Астронет > 3.2 Основные понятия теории равновесного излучения

Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://www.astronet.ru/db/msg/1169513/node20.html

Физические основы строения и эволюции звезд

<< 3.1 Введение | Оглавление | 3.3 Кинетика фотонов ... >>

3.2 Основные понятия теории равновесного излучения

Пусть -- число фотонов в клетке фазового пространства, т.е. число заполнения, которое безразмерно. Для ``ящика'' данного объема можно говорить о числе состояний. Если состояний много, то число уровней в объеме и в импульсном объеме есть

$\displaystyle V\,d^3p/{(2\pi\hbar)}^3.$

Тогда плотность числа фотонов

$\displaystyle N={2\over {(2\pi\hbar)}^3}\,\int\limits_0^\infty nd^3p\,[$ см $\displaystyle ^{-3}],$

(3.1)

где коэффициент 2 учитывает два возможных состояния с разными поляризациями.

Известно, что импульс фотона $\vec p$ связан с волновым вектором $\vec k$ формулой Де Бройля

$\displaystyle \vec p=\hbar\vec k.$

Подставляя это выражение в формулу (3.1), получим более наглядное выражение для плотности числа фотонов

$\displaystyle N=2\int nd^3k/{(2\pi)}^3.$

Поскольку $\vert k\vert=2\pi/\lambda$ , очевидна размерность $N\sim 1/\lambda^3\sim$ $\mbox {см}^{-3}$ и, кроме того, исчезает постоянная Планка $\hbar$ , которая была важна только при подсчете числа состояний.

В сферической системе координат

$\displaystyle d^3p=p^2dpd\,\Omega\;\;\;(p=\vert\vec p\vert).$

В случае сферической симметрии $\int d\Omega=4\pi$ и

$\displaystyle N={1\over {\pi^2 \hbar^3}}\,\int\limits_0^\infty np^2dp,$

где

-- функция только от $p:\;n=n(p)$ .

Поскольку энергия одного фотона

$\displaystyle E_{ph}=\hbar\,\omega=h\,\nu=cp,$

то плотность энергии излучения (фотонного газа)

$\displaystyle \varepsilon_r={c\over {\pi^2\hbar^3}}\,\int\limits_0^\infty np^3dp.$

Кроме плотности энергии $\varepsilon_r$ важной характеристикой является спектральная интенсивность излучения $F_\nu\;([F_\nu]=$ эргсм с Гц стер -- величина, которая при отсутствии поглощения или рассеивания не зависит от расстояния до источника. Из наблюдений всегда получается $F_\nu$ , а в физику дела входит число заполнения .

Получим связь между $F_\nu$ и :

$\displaystyle F_\nu={2c\over {(2\pi\,\hbar)}^3}\,np^2\,{dp\over d\,\nu}\,cp={2np^3c\over {(2 \pi\,\hbar)}^2}={2nh\,\nu\over \lambda^2}$

(при этом мы использовали, что $dp/d\,\nu=2\pi\hbar/c$ ). $F_\nu$ имеет смысл энергии, проходящей через площадку $\lambda^2$ в единицу времени в единичном интервале частот, поэтому $[F_\nu]=$ эрг

см $^2\,$ c $\,$ Гц.

В общем случае (и при отсутствии равновесия) связь между $\varepsilon_r$ и $F_\nu$ дается формулой

$\displaystyle \varepsilon_r={1\over c}\,\int F_\nu\,d\,\nu\,d\Omega.$

<< 3.1 Введение | Оглавление | 3.3 Кинетика фотонов ... >>