Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node17.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 2.4 Теория белых карликов | Оглавление | 3. Перенос излучения в звездах >>

2.5 Горячие звезды

Теперь рассмотрим другой предельный случай, в котором главную роль играет давление излучения.

Напомним уравнение состояния для идеального газа

$\displaystyle P={{\cal{R}}T\over \mu}\,\rho, $

здесь $ \mu$ -- молекулярный вес вещества, т.е. величина, которая показывает, сколько единиц атомного веса приходится на одну частицу (отличайте $ \mu$ от $ \mu_e$!). Например, $ \mu_H=1/2$, но $ \mu_{eH}=1$, и $ \mu_{He_2^4}=4/3,\;\mu_{eHe}=2$ и т.п. При высоких температурах, когда газ полностью ионизован и является одноатомным, тепловая энергия грамма вещества равна

$\displaystyle E={3\over 2}\,{{\cal{R}}T\over \mu}. $

С другой стороны, при высоких температурах в термодинамике звезды все большую роль начинает играть давление излучения. Для излучения, находящегося в термодинамическом равновесии (планковского излучения), плотность энергии однозначно определяется температурой (см. ниже, в разделе 3.3)

$\displaystyle \varepsilon_r=aT^4=7,56\cdot 10^{-15}\,T^4\;$эрг$\displaystyle /$см$\displaystyle ^3. $

Давление при этом

$\displaystyle P_r=\varepsilon_r/3=2,52\cdot 10^{-15}\,T^4\;$эрг$\displaystyle /$см$\displaystyle ^3. $

В лабораторных условиях изменяют не плотность $ \varepsilon_r$, а поток лучистой энергии $ q$ (Почему?), который связан с $ \varepsilon_r$ простой зависимостью

$\displaystyle q=\varepsilon_r c/4. $

(Получите коэффициент 1/4 в этой формуле.) Таким образом, $ q=5,67\cdot 10^{-5}\, T^4=\sigma T^4$ (закон Стефана-Больцмана). По формуле Эйнштейна плотность массы излучения

$\displaystyle \rho_r=\varepsilon_r/c^2\;$г$\displaystyle /$см$\displaystyle ^3. $

Имеется широкая область астрофизических условий, когда давление и энергия излучения и вещества сравнимы, но плотность массы излучения много меньше плотности массы вещества ( $ \rho_r\ll\rho_m$). Выпишем теперь выражения для полного давления вещества и излучения

$\displaystyle P={{\cal{R}}T\over \mu}\,\rho+{aT^4\over 3}={8,3\cdot 10^7\,T\rho\over \mu}+2,5 \cdot 10^{-15}\,T^4. $

Рассмотрим модель звезды, в которой связь между плотностью и температурой дается формулой

$\displaystyle T=\tau\rho^{1/3}, $

где $ \tau$ -- постоянный множитель. Тогда давление вещества $ P_m\sim \rho T\sim \rho^{4/3}$ и давление излучения $ P_r\sim T^4\sim \rho^{4/3}$, т.е. в такой модели отношение давления излучения и вещества постоянно по звезде и

$\displaystyle P={8,3\cdot 10^7\,\tau\over \mu}\,\rho^{4/3}\,(1+3\cdot 10^{-23}\,\mu\tau^3). $

Отметим, что в этом случае энтропия $ S$ меняется (Как? Растет или падает наружу?). Введем величину

$\displaystyle y=\tau\;^3\surd\overline{3\cdot 10^{-23}\,\mu}, $

тогда

$\displaystyle P=2,7\cdot 10^{15}\,\mu^{-4/3}y[1+y^3]\rho^{4/3}. $

Параметр $ y$ имеет простой смысл: $ y^3=P_r/P_m$.

Таким образом, $ P=K_1\rho^{4/3}$, и мы имеем уже знакомое нам уравнение политропы $ n=3$. Мы знаем, что в этом случае равновесие возможно только при одном значении массы. Подставляя $ K_1$ в формулу (2.1), получим

$\displaystyle M=19M_\odot\mu^{-2}{[y(1+y^3)]}^{3/2}. $

Используя эту формулу, можно оценить роль давления излучения для звезды данной массы (см. табл. 2, в которой принято $ \mu=0,5$).


Таблица 2.2: Рост давления в зависимости от массы звезды ($ \mu =0.5$)
$ y$ 0.05 0.1 0.7 1 2 10
$ M/M_\odot$ 0.85 2.4 70 215 5800 $ 7.6\cdot10^7$
$ 1-\beta=P_r/(P_r+P_m)$ $ 10^{-4}$ $ 10^{-3}$ 0.25 0.5 0.89 0.999

Из таблицы 2 видно, что звезда с массой $ 215\;M_\odot$ является граничной ($ y=1$). Как показал А.Эддингтон, для звезд с массой порядка $ 1\;M_\odot$ роль давления излучения пренебрежима, а для звезд с $ M\sim 100\;M_\odot$ давление излучения является доминирующим.

Применим теорему вириала к построенной выше модели. С учетом излучения тепловая энергия звезды

$\displaystyle Q=\int \left({3\over 2}\,{{\cal{R}}T\rho\over \mu}+3P_r\right)dV. $

По теореме вириала гравитационная энергия звезды

$\displaystyle U=-3\int PdV=-\int \left(3{{\cal{R}}T\rho\over \mu}+3P_r\right)dV. $

Полная энергия звезды $ {\cal{E}}= Q+U$

$\displaystyle {\cal{E}}=-\int {3\over 2}\,{{\cal{R}}T\over \mu}\,\rho\,dV, $

т.е. звезда гравитационно связана, но эта связь равна только той доле энергии, которая определяется веществом

$\displaystyle {\cal{E}}={1\over 2}\;\beta \;U, $

поэтому при $ \beta\to 0\quad{\cal{E}}$ -- мало. В этой модели мы искусственно ввели политропу $ n=3$, но энтропия не постоянна по звезде (если $ S=$const по звезде, то при $ n=3,\;{\cal{E}}=0$). Подчеркнем разницу между показателем адиабаты $ \gamma$ и показателем политропы $ 1+1/n$. Возьмем одноатомный нерелятивистский газ ( $ \gamma=5/3$), для которого $ P\sim e^S\rho^{5/3}$. Пусть распределение энтропии по звезде определяется зависимостью $ e^S\sim \rho^\alpha$, тогда давление и плотность связаны соотношением

$\displaystyle P\sim \rho^{{5\over 3}+\alpha}. $

Структура звезды будет определятся показателем политропы (здесь $ 5/3+\alpha=1+1/n$), а устойчивость зависит от показателя адиабаты, т.е. от упругости вещества (в нашей модели $ \gamma=5/3$).

За счет распределения энтропии мы можем получить устойчивую звезду, например, с $ n=4$. В рассматриваемой выше модели $ n=3$, но полная энергия этой звезды не равнялась нулю, так как модель неизэнтропична. Устойчивость звезды определяется не распределением вещества, а тем, как оно ведет себя при сжатии (т.е. его упругостью!).

<< 2.4 Теория белых карликов | Оглавление | 3. Перенос излучения в звездах >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования