 |
Астронет: В. А. Батурин, И. В. Миронова Звезды: их строение, жизнь и смерть http://variable-stars.ru/db/msg/1170638/structure/physics/pressure/perfect2.htm |
| предыдущая |
Механическая модель для идеального газа
Модель для описания состояния газа - это некоторая молекулярно-кинетическая картина, позволяющая описать все или некоторые свойства газа. В нашем примере мы приведем черезвычайно простую модель, основанную на корпускулярном (атомарном) строении газов, и предсказывающую весьма ограниченное число его свойств - а именно - давление идеального газа. Однако опора на такую простую модель позволяет в дальнейшем уяснить, где и благодаря чему газу перестают быть идеальными в реальной жизни.
Если мы предположим, что каждая отдельная частица в газе (идеальном) обладает некоторой средней кинетической энергией, и является этаким абсолютно упругим шариком весьма малых размеров, то источником макроскопического давления в этой системе будет будет, очевидно, "бомбардировка" этими частицами стенок сосуда, в которую заключен газ. При этом абсолютно упругие отражения частиц от стенок создают силу, действующую на стенки, со стороны газа, которую принято называть давлением.
При этом для целей вычисления давления существенно лишь следующее:
- Каждая частица обладает кинетической энергией своего движения и средняя величина этой энергии не зависит от сорта частиц. Договоримся считать, что эта средняя энергия частиц равна e=3kT/2. (Почему именно такое выражение - в данный момент не существенно для нашей модели).
- Импульс отдельной частицы связан с ее кинетической энергией e=p2/2m. (смысл этого соотношения в том, чтобы считать наш газ нерелятивистский, то есть классическим). Более важно, импульсы частиц распределены изотропно, то есть все частицы движутся во всех направлениях равновероятно
Этих предположений достаточно, чтобы получить формулу для давления идеального газа. А именно, с учетом выполнения интерирования по углам
Упражнение. Считая, что энергии и импульсы все частиц одинаковы, и используя выражение для энергии в виде 3kT=pv, получите окончательное выражение для давления.
Отметим, что НЕ существенно для получения этой формулы. (1) Для вывода давления не важно, сталкиваются частицы между собой, или нет. Другими словами, они могут описывать совершенно прямые траектории во всем предоставленном им пространстве. Правда, без столкновений кажется сложным объяснить выравнивание кинетических энергий для частиц, и изотропию распределений импульсов. Однако не следует преувеличивать значение этих столкновений - если, как предполаглось, это абсолютно упругие столкновения, самих их факта недостаточно для строгого доказательства достижения термодинамического равновесия - то есть выравнивания энергий и изотропии импульсов. (2) В значительной мере все равно, каково рапределение количества частиц по энергиям - нужно только, чтобы средняя энергия была одинаковой (приравнивание ее указанной выше величине нужно для связи с температурой T). Можно считать, что все частицы имеют строго одну энергию, можно, что их энергии укладываются в некоторый интервал, или распределены в соответствии с нормальным (ограниченным) распределением или как то еще - на результат в отношении давления газа это влияет. (3) Наконец, некоторую путаницу вносит предположение о наличии стенок, о которые должны биться частицы. В общем случае отдельные объемы газа конечно не отделяются от других с помощью стенок. Однако такая стеночная картина связана с двумя обстоятельствами. С одной стороны, искомое давление понимается в механическом смысле - чтобы измерить силу давления газа, обязательно нужно иметь какую-то прощадку или стенку, на которую действует эта сила, или по площади которой производится усреднение. С другой стороны, рассуждения о давлении относятся к вполне конкретному числу частиц в выделенном объеме, что означает, изолирование имеено этих частиц и сохранение этого объема гипотетической непроницаемой, нерастяжимой оболочкой.
Упомянутые соотношения между импульсом и внутренней (кинетической) энергией частиц делают очевидным формулу для связи удельной внутренней энергией и давлением идеального газа
