Астронет > 3.2 Конформные векторы Киллинга для фридмановских моделей

Астронет: А. Н. Петров/ГАИШ Законы сохранения в ОТО и их приложения
http://variable-stars.ru/db/msg/1170672/node14.html

<< 3.1 Введение | Оглавление | 3.3 Законы сохранения и ... >>

Разделы

3.2 Конформные векторы Киллинга для фридмановских моделей

3.2.1 Метрика Фридмана. Конформные уравнения Киллинга

Напишем метрику $d\bar s^2$ фридмановского фона в безразмерных координатах $x^\mu= (x^0=\eta, x^k)$ с k,l,m=1,2,3 для которых симметричная роль x^k очевидна:

$\begin{displaymath} d\bar s^2= \bar g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu= a^2(d\eta^2-f_{kl} dx^kdx^l)= a^2 e_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu, \end{displaymath}$

(3.1)

где $a(\eta)$ -- масштабный фактор, а f_kl, f^kl и f=det(f_kl) заданы как

$\begin{displaymath} f_{kl} = \delta_{kl} + k {{\delta_{km}x^m \delta_{ln}x^n}\ov... ...kr^2 }, f^{kl}=\delta^{kl}-kx^k x^l, f={1\over 1-kr^2} \end{displaymath}$

(3.2)

для всех $k=0, \pm 1$ , и $r^2=\delta_{kl}x^k x^l$ . Ненулевые символы Кристоффеля имеют вид:

$\begin{displaymath} \bar \Gamma^0_{00}=\dot a, \bar \Gamma^0_{kl}=\dot a f_{kl... ...a^m_{0l}=\dot a \delta^m_l, \bar \Gamma^m_{kl}=kx^m f_{kl}, \end{displaymath}$

(3.3)

где $\dot a$ -- ,,безразмерная'' постоянная Хаббла:

$\begin{displaymath} \dot a = {1\over a}{da\over d\eta}. \end{displaymath}$

(3.4)

В этих обозначениях ненулевые компоненты фоновых уравнений Эйнштейна приобретают вид:

$\begin{displaymath} \overline{G}^0_0={3\over a^2}(k+\dot a^2)=\kappa\overline{T}... ...dot a^2+2\partial_0 \dot a)\delta^m_l=\kappa\overline {T}^m_l. \end{displaymath}$

(3.5)

Для сравнения вспомним определение обычных киллинговых векторов. Они удовлетворяют уравнениям ${\pounds_\xi} \bar g_{\mu\nu} = 0$ , то есть смещения вдоль этих векторов не индуцируют изменений в метрике $\bar g_{\mu\nu}(x) \rightarrow \bar g_{\mu\nu}(x)$ . Конформные киллинговы векторы удовлетворяют уравнениям

$\begin{displaymath} {\pounds_\xi} \bar g_{\mu\nu} = {1\over 4} \bar g_{\mu\nu}\bar g^{\rho\sigma} {\pounds_\xi} \bar g_{\rho\sigma}, \end{displaymath}$

(3.6)

а смещения вдоль этих векторов индуцируют конформные преобразования метрики

$\begin{displaymath} \bar g_{\mu\nu}(x) \rightarrow \Omega(x)\bar g_{\mu\nu}(x). \end{displaymath}$

(3.7)

И, наоборот, преобразования (3.7) не изменяют уравнений (3.6). Таким образом, нам будут интересны решения уравнений (3.6) с фоновой метрикой (3.1). Существует 15 линейно независимых решений. В силу того, что сами уравнения (3.6) не зависят от масштабного фактора, они могут быть записаны в простой 3-ковариантной форме:

$\begin{displaymath} \partial_0{\xi^0}={1\over 3}\nabla_k\xi^k,\qquad \partial_0 ... ... \xi^0,\qquad \nabla^{(k} \xi^{l)} = f^{kl}\partial_0{\xi^0}, \end{displaymath}$

(3.8)

где $\nabla_k$ -- 3-ковариантная производная построенная с помощью f_kl, и $\nabla^k=f^{kl}\nabla_l$ . Отметим также, что первое из этих уравнений есть след последнего. Несмотря на видимую простоту (3.8), решать их ,,напрямую'' непросто. К счастью, можно воспользоваться ,,конформными'' свойствами. В работе [10] конструируются и изучаются конформные киллинговы векторы плоского мира в координатах Минковского $X^\mu$ . Метрика $e_{\mu\nu}$ является конформной по отношению к метрике Минковского $\eta_{\mu\nu}$ , то есть в соответствующих координатах $x^\alpha$ : $e_{\mu\nu}=\Omega^2 \eta_{\mu\nu}$ глобально. В то же самое время конформные киллинговы векторы остаются теми же самыми, как для пространства Минковского, так и для конформного пространства Минковского, -- они не зависят от $\Omega$ . Далее необходимо только компоненты $\xi^\mu$ в координатах $X^\mu$ преобразовать в координаты $x^\mu$ в метрике (3.1). Преобразования координат от $X^\mu$ к $x^\mu$ в (3.1) уже построены в книге Пенроуза и Риндлера [11]. Осталось эти преобразования использовать, а для проверки подставить в (3.8).

3.2.2 Конформные векторы Киллинга в пространстве Минковского

Форма конформных векторов Киллинга в пространстве Минковского в лоренцевых координатах наиболее очевидна и становится наиболее ясной их интерпретация. Поэтому мы представляем их явный вид как это сделано в работе [10] и даем их краткое описание.

Рассматривается метрика Минковского

$\begin{displaymath} d\bar s^2= \eta_{\mu\nu}dX^\mu dX^\nu = dT^2 - \delta_{kl} dX^k dX^l. \end{displaymath}$

(3.9)

Существует 15-параметрическая группа конформных преобразований $X^\alpha \rightarrow {\tilde X}^\alpha$ , таких, что (3.9) переходит в


		$\displaystyle d\bar s^2= \Phi({\tilde X})\eta_{\mu\nu}d{\tilde X}^\mu d{\tilde X}^\nu.$

Эти преобразоваания имеют вид

$\begin{displaymath} {\tilde X}^\mu = a^\mu + A^\mu_\rho X^\rho + b X^\mu + {{X^\mu - B^\mu X^2}\over {1 - 2B_\mu X^\mu + B^2 X^2}}, \end{displaymath}$

(3.10)

где $\eta_{\mu\nu}A^\mu_\rho A^\nu_\sigma = \eta_{\rho\sigma}$ , $B^2 = \eta_{\mu\nu}B^\mu B^\nu$ , $X^2 = \eta_{\mu\nu}X^\mu X^\nu$ . Вариация уравнения (3.10) приводит к выражению, коэффициенты которого и есть компоненты конформных векторов Киллинга:

$\begin{displaymath} \delta {\tilde X}^\mu = \xi^\mu_{(\alpha)} \delta a^\alpha +... ...\xi^\mu_{[(0)]} \delta b + \xi^\mu_{[\alpha]} \delta B^\alpha. \end{displaymath}$

(3.11)

Первые два слагаемых представляют обычную группу движений, которая определяются ,,обычными'' векторами Киллинга, векторами 4-трансляций:

$\begin{displaymath} \xi^\mu_{(\alpha)} = \delta^\mu_\alpha \end{displaymath}$

(3.12)

и 4-вращений:

$\begin{displaymath} \xi^\mu_{([\alpha\beta])} =\left(\delta^\mu_\alpha\eta_{\beta\gamma} - \delta^\mu_\beta\eta_{\alpha\gamma}\right)X^\gamma. \end{displaymath}$

(3.13)

Третий член в (3.11) отвечает так называемым дилатонным (dilatation) или масштабным преобразованиям:

$\begin{displaymath} \xi^\mu_{[(0)]} = X^\mu. \end{displaymath}$

(3.14)

И, наконец, последний член в (3.11) соответсвует ,,4-ускорениям'':

$\begin{displaymath} \xi^\mu_{[\alpha]} =\left(\delta^\mu_\gamma\eta_{\alpha\beta... ... - \delta^\mu_\alpha\eta_{\beta\gamma}\right)X^\beta X^\gamma. \end{displaymath}$

(3.15)

3.2.3 Конформные векторы Киллинга в геометрии Фридмана

Поскольку компоненты (3.12) - (3.15) те же самые как и в конформно-плоской космологической метрике, необходимо лишь с помощью преобразований [11] (которые связывают метрику (3.1) с конформно-плоской метрикой Фридмана) переписать их в координатах ( $\eta, x^k$ ) метрики (3.1). Естественно, что все 15 линейно независимых векторов останутся конформными киллинговыми для решения (3.1), однако не все 10 векторов (3.12) - (3.13) останутся ,,обычными'' киллинговыми: киллингов вектор временных трансляций из (3.12) и 3 вектора лоренцевых вращений из (3.13) перестают быть киллинговыми для (3.1). После несложных, но громоздких вычислений получаем компоненты всех 15 векторов. Здесь нет необходимости давать явный вид этих векторов, мы приводим только их список. Их названия соответствуют конформным киллинговым векторам пространства Минковского. Это вектор временных трансляций t, 3 вектора пространственных трансляций ${\bf s}_a, a=1,2,3$ , 3 вектора пространственных вращений ( ${\bf r}_a$ ) и 3 вектора лоренцевых вращений ${\bf l}_a$ . Кроме этих векторов с ,,обычными'' названиями существуют еще дилатонный вектор ${\bf d}$ , вектор временнных ,,ускорений'' ${\bf a}$ и 3 вектора пространственных ,,ускорений'' ${\bf b}_a$ . Безотносительно к нашим приложениям, эти векторы интересны сами по себе. В недавней работе [12] были подробно изучены их групповые свойства.

<< 3.1 Введение | Оглавление | 3.3 Законы сохранения и ... >>