Астронет: К. А. Постнов/ГАИШ Лекции по Общей Астрофизике для Физиков http://variable-stars.ru/db/msg/1170612/10lec/node3.html

---

<< 10.1 Фридмановская космология | Оглавление | Литература >>

10.2 Модели Фридмана с космологической постоянной

Как отмечалось выше, современные данные убедительно свидетельствуют в пользу наличия значительной доли полной энергии Вселенной в форме космологической постоянной (с эффективным уравнением состояния ) или гипотетической квинтэссенции с . Поэтому ниже для справок мы приводим основные формулы модели однородной изотропной Всленной (модель Фридмана- Робертсона-Уокера) с космологической постоянной.

Однородная и изотропная Вселенная может быть описана нестационарной (т.е. зависящей от времени) метрикой специального вида (т.н. метрика Фридмана-Робертсона-Уокера)

где постоянная определяет одну из трех возможных глобальных топологий пространства (плоское, , постоянной положительной кривизны, , постоянной отрицательной кривизны, ). - масштабный фактор, единственная зависящая от времени величина.

Замечание. Из вида интервала , где - элемет координатного расстояния, автоматически получается закон Хаббла. Действительно, как следует из записи для интервала, физическое расстояние есть , т.е. . Пусть координаты точек не меняются, . Скорость изменения физического расстояния тем не менее не равна нулю . Интегрируя вдоль геодезической (т.е. вдоль луча распространения света), получается закон Хаббла: , где - "постоянная" Хаббла.

Подставляя этот интервал в уравнения ОТО Эйнштейна, получаем уравнения Фридмана для эволюции масштабного фактора. Приведем их без вывода сразу для ненулевой космологической постоянной (которая, вообще говоря, может быть функцией времени). Уравнение энергии:

Уравнение движения:

Уравнение неразрывности:

Замечания 1. В этих уравнениях нет произвольных констант, т.е. при заданной топологии ( ) и эволюция происходит по определенному закону, зависящему от связи давления и плотности (уравнение состояния).

2. Обозначим - параметр Хаббла, и поделим на обе части уравнения энергии (10.11). Вводя безразмерные переменные , , записываем уравнение энергии в компактном виде

для любого момента времени.

3. Космологическая постоянная имеет размерность см. В безразмерной записи современные наблюдения указывают на значение , откуда следует, что в современную эпоху "плотность энергии вакуума" (именно физический вакуум может играть роль положительной космологической постоянной с )

Плотность энергии вакуума не изменяется при адиабатическом расширении (это немедленно следует из первого начала термодинамики и соотношения для вакуума). Плотность энергии вакуума сладывается из нулевых колебаний во всем диапазоне частот (волновых чисел ) и для физически разумных масштабов энергии Великого объединения ГэВ см огромна: эВ см, то есть на 125 порядков величины больше наблюдаемого значения! Даже понижая масштаб эненргий до физически проверенных в лаборатории масштабов энергии ГэВ остается колоссальная разница. Эта проблема наблюдаемой малости энергии вакуума (если интерпретировать наблюдения в терминах моделей с космологической постоянной) известна в физике как проблема космологической постоянной и пока не решена.

4. Уравнение (10.12) можно переписать в виде уравнения движения точки на поверхности сферы радиуса (см. предыдущее рассмотрение) с массой :

Здесь полная "гравитационная масса" равна и отражает упоминавшийся выше факт, что "давление весит" в ОТО. Из уравнения (10.15) следует, что частица на сфере испытывает как действие силы притяжения полной массой , так и силу отталкивания , которая вызвана положительной космологической постоянной и возрастает с расстоянием. (В теоретически допустимом случае отрицательной космологической постоянной появилась бы дополнительная сила "притяжения", формально похожая на силу, обеспечивающую конфайнмент кварков в адронах). Очевидно, космологическая постоянная динамически важне только на больших масштабных факторах.

5. Знак пространственной кривизны (т.е. гауссовой кривизны 3-мерной гиперповерхности постоянного времени) не изменяется в ходе эволюции Вселенной, хотя величина ее, разумеется, зависит от времени. Подчеркнем, что топология определяется полной плотностью энергии, которая включает в себя плотность всех видов материи (видимой (барионной) и невидимой (небарионной)), имеющих положительное давление и являющихся источником гравитации, и плотность "невидимой энергии" (англ. "dark energy" - космологической постоянной или квинтэссенции) с отрицательным давлением, создающих антигравитацию в больших масштабах: . Современные наблюдения (см. выше) дают , т.е. возможный радиус кривизны больше нескольких Хаббловских радиусов см.

6. В интересующем нас случае для пылевидной материи (без давления, ) есть аналитическое решение для роста масштабного фактора

которое гладко переходит от знакомого нам степенного закона роста ( ) к стадии экспоненциального расширения ( ). Красное смещение , на котором происходит смена режима ускорения на замедление, в плоской модели с космологической постоянной (т.е. при ) находится по формуле . Новейшие наблюдательные данные по далеким сверхновым типа Ia (самая далекая SN 1997ff имеет красное смещение ) свидетельствуют в пользу плоской модели с , т.е. красное смещение, начиная с которого Вселенная расширяется с ускорением, всего около (Рис. 10.6).

Подробный анализ эффектов, связанных с положительной космологической постоянной в FRW-моделях можно найти в электронном препринте А.А. Старобинского и В. Сахни astro-ph/9904398. Новейшие наблюдательные данные и ряд вопросов, связанных с космологической постоянной, обсуждаются в обзоре А.Д. Чернина (УФН, 2001)

---

<< 10.1 Фридмановская космология | Оглавление | Литература >>