Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node45.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 6.6 Определение возраста скоплений | Оглавление | 7. Новые физические факторы... >>

6.7 Качественная картина эволюции звезды

Эволюция звезд с массой больше и меньше 2,5$ \,M_\odot$ идет по-разному. При $ M>2,5\,M_\odot$ в изотермическом гелиевом ядре растет температура и в дальнейшем возможно зажигание и спокойное горение гелия. Для звезд с меньшей массой в изотермичесом ядре наступает вырождение, при котором сила тяжести уравновешивается давлением вырожденных электронов. Если в таком ядре начнутся ядерные реакции, то при его достаточно большой массе может произойти термоядерный взрыв, так как повышение температуры почти не будет сопровождаться одновременным повышением давления. При массах $ 4\,M_{\odot}<M<8\,M_{\odot}$ наступает вырождение углерода в центре. Возможны условия, когда углеродное ядро звезды сгорает почти мгновенно и может быть достигнута светимость $ \sim$ $ 10^{10}\;L_{\odot}$. Такой взрыв может быть отождествлен со вспышкой сверхновой.

В этом разделе мы хотим на простых формулах (хотя и приближенных) показать, как в результате эволюции, из-за вырождения в центре, теплоемкость звезды может стать положительной, и возникает тепловая неустойчивость.

Вся суть в том, что мы рассматриваем эволюцию звезды с данной массой, причем $ P$ и $ \rho $ связаны между собой условиями гидростатического равновесия. Эволюция постепенно меняет связь между $ P$ и $ \rho $. При этом нельзя забывать, что звезда является протяженной, неоднородной системой, поэтому необходимо говорить либо о средних значениях $ <\!\!P\!>$ и $ <\!\!\rho\!>$, либо о значениях в центре $ P_c$ и $ \rho_c$. Ниже для определенности будем рассматривать $ P_c$ и $ \rho_c$.

Структуру звезды можно приближенно описать политропой. Пусть индекс политропы $ n=3$. Тогда

$\displaystyle P(r)=P_c (\rho/\rho_c)^{4/3}, $

$\displaystyle <\!\!\rho\!>={1\over {54}}\;\rho_c,\qquad P_c=\underbrace{P_1\;GM^{2/3}}_a\;\rho_c^{4/3}. $

Ниже индекс $ c$ будем опускать. Итак,

$\displaystyle P=a\rho^{4/3} $

где $ a\sim M^{2/3}$.

Рассмотрим сначала предельный случай вырожденного электронного газа с $ T=0$. Тогда давление связано с плотностью по формуле

$\displaystyle P=$const$\displaystyle \cdot \rho\;\Bigl[\underbrace{\left((m_ec^2)^2+p_{\mbox{\sc f}}^2c^2 \right)^{1/2}}_{E_{\mbox{\sc f}}}-m_ec^2\Bigr], $

где $ p_{\mbox{\sc f}}=m_ecx$, $ x=(\rho/\mu_e\cdot 10^6)^{1/3}$. (Эта формула не точная! Но она правильно передает асимптотики уравнения состояния вырожденного газа.) Видим, что при $ x=1$, $ p_{\mbox{\sc f}}=m_ec$, следовательно, $ x=1$ отмечает границу релятивизма (см. 2.4). Итак,

$\displaystyle P\sim\rho\;\left[\left((m_ec^2)^2+b\rho^{2/3}\right)^{1/2}-m_ec^2\right]\,. $

Учтем теперь вклад давления теплового движения частиц, вводя функцию $ f(T)$, такую что

$\displaystyle P\sim \rho \,\left[\left((m_ec^2)^2+b\rho^{2/3}+f(T)\right)^{1/2}-m_ec^2\right]=a\rho^{4/3}.$ (6.2)

Здесь $ f(T)$ -- растущая функция температуры, причем в нерелятивистской области $ f\sim T$, а в ультрарелятивистской $ \sim T^2$. Перепишем соотношение (2) в виде

$\displaystyle \left((m_ec^2)^2+b\rho^{2/3}+f(T)\right)^{1/2}=y\rho^{1/3}+m_ec^2, $

где $ y\sim a$ -- некоторая новая константа, и возведем последнее соотношение в квадрат. Тогда $ (m_ec^2)^2$ сократится, и мы получим

$\displaystyle f(T)=2y\rho^{1/3}m_ec^2+(y^2-b)\rho^{2/3}. $

При $ \rho \to 0$ (нерелятивистская область) $ f(T)\sim T$ и отсюда

$\displaystyle T\sim \rho^{1/3}M^{2/3}, $

поскольку $ y\sim a\sim M^{2/3}$. Итак, мы получили один из вариантов теоремы вириала.

При больших плотностях поведение температуры зависит от того, положительна или отрицательна скобка $ (y^2-b)$ при $ \rho^{2/3}$. Если $ y^2<b$ (т. е. масса мала, $ y\sim M^{2/3}$ и скобка отрицательна), то легко увидеть, что существует равновесие при $ T=0,\;\rho\neq 0$, и кроме этого есть максимум температуры (рис. 40). Легко найти соотношение между максимальной плотностью ($ T=0$) и плотностью, соответствующей максимуму температуры: $ \rho_{\mbox{\sc t}\,\max}\simeq \left.\frac{1}{8}\rho\right\vert _{T=0}$ (так как $ \rho^{1/3}_{\mbox{\sc t}\,\max}=\left.{1\over 2} \rho^{1/3}\right\vert _{T=0}$). Таким образом, мы видим, что при постепенном сжатии температура растет, достигает максимума, а затем убывает. Найдем асимптотику $ T_{\max}$ для малых масс. Имеем

$\displaystyle \left.\rho\right\vert _{T=0}\sim (y/b)^3\sim M^2, $

отсюда

$\displaystyle T_{\max}\sim\rho^{1/3}\sim M^{2/3}. $

Конкретные расчеты показывают, что для масс, меньших чем $ 0,08\div 0,10\,M_{\odot}$, максимально возможная температура ниже значения, при котором начинает гореть водород. Этот предел слабо зависит от химического состава звезды, так как он получается из общих термодинамических соотношений. Можно также найти, что для масс $ M<0,35\,M_{\odot}$ не загорается гелий, т. е. не идет $ 3\alpha$-реакция $ 3\,{}^{4}{\mathrm{He}}\rightleftarrows\mathrm{C}$, а при $ M<0,8\,M_{\odot}$ не горит углерод (в реакции $ {}^{12}{\mathrm{C}}+{}^{12}{\mathrm{C}}\rightleftarrows{}^{24}{\mathrm{Mg}}$). Наличие максимума температуры важно и в другом отношении. Именно благодаря замедлению роста температуры в маломассивных звездах с ростом центральной плотности звезда попадает в область вырождения (см. рис. 40). Если это происходит при достаточно высокой температуре, то взрыв неизбежен.

Рис. 41.

При $ y^2<b\qquad(M<M_{Ch}=1,4\;M_{\odot})$ образуются белые карлики. Массы наблюдаемых белых карликов $ \sim$ $ 0,6\;M_{\odot}$. Но звезда с массой $ \sim$ $ 0,6\;M_{\odot}$ живет на главной последовательности около $ 3\cdot10^{10}$ лет, т.е. больше возраста Вселенной. Это еще один аргумент в пользу того, что наблюдаемые сейчас белые карлики произошли из более массивных звезд, которые в процессе эволюции потеряли значительную часть своей массы. Кроме того, имеются двойные звездные системы, состоящие из белого карлика с массой порядка $ 0,6\,M_{\odot}$, и звезды главной последовательности с массой порядка $ 2\,M_{\odot}$. Такое сочетание объектов возможно только лишь в том случае, если на месте белого карлика ранее была более массивная звезда, потерявшая на стадии красного гиганта большую часть своей массы. Почти вся утерянная масса может быть захвачена вторым компонентом.

Теперь рассмотрим случай больших масс $ (y^2>b,\;M>1,4\;M_{\odot}$ -- чандрасекаровский предел). Для этих масс в рамках наших приближенных расчетов нет ограничений на рост плотности и температуры (рис. 41). Загорание тяжелых элементов (C, O, Mg) начинается в невырожденных условиях. Но следует помнить, что мы предполагали постоянство числа электронов, неизменность химического состава, не учли эффекты ОТО. На самом деле из-за этих эффектов при достижении некоторой критической плотности начнутся катастрофические события.

Задача. Расчет космологических моделей дает содержание дейтерия относительно водорода $ 10^{-3}$-$ 10^{-4}$. Найти значение массы звезды, при которой пойдет реакция

$\displaystyle \rm {D}+p\to{}^{3}{\mathrm{He}}+\gamma, $

(т. е. нужно проверить не только, сможет ли начаться реакция, но и успеет ли она пройти по сравнению со временем остывания, задержит ли она остывание).
<< 6.6 Определение возраста скоплений | Оглавление | 7. Новые физические факторы... >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования