Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node21.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 3.2 Основные понятия ... | Оглавление | 3.4 Тормозное излучение зарядов >>

3.3 Кинетика фотонов и формула Планка

Рассмотрим теперь, как меняется функция распределения фотонов с учетом их взаимодействия с веществом. Пусть имеется среда из атомов, которые могут находиться только в двух состояниях -- в основном и возбужденном, и разность между этими уровнями равна $ h\nu$, и пусть имеется $ N$ атомов/ см$ ^3$ в основном состоянии и $ N^*$ -- в возбужденном. Тогда кинетическое уравнение для числа заполнения можно записать в виде

$\displaystyle {dn\over {dt}}=N^*w-nN\,\sigma\,c,$ (3.2)

где первый член в правой части учитывает увеличение числа квантов в результате их испускания возбужденными атомами с вероятностью $ w$, а второй член -- уменьшение $ n$ при поглощении их невозбужденными атомами, $ \sigma\;[$см$ ^2]$ -- сечение возбуждения. Из квантовой механики известно, что вероятность поглощения $ N \sigma c$ тождественно равна вероятности испускания $ w$ (так как прямой и обратный процессы описываются одним матричным элементом). В кинетическом уравнении (3.2) испускание квантов определяется только свойствами вещества и его состоянием. Однако существует вынужденное, или индуцированное, испускание: вероятность испускания квантов в какое-то состояние пропорционально числу квантов, уже имеющихся в этом состоянии. Как говорит теория (и опыт), полная вероятность испускания есть $ w(1+n)$, и с учетом вынужденного излучения кинетическое уравнение запишется в виде

$\displaystyle {dn\over {dt}}=w[N^*(1+n)-Nn]=w[N^*-n(N-N^*)]. $

Отметим, что при $ N^*>N$ возможен экспоненциальный рост плотности излучения (мазерный эффект). А в астрофизических условиях такая неравновесная ситуация может встречаться только в газовых туманностях (источники ОН и т.п.).

В условиях локального термодинамического равновесия, которое осуществляется внутри звезд, ничего подобного быть не может, так как распределение атомов по энергиям описывается формулой Больцмана:

$\displaystyle N^*=Ne^{-E/kT}. $

Поскольку $ E=h\nu$

$\displaystyle {dn\over {dt}}=w N[e^{-h\nu/kT}-n(1-e^{-h\nu/kT})]. $

В равновесии

$\displaystyle {dn\over {dt}}=0\;$и$\displaystyle $

$\displaystyle n={1\over {e^{h\nu/kT}-1}}, $

это формула Планка.

Легко убедиться, что равновесие устойчиво. Запишем уравнение кинетики в виде

$\displaystyle {dx\over {dt}}=a-bx. $

Введем $ y=x-a/b$, тогда $ {dy\over {dt}}=-by$, и общее решение есть

$\displaystyle x={a\over b}+ke^{-bt}, $

$ x=a/b$ -- это равновесное решение, а общее решение описывает приближение к нему, что и доказывает устойчивость.

Рассмотрим предельные случаи формулы Планка.

1. Рэлей -- Джинсовская область. $ x=h\nu/kT\ll 1$. Используя разложение $ e ^x=1+x+\ldots$, получим для числа заполнения: $ n={1\over x}={kT\over {h\nu}}\gg 1$, а для интенсивности $ F_\nu={2nh\,\nu\over \lambda^2}={2kT\over \lambda^2}$. Как видим, в последнее выражение постоянная Планка не входит. Формула $ F_\nu={2kT\over \lambda^2}$ первоначально была получена в классической теории. Колебания электромагнитного поля можно представить набором осцилляторов, каждый из которых имеет энергию $ kT$. Ясно, что формула Рэлея -- Джинса неприменима при малых $ \lambda$ из-за расходимости интеграла $ \int F_\nu d\nu$ (ультрафиолетовая катастрофа). Кроме того, при $ h\nu /kT>1$ она не согласуется с опытом. Но при $ h\nu /kT>1$ следует использовать другое предельное разложение формулы Планка.

2. Виновская область: $ h\nu/kT>1,\;n=e^{-h\nu/kT}\ll 1$. Это распределение имеет вид формулы Больцмана. Ее мы получили бы, если бы пренебрегли в кинетическом уравнении индуцированным излучением (так как $ n\ll 1$). Точное выражение для плотности энергии

$\displaystyle \varepsilon_r={c\over {\pi^2\hbar^3}}\int\limits_0^\infty np^3dp={c\over {\pi^2\hbar^3}} \int\limits_0^\infty {p^3dp\over {e^{cp\over {kT}}-1}}= $

$\displaystyle ={\left({kT\over c}\right)}^4\,{c\over {\pi^2\hbar^3}}\int\limits_0^\infty {x^3dx\over {e^x-1}}=7,56\cdot 10^{-15}T^4\;\mbox{эрг}/\mbox{см}^3. $

Здесь использован табличный интеграл:

$\displaystyle \int\limits_0^\infty {x^3dx\over {e^x-1}}={\pi^4\over {15}}\simeq 6,49\,. $

Максимум функции распределения энергии по частоте приходится на $ x\simeq 2,7$, т.е. $ h\nu=2,7\;kT$.

Замечание. Отметим, что формула Вина очень удобна для приближенного вычисления интегральных величин в теории излучения. Например, при вычислении полной энергии точное выражение $ \int {x^3dx\over {e^x-1}}$ можно заменить приближенным интегралом $ \int e^{-x}x^3dx$. В этом случае $ x_{\max}=3$, а интеграл $ \int\limits_0^ \infty e^{-x}x^3dx=3!=6$ (сравните с точным значением $ \pi^4/15=6,49$). Виновское приближение является первым членом в разложении функции Планка:

$\displaystyle {1\over {e^x-1}}=e^{-x}{1\over {1-e^{-x}}}=e^{-x}+e^{-2x}+e^{-3x}+\cdots $

и

$\displaystyle \int {x^3dx\over {e^x-1}}=\int e^{-x}\,x^3dx+\int e^{-2x}\,x^3dx+\cdots= $

$\displaystyle =3!\left(1+{1\over 2^4}+{1\over 3^4}+\cdots\right). $

Это выражение наглядно демонстрирует роль остальных членов, которые дают вклад около 7%.

Используя Виновское приближение, легко вычислить, какая доля энергии излучается в области частот б $ \acute {\mbox{о}}$льших некоторых. Например,

$ x>3,\;\;\;h\nu>3\,kT$ -- 60%

$ x>4,\;\;\;h\nu>4\,kT$ -- 40%

$ x>10,\;\;\;h\nu>10\,kT$ -- 6%.

Отметим, что несмотря на экспоненциальный множитель существенная доля энергии (6%) излучается при $ x>10$.

Ранее в кинетическом уравнении $ {dn\over {dt}}=N^*w(1+n)-N\,\sigma cn,\; w=\sigma c$, мы предполагали, что $ w$ -- вероятность перехода с одного уровня на другой. В действительности уровни имеют некоторую ширину (размыты), и полная вероятность перехода определяется интегралом (Размерность $ [W]=$с$ ^ {-1}$ в отличие от $ [w]=$см$ ^3\cdot$   с$ ^ {-1}$.)

$\displaystyle W={c\over {(2\pi\hbar)}^3}\sum\limits_{r=1,2} \int \sigma\,(\nu,\;\Omega,\;r)\,p^2dpd\Omega, $

где $ \sum\limits_{r=1,2}$ учитывает два возможных состояния поляризации. Расчет сечения $ \sigma$ (классический, либо квантовомеханический) дает формулу

$\displaystyle \sigma=\sigma_{\max}{(W/2)^2\over {(\omega-\omega_0)^2+(W/2)^2}}\qquad($формула Лоренца$\displaystyle ). $

Подставляя это выражение в интеграл для $ W$, который запишем в виде

$\displaystyle W={1\over \lambda^2}\int \sigma\,(\nu)\,d\nu, $

получим, что $ \sigma_{\max}=\lambda^2/\pi$.

Рассмотрим причины размытости уровней. В нулевом приближении по квантовой теории возможны только строго определенные энергетические уровни. В следующем приближении появляется возможность переходов между энергетическими состояниями атома, и в силу нестационарности состояний уровни энергии оказываются размытыми -- по принципу неопределенности на величину $ \Delta E\sim hW$. Испускаемые кванты будут иметь размытость порядка $ W$ по частоте.

Вероятности распада могут быть разными. Например: переход с уровня $ 2P$ в основное состояние атома водорода происходит за $ 1,6\cdot 10^{-9}\;$с, в то время как в линии в 21 см за $ 10^6$ лет. Важно, что при этом изменяется только ширина $ \sigma$, пропорциональная $ W$, но всегда $ \sigma_{\max}=\lambda^2/\pi$ (рис. 17).

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f17.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 17.

Все это верно для одного изолированного атома. В действительности атомы взаимодействуют. В реальном газе существует ряд причин, по которым спектральные линии расширяются: столкновения частиц, допплер-эффект, штарк-эффект. При этом может случиться, что $ \sigma_{\max}$ окажется меньше. Например, из-за допплер-эффекта должен сохраняться интеграл $ \int \sigma d\omega$ и $ \sigma_{\max}$ снижается.

Следует помнить, что естественная высота сечения $ \sigma_{\max}=\lambda^2/\pi$ сохраняется, если нет размывающих его механизмов. В качестве примера можно рассмотреть эффект Мессбауэра. Если принять соответствующие меры (грубо говоря, закрепить атомы в кристаллической решетке), то можно наблюдать резонансные линии $ \gamma$-излучения ядер, при этом сечение как раз равно $ \lambda^2/\pi$.


<< 3.2 Основные понятия ... | Оглавление | 3.4 Тормозное излучение зарядов >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования