Astronet Астронет: Я. Б. Зельдович, С. И. Блинников, Н. И. Шакура Физические основы строения и эволюции звезд
http://variable-stars.ru/db/msg/1169513/node15.html
Физические основы строения и эволюции звезд
<< 2.2 Основные параметры политропы | Оглавление | 2.4 Теория белых карликов >>

2.3 Частные случаи политропных моделей

1. $ n=5$. Как видно из выше приведенной таблицы, при $ n=5$ безразмерный радиус $ \xi_1 \to \infty$. Из формул для $ {\cal{E}}, \;Q, \;U$ видно, что конечные значения энергий звезды совместимы с конечной массой только при $ R \to \infty$. Решения уравнения Эмдена с $ n>5$ вообще теряют обычный физический смысл.

Случай $ n=5$ имеет аналитическое решение вида

$\displaystyle \Theta={(1+\xi^2/3)}^{-1/2},\;\xi_1=\infty. $

Легко проверить, что полная масса звезды конечна. В самом деле, при $ \xi \to \infty~~\Theta \sim {1/\xi}$, а выражение для массы $ M \sim \mu_1 \sim \int\limits_0^ \infty \Theta^5 \,\xi^2 \,d\xi$ сходится на верхнем пределе. Полный момент инерции $ I \sim \int\limits_0^\infty \Theta^5 \,\xi^4 \,d\xi \sim \ln \xi \to \infty$, но $ I/M R^2 \to 0$, так как основная часть массы сосредоточена в центре.

2. $ n=1$. Для давления в этом случае имеет место соотношение

$\displaystyle P=K \,\rho^2 $

и, следовательно, $ \rho \sim \Theta$ и $ H \sim E \sim T \sim {P/\rho} \sim \Theta$. Таким образом, получаем линейное уравнение

$\displaystyle {1\over \xi^2} \,{d\over {d\xi}} \,\xi^2 \,{d\Theta\over {d\xi}}+\Theta=0, $

одно из решений которого, удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид

$\displaystyle \Theta={\sin \xi \over \xi} $

\begin{wrapfigure}{r}{0.5\textwidth} \epsfxsize =0.45\textwidth \hbox to0.5\textwidth{\hss\epsfbox{fig/f13.ai}\hss} \end{wrapfigure}
Рис. 13.

и обращается в нуль при $ \xi_1=\pi$. В силу линейности задачи радиус звезды $ R$ не зависит от массы. При данном $ K$ величины $ E$ и $ H$ пропорциональны $ \rho $, и в один объем можно вложить (равновесно!) разное количество вещества. При увеличении массы растет только центральная плотность $ \rho_c$ (рис. 13).

Задача. Получите этот результат из размерностных соображений. Учтите при этом, что размерность $ K$ зависит от индекса $ n$.

3. $ n=0$ -- несжимаемая жидкость. Формально при $ n \to 0$ из уравнения состояния $ P=K\rho^{1+1/n}$ следует, что малые изменения $ \rho $ дают большие изменения $ P$. Это дает нам право отождествлять случай $ n=0$ с несжимаемой однородной жидкостью $ \rho=$const$ =\rho_c$. Так как тепловая энергия $ E$ равна работе, затраченной на сжатие данного газового объема, в случае несжимаемой жидкости $ E=0$ и, следовательно, $ Q=0$. Это видно и из формулы $ Q={n\over {5-n}} \,{GM^2\over R}$ для $ n=0$. Полная энергия $ {\cal{E}}$, очевидно, равна гравитационной $ U$.

4. $ n=3$. Случай $ n=3$ является наиболее интересным и физически важным. Как мы увидим ниже, он осуществляется и в белых карликах, и в больших горячих звездах, где $ P=\varepsilon /3, \;P \sim \rho^{4/3}$ (здесь $ \varepsilon$ -- плотность энергии $ [$эрг$ /$см$ ^3]$). И даже для Солнца наиболее близки к реальности политропные модели с $ n=3$.

В чем особенность этого случая? Во-первых, теория политропных шаров при данном уравнении состояния (при данном $ K$) и данной массе $ M$ не позволяет вычислить радиус звезды. Кроме того, полная энергия звезды $ {\cal{E}}=0$, т.е. $ U=-Q$.

Почему это происходит? Рассмотрим порядковые оценки. Тепловая энергия $ Q$ при $ n=3$ по порядку равна $ Q \sim MP/\rho \sim MK\rho^{1/3}$. Для гравитационной энергии всегда имеем $ U \sim -GM^2/R \sim -GM^2/{(M/\rho)}^{1/3}$. Полная энергия $ {\cal{E}}= Q+U$. Очевидно, что для разных $ M$ энергия $ {\cal{E}}$ по разному зависит от $ \rho ^{1/3}$ (рис. 14). В любом случае зависимость $ {\cal{E}}(\rho^{1/3})$ линейная. Очевидно, что при $ {\cal{E}}>0$ система при малых возмущениях начнет разлетаться ($ {\cal{E}}$ стремится уменьшиться), а при $ {\cal{E}}<0$ будет неограниченно сжиматься (коллапсировать). Равновесие возможно только при $ {\cal{E}}=0$, для этого случая имеется только одно определенное значение массы:

$\displaystyle KM=GM^{5/3} \to M \sim {\left({K\over G}\right)}^{3/2}. $

Точное выражение

$\displaystyle M={4\mu_1\over \pi^{1/2}}{\left({K\over G}\right)}^{3/2}.$ (2.1)

Таким образом, равновесная модель с $ n=3$ имеет три важных свойства:

1) равновесие возможно только при одном определенном значении массы (если $ K$ фиксировано), 2) полная энергия $ {\cal{E}}=0$, 3) радиус звезды $R$ может быть любым, т.е. равновесие безразличное.

Рис. 14.Рис. 15.

Рассмотрим кратко, как ведет себя полная энергия $ {\cal{E}}$ в зависимости от плотности при $ n\gtrless3$ (рис. 15). В случае $ n<3$ набор кривых для разных масс имеет минимум, а при $ n>3$ максимум. Очевидно, что точки $ {\partial {\cal{E}}\over \partial \rho^{1/3}}=0$ являются положениями равновесия, но при $ n<3$ это равновесие устойчиво, а при $ n>3$ неустойчиво.


<< 2.2 Основные параметры политропы | Оглавление | 2.4 Теория белых карликов >>

Rambler's Top100 Яндекс цитирования