Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node16.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 2.3 Частные случаи политропных ... | Оглавление | 2.5 Горячие звезды >>

2.4 Теория белых карликов

Из наблюдений известно, что массы белых карликов порядка солнечной, но размеры составляют лишь сотую часть солнечного радиуса (и даже меньше), т.е. белые карлики представляют собой звезды с чрезвычайно большой плотностью вещества $ \rho \sim 10^5 \, - \, 10^9 \;$г$ /$см$ ^3$. В таком состоянии обычные атомы разрушаются, а вещество состоит из ядер и свободных электронов, которые подчиняются статистике Ферми-Дирака.

Получим уравнение состояния для вещества белых карликов.

В импульсном пространстве число клеток (состояний) в 1 см$ ^3$ равно $ dn=d^3p/{(2\pi \hbar)}^3$, где $ {(2\pi \hbar)}^3$ -- объем одной клетки (фазовой ячейки). Согласно статистике Ферми-Дирака, в одном состоянии может находиться только один электрон, и полное число электронов $ N$, заключенное в фазовом объеме $ V_p= \int\limits_0^{p_{\mbox{\sc f}}} 4\pi \,p^2dp={4\pi\over 3}\,p_{\mbox{\sc f}}^3$, с учетом спина равно

$\displaystyle N={2\over {(2\pi \,\hbar)}^3}\,V_p. $

Здесь $ p_{\mbox{\sc f}}$ -- граничный импульс Ферми, выше которого при $ T=0$ все уровни свободны. Итак, число электронов в одном кубическом сантиметре

$\displaystyle N={2\over {(2\pi \,\hbar)}^3}\,{4\pi\over 3}\,p_{\mbox{\mbox{\sc f}}}^3={1\over {3\pi^2 \hbar^3}}\,p_{\mbox{\mbox{\sc f}}}^3. $

Удобно выражать $ p_{\mbox{\sc f}}$ в единицах $ m_ec$, вводя безразмерный параметр $ x=p_{\mbox{\sc f}}/m_ec$. Тогда $ N={(m_ec)^3\over {3\pi^2\,\hbar^3}}\,x^3$. Параметр $ x$ является мерой релятивизма: при $ x\ll 1$ электроны нерелятивистские, при $ x\gg 1$ ультрарелятивистские. Какой плотности вещества соответствует данный $ x$? Обозначим через $ \mu_e$ молекулярный вес на один электрон, т.е. среднее число нуклонов на один электрон ($ \mu_e=1$ для водорода, $ \mu_e=2$ для $ {}^{4}{\mathrm{He}}_2$ и $ \mu_e=2,2$ для $ {}^{56}{\mathrm{Fe}}_{26}$). Тогда $ \rho=\mu_e \cdot1,6 \cdot 10^{-24}N=\mu_e \cdot 10^6 \,x^3\,[$г$ /$   см$ ^3]$. Отсюда следует, что при $ \rho<\mu_e \cdot 10^6\;$г$ /$см$ ^3$ имеем $ x<1$, т.е. $ p_{\mbox{\sc f}}<m_ec$, и электроны нерелятивистские. При $ \rho>\mu_e \cdot 10^6\;$г$ /$см$ ^3,\;p_{\mbox{\sc f}}>m_ec$.

Для водорода $ x=0,1$ осуществляется при плотности $ \rho=1000 \;$г$ /$см$ ^3$ (для $ {}^{56}{\mathrm{Fe}}_{26}$ это соответствует $ \rho=2200 \;$г$ /$см$ ^3$). Ферми-энергия электронов в этих условиях $ E_{\mbox{\sc f}}=p_{\mbox{\sc f}}^2 \;/{2m_e}=5 \cdot 10^{-3}m_e c^2=2500 \;\mbox{эВ}$, что в десятки раз превышает энергию связи электронов атома водорода ( $ E_{\mbox{св}}=13,6 \;\mbox{эВ}$). Таким образом, при $ x>0,1$ уже можно пользоваться теорией вырожденного электронного газа.

Рассмотрим нерелятивистскую область $ 0,1<x<1$. Средняя энергия электронов в шаре с объемом $ {4\pi\over 3}\,p_{\mbox{\sc f}}^3$ равна $ \bar E={3\over 5}\,E_{\mbox{\sc f}}={3\over 5}\, {p_{\mbox{\sc f}}^2 \over {2m_e}}$, т.е. $ \bar E \sim x^2$. Давление $ P\sim \rho E\sim x^5\sim \rho^{5/3}$, т.е. холодное нерелятивистское вещество представляет собой газ, подчиняющийся уравнению состояния с $ \gamma=5/3$:

$\displaystyle P=K\rho^{5/3}. $

Статистика Ферми (принцип Паули) определяет константу. Для идеального (неквантового) газа $ K$ может быть любым. Если охлаждать горячий газ до температуры $ T=0$, то $ K$ идет не в нуль, а стремится к определенному пределу. Ферми-движение электронов играет роль температуры.

З а д а ч а. Получите точную формулу для давления вырожденного нерелятивистского газа $ P=10^{23}x^5\;$эрг$ /$см$ ^3$ и найдите выражение для $ K$ через фундаментальные константы.

Вспоминая общие формулы, выведенные для политропных конфигураций, имеем ($ n=1,5$):

$\displaystyle M\sim x^{3/2},\;R\sim x^{-1/2}\sim M^{-1/3}. $

Приведем характеристики типичного белого карлика, состоящего из гелия ($ \mu_e=2$) с массой $ M=0,25\,M_\odot=0,5\cdot 10^{33}\;$г$ ;\;\rho_c=2,5\cdot 10^5\;$   г$ /$см$ ^3,\;\rho=4\cdot 10^4\;$г$ /$см$ ^3,\;R=1,4\cdot 10^9\;$   см.

Строго говоря, полученные выше результаты относятся к абсолютно холодному веществу. Вещество белых карликов, которые мы наблюдаем, имеют отличную от нуля температуру (они светят!). Но температура даже в несколько миллионов градусов мала по сравнению с характерной ферми-энергией электронов ( $ kT\ll E_{\mbox{\sc f}}$). Поэтому тепловое движение плазмы не существенно при расчете равновесия и устойчивости белых карликов, хотя для расчета их охлаждения оно важно.

С увеличением массы белого карлика растет $ x$, и при некоторой величине $ M\;x$ оказывается больше единицы, электронный газ оказывается релятивистским. Импульс электрона связан со скоростью известным соотношением

$\displaystyle p={mv\over \sqrt{1-{\left({v\over c}\right)}^2}}, $

а энергия электрона

$\displaystyle E_1=\sqrt{{(m_ec^2)}^2+p^2c^2}-m_ec^2=m_ec^2(\sqrt{1+x^2}-1). $

При малых $ x$, когда $ \sqrt{1+x^2}\simeq 1+{x^2\over 2}$, получим уже известную формулу

$\displaystyle E_1=m_ec^2{x^2\over 2}={p^2\over {2m_e}}. $

При $ x\gg 1$ (оставляя только главный член в разложении) энергия одного электрона $ E=m_ec^2x$, следовательно, энергия единицы массы $ E\sim x\sim \rho^{1/3}$, а давление $ P\sim \rho E\sim x^4\sim \rho^{4/3}$.

Таким образом, ультрарелятивистский вырожденный электронный газ подчиняется уравнению состояния с показателем $ \gamma=4/3$ (индекс политропы $ n=3$).

Нам уже известно (см. выше), что при $ n=3$ равновесное состояние возможно только при одной определенной массе. Для вырожденного релятивистского вещества (2.1) дает это значение массы

$\displaystyle M_{\mbox{Ch}}={5,75\over \mu_e^2}\,M_\odot. $

Для $ \mu_e=2,\;M_{\mbox{Ch}}=1,44\,M_\odot$. Для всех промежуточных случаев имеются точные численные расчеты (рис. 16).

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f16.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 16.

Итак, для холодного вещества решение существует только при $ M<M_{\mbox{Ch}}$ ( $ M_ {\mbox{Ch}}$ -- называют чандрасекаровским пределом массы). Из наблюдений мы знаем, что есть горячие звезды с массой, большей $ M_ {\mbox{Ch}}$. В результате эволюции при остывании таких звезд должна происходить потеря устойчивости и коллапс (быстрое сжатие) звезды.

В ньютоновской теории более жесткое уравнение состояния (например, отталкивание ядер) могло бы спасти звезду от коллапса. Однако в ОТО при любом уравнении состояния релятивистские эффекты всегда приводят к неустойчивости и неограниченному коллапсу.

Получим, следуя Е.Солпитеру, выражение для предельной массы белого карлика через фундаментальные физические величины $ m_p,\;\hbar,\;c,\;G$, или, другими словами, найдем предельное число нуклонов $ N_{\mbox{Ch}}$, для которых гравитация уравновешивается давлением вырожденных электронов. Имеем $ M_{\mbox{Ch}}=m_pN_{\mbox{Ch}}$.

Из констант $ G,\;m_p,\;\hbar$ и $ c$ можно составить только одно безразмерное число: $ Gm_p^2/{\hbar c}\simeq 0,7\cdot 10^{-38}$ (аналог постоянной тонкой структуры $ e^2/{\hbar c}$). По определению $ N_{\mbox{Ch}}$ безразмерно и

$\displaystyle M_{\mbox{Ch}}=m_pN_{\mbox{Ch}}=m_p{\left({Gm_p^2\over {\hbar c}}\right)}^\alpha. $

Как найти $ \alpha $? Воспользуемся для этого уравнением состояния ультрарелятивистского вещества и найдем постоянную $ K$ (приближенно)

$\displaystyle E_1=cp=c\hbar n^{1/3},\;P=nE_1=c\hbar n^{4/3},\;\rho=m_pn, $

т.е. $ P={c\hbar\over m_p^{4/3}}\,\rho^{4/3}$ и $ K={c\hbar\over m_p^{4/3}}$.

Для политропы $ n=3$ выше мы получили $ M\sim {(K/G)}^{3/2}$. Подставляя $ K$, имеем

$\displaystyle M={c^{3/2}\hbar^{3/2}\over {G^{3/2}m_p^3}}\,m_p=m_P{\left({c\hbar\over {Gm_p^2}} \right)}^{3/2},\;\mbox{т.е.}\;\alpha=-{3\over 2}. $

Окончательно

$\displaystyle M_{\mbox{Ch}}\sim m_p(10^{38})^{3/2},\;N_{\mbox{Ch}}\sim 10^{57}. $

Такое большое число обусловлено тем, что константа гравитационного взаимодействия мала.


<< 2.3 Частные случаи политропных ... | Оглавление | 2.5 Горячие звезды >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования