 |
Астронет: К. А. Постнов/ГАИШ Лекции по Общей Астрофизике для Физиков http://variable-stars.ru/db/msg/1170612/7lec/node3.html |
<< 7.1 Эволюция звезд после | Оглавление | 7.3 Предел Чандрасекара и >>
7.2 Вырождение вещества
.
В процессе эволюции плотность и температура в центре звезды
растут. При росте плотности физическое состояние вещества
начинает изменяться - сначала из-за кулоновского взаимодействия
(пример - обычные твердые тела), а затем
из-за квантовомеханических эффектов
(вырождение электронного газа). Действительно, как следует из
астрономических наблюдений, компактные белые карлики имеют радиус
около 0.01 солнечного при массе порядка массы Солнца,
т.е. их средняя плотность 
г/см
. При такой плотности
межатомные расстояния меньше размеров электронных орбит в атомах
и электроны становятся свободными даже при нулевой
температуре 
и могут рассматриваться как газ.
Газ может рассматриваться как идеальный, пока
энергия взаимодействия между его частицами пренебрежимо мала по сравнению
с тепловой энергией. Приближение
идеального одноатомного газа с энергией на одну частицу 
прекрасно описывает поведение плазмы в центре
Солнца. Квантовомеханическим взаимодействием частиц можно пренебрегать
до тех пор,
пока характерные расстояния между ними меньше Де-Бройлевской длины
волны:
(
- концентрация
частиц). На малых расстояниях следует учитывать принцип Паули для
фермионов (частиц с полуцелым спином - электронов, нейтронов,
протонов, 
: в одинаковом квантово-механическом
состоянии не может находиться больше
одной частицы данного сорта. Для частиц с
целым спином - бозонов, например, фотонов, - наоборот, чем больше
частиц находятся в каком-либо состоянии, тем больше частиц стремятся
его занять (этим обусловлен, например, волновой шум в
радиоастрономии).
Когда газ фермионов вырожден, в фазовом пространстве
координат и импульсов частицы заполняют все состояния
вплоть до состояния с граничным импульсом (т.н. импульс Ферми),
зависящим от их концентрации
:
- постоянная Планка, 
- количество
фермионов (электронов в нашем случае), приходящихся на один барион
в веществе).
Оценка импульса Ферми по порядку
величины может быть получена из принципа неопределенности Гайзенберга:
,
,
откуда с учетом
получаем с точностью до множителя порядка
1 соотношение (7.1).
Для нерелятивистских ферми-частиц массы
с температурой T
, поэтому условия вырождения
начинают выполняться (а) либо при высокой плотности либо (б) при
низкой температуре:
Здесь
- энергия Ферми для нерелятивистских частиц.
Это выражение показывает, что чем меньше масса покоя
ферми-частицы, тем выше температура снятия вырождения.
При очень больших плотностях, 
г/см,
электроны становятся релятивистскими, для них
энергия Ферми
.
Пример. Рассмотрим
газ в центре Солнца, плотность 
г/см, вещество
полностью ионизовано, из-за электронейтральности плазмы концентрация
зарядов отрицательного знака (электронов) равна концентрации
положительных ионов, для чисто водородной плазмы
см
, температура 
кэВ
К,
т.е. электроны в центре Солнца невырождены.
Оценим давление электронного нерелятивистского ферми-газа.
Запишем связь кинетической
энергии нерелятивистского электрона с массой 
через импульс:
. C точностью до множителя порядка 1
давление
, где
- константа, зависящая от мировых постоянных и химического
состава вещества. В релятивистском случае
и
. Т.о. важнейшее свойство вырожденного
ферми-газа - его давление зависит от плотности вещества и
почти
не зависит от температуры, в отличие от идеального
газа, в котором давление пропорционально произведению плотности на
температуру 
.
Покажем, что звезда, давление вещества которой определяется
нерелятивистским вырожденным электронным газом (белый карлик), имеет
обратное соотношение масса-радиус. Из уравнения гидростатического
равновесия имеем:
С учетом
и
получаем
в отличие от стационарных звезд главной последовательности, радиус которых увеличивается с массой
.
Радиусы типичных белых карликов с массой Солнца
порядка 1/100 радиуса Солнца. Обратная зависимость масса-радиус
для белых карликов полностью подтверждается наблюдениями.
Отметим, что для более тяжелых
фермионов - нейтронов - аналогичная конфигурация
(нейтронная звезда), должна иметь радиус примерно в
раз меньше, т.е. порядка нескольких
километров. Это следствие соотношения
).
<< 7.1 Эволюция звезд после | Оглавление | 7.3 Предел Чандрасекара и >>