и для тензора энергии-импульса необходимо сделать замену: $\lbrace \phi,\eta^{\mu\nu} \rbrace \rightarrow \lbrace \phi,\eta^{\mu\nu} + h^{\mu\nu} \rbrace$ . Кроме того поле $h^{\mu\nu}$ рассматривается на равных основаниях с другими полями, поэтому оно само должно стать источником в (4.2). Чтобы избежать противоречий предполагают, что источником в уравнениях (4.2) наряду с $T_{\mu\nu}(\phi,\eta + h)$ должен быть симметричный тензор энергии-импульса $t^{(2)gr}_{\mu\nu}(h)$ поля $h^{\mu\nu}$ , получаемый варьированием L⁽²⁾_gr по фоновой метрике:

$\begin{displaymath} G^L_{\mu\nu}(h) = \kappa \left(T_{\mu\nu}(\phi,\eta + h) + t^{(2)gr}_{\mu\nu}(h)\right). \end{displaymath}$

(4.3)

Но тогда, уравнениям (4.3) должен соответствовать уже кубичный, а не квадратичный гравитационный лагранжиан, то есть вместо L⁽²⁾_gr нужно использовать L⁽²⁾_gr + L⁽³⁾_gr. В результате противоречие возникнет на следующем уровне, и к правой части придется добавлять уже новый тензор энергии-импульса соответствующий новому гравитационному лагранжиану, и т.д. Чтобы полностью избежать противоречий, нужно эти итерации продолжить до бесконечности. В итоге, вместо (4.3) получим:

$\begin{displaymath} G^L_{\mu\nu}(h) = \kappa \left[T_{\mu\nu}(\phi, h + \eta) + \sum_{n=2}^\infty t^{(n)grav}_{\mu\nu}(h) \right], \end{displaymath}$

(4.4)

где в материальной части фоновая метрика и гравитационное поле входят только в виде суммы.

Оказывается, что ,,странные'' уравнения (4.4) есть не что иное, как уравнения Эйнштейна. Чтобы показать это, в них нужно сделать замену:

$\begin{displaymath} \sqrt{-g}g^{\mu\nu} \equiv \eta^{\mu\nu} +h^{\mu\nu}, \end{displaymath}$

(4.5)

после которой фоновая метрика $\eta^{\mu\nu}$ и поле $h^{\mu\nu}$ исчезают из явного рассмотрения и уравнения становятся обычными уравнениями ОТО зависимыми только от динамической энштейновской метрики $g^{\mu\nu}$ .

4.1.3 Формулировка Дезера

Достижение Дезера [11] состоит в том, что он обобщил предшестваующие результаты и ему удалось представить полевую формулировку ОТО без разложений и без итераций. Для этого он использовал так называемый формализм 1-го порядка, то есть формализм, где уравнения теории представляются дифференциальными уравнениями 1-го порядка. В качестве динамических переменных теперь используются два поля: $h^{\mu\nu}$ и $K^\alpha_{\mu\nu}$ . Теория построена также в пространстве Минковского и в лоренцевых координатах. Таким образом, вместо уравнений (4.5) получены уравнения:

$\begin{displaymath} G^L_{\mu\nu}(h) = \kappa \left( t^{gr}_{\mu\nu}(h,K) + t^{m}_{\mu\nu}\right) = \kappa t^{(tot)}_{\mu\nu}. \end{displaymath}$

(4.6)

Эквивалентность ОТО устанавливается после отождествлений:

$\begin{displaymath} \sqrt{-g}g^{\mu\nu} \equiv \eta^{\mu\nu} +h^{\mu\nu}, \Gamma^\alpha_{\mu\nu} \equiv K^\alpha_{\mu\nu}. \end{displaymath}$

(4.7)

Подстановка (4.7) в уравнеия Дезера (4.6) приводит к уранениям ОТО в форме уравнений Палатини, где используется два независимых динамических поля: метрика $g^{\mu\nu}$ и связность $\Gamma^\alpha_{\mu\nu}$ .

<< 4. Суперпотенциалы в ... | Оглавление | 4.2 Обобщенная полевая формулировка ОТО >>