Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node53.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 8.1 Идея искривленного ... | Оглавление | 8.3 Физика искривленного ... >>

8.2 Параллельный перенос векторов

Что такое параллельный перенос в евклидовом пространстве, всем понятно: при переносе должны оставаться постоянными компоненты вектора в декартовых координатах. Однако уже в плоском пространстве, но в криволинейных координатах, например, в полярных, это не так просто определить.

При параллельном переносе в плоском пространстве сохраняется направление вектора. В частности, сохраняются углы, образуемые вектором с прямой (т. е. геодезической), соединяющей исходную и конечную точки переноса. При обходе замкнутого контура положение вектора совпадает с исходным. В искривленном пространстве это не так. Легче всего это понять на примере сферы8.1 (см. рис. 51). Выйдем из полюса с вектором, направленным по меридиану. Дойдем до экватора и перенесем вектор параллельно самому себе вдоль экватора, после чего вернемся по другому меридиану на полюс. Очевидно, что конечное положение вектора не совпадает с исходным и угол поворота $ \alpha $ равен как раз избытку углов треугольника над $ 180^{\circ}$. При малых $ \alpha $

$\displaystyle \vert\Delta\vec{A}\vert=\vert\vec{A}\vert\alpha=\vert\vec{A}\vert S/R^2, $

где $ S$ -- площадь треугольника.

Приращение вектора $ \Delta\vec{A}\perp\vec{A}$, так как длина вектора не меняется.

Рис. 52.

Кривизна двумерной поверхности характеризуется только одним числом (например, радиусом кривизны $ R$). Надо понимать, что эта кривизна не обусловлена рассматриванием ее из трехмерного мира. Это число характеризует внутреннюю геометрию двумерной поверхности.

Например, поверхность цилиндра с точки зрения трехмерного наблюдателя искривлена. Ее внешняя геометрия характеризуется двумя радиусами кривизны: одним конечным $ R_1$ и другим $ R_{\infty}$ (рис. 52). Но с точки зрения двумерного существа все геометрические фигуры на этой поверхности имеют те же свойства, что и фигуры на плоском листе (сумма углов треугольника равна $ \pi$ и т. п.). Таким образом, цилиндр является примером плоской поверхности (от обычной плоскости он отличается только топологией).

Другой пример -- конус. Коническая поверхность везде плоская, кроме одной точки, но в этой точке кривизна ведет себя подобно $ \delta$-функции. Поэтому там, где входят интегралы от кривизны, мы получаем конечный вклад от этой одной точки.

Приращение компонент вектора $ \vec{A}=(A_1,\;A_2)$ при параллельном переносе по бесконечно малому контуру площади $ \Delta f$ на поверхности в некоторой системе координат $ x_1$, $ x_2$ можно записать в виде:

$\displaystyle \Delta A_1=\kappa\;A_2\;\Delta f, $

$\displaystyle \Delta A_2=-\kappa\;A_1\;\Delta f, $

т. е. матрица этого преобразования имеет вид $ \left(\begin{array}{cc} 0 & \kappa \\ -\kappa & 0 \\ \end{array}\right)$. Здесь $ \kappa$ -- внутренняя кривизна поверхности (на сфере $ \kappa=1/R$). Такой вид матрицы преобразования связан с условием сохранения длины вектора.

В трехмерном (и более общем) случае изменение компонент вектора при параллельном переносе зависит также от ориентации элементарных площадок, определяемых контуром пути переноса. Поэтому изменение компонент вектора при параллельном переносе по контуру, ограничивающему малую двумерную поверхность $ \Delta f^{lm}$, описывается формулой

$\displaystyle \Delta A^i={1\over 2}R^i_{klm}A^k\,\Delta f^{lm}, $

где $ R^i_{klm}$ -- так называемый тензор кривизны. Как это принято, здесь подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. В силу свойств симметрии в четырехмерном случае $ R^i_{klm}$ имеет 20 независимых компонент.

Тензор $ R^i_{klm}$ выражается через метрику $ g_{ik}$, точнее говоря через $ g_{ik}$, $ \partial g_{ik}/\partial x^l$ и $ \partial^2g_{ik}/\partial x^l\partial x^m$.

Поэтому, если известна метрика $ g_{ik}$, то известна и кривизна в каждой точке. И наоборот, если известен тензор кривизны $ R^i_{klm}$, то геометрия пространства полностью известна. Заметим, что если $ R^i_{klm}$=0, то пространство плоское, и существует такое преобразование координат, которое преобразует выражение $ ds^2= g_{ik}dx^i dx^k$ к псевдоевклидову виду: $ ds^2=\delta ^{ik}dx^i dx^k$.


HREF="node52.html">8.1 Идея искривленного ... | Оглавление | 8.3 Физика искривленного ... >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования