Астронет: А. Г. Морозов, А. В. Хоперсков Физика Дисков http://variable-stars.ru/db/msg/1168623/node17.html

---

<< 3. Моделирование звездных дисков | Оглавление | 3.2 Крупномасштабная структура ... >>

Разделы

• 3.1.1 Модели типа "частица-частица" (PP)
• 3.1.2 Принцип построения экспериментальных моделей плоских галактик
• 3.1.3 Модели типа "частица-сетка" (PM)
• 3.1.4 Иерархические модели (TREE-модели)

---

3.1 Модели

Методов прямого лабораторного моделирования коллективных процессов в непрерывной или дискретной гравитирующей среде пока не существует. Вряд ли они будут разработаны и в обозримом будущем. Но появление достаточно мощных ЭВМ открыло уникальную возможность численного моделирования таких явлений и тем самым создало своеобразную экспериментальную базу для физики коллективных процессов в гравитирующих системах. В приложении к плоским галактикам такое моделирование может иметь целью определение темпа коллективных релаксационных процессов и направления эволюционных изменений тех или иных параметров диска, выяснение пространственной структуры квазистационарных плоских галактик и отдельных их подсистем, а также изучение тех процессов, которые могли бы привести к образованию таких наблюдаемых структур, как спиральные узоры, бары, особенности во взаимодействующих галактиках и т.п.

Практически устоявшимся термином для обозначения численного моделирования гравитирующих тел (как, впрочем, и газодинамических систем) стало словосочетание "численный (или компьютерный) эксперимент". Численный эксперимент в последние годы становится одним из основных инструментов в руках теоретиков при изучении динамики звездных систем. Наблюдается буквально "золотая лихорадка", характеризующаяся взрывным ростом числа публикаций. В то же время, поскольку число нерешенных еще задач существенно больше рассмотренных, то в основе полученных результатов лежит обычно небольшая серия расчетов одной группы исследователей. Как представляется, имеется насущная необходимость повторения полученных ранее результатов, чтобы с большим доверием к ним относиться, как это и принято в экспериментальной физике.

Обычно используют два типа численных моделей звездного диска: модель "частица-частица" (PP); модель "частица-сетка" (PM) и ее различные модификации [241,242].

3.1.1 Модели типа "частица-частица" (PP)

В моделях типа "частица-частица" используется непрерывное описание движения частиц и в них учитывается гравитационное взаимодействие всех частиц друг с другом. Такой метод, основанный на прямом интегрировании уравнений движения для системы из частиц, является достаточно простым для понимания и реализации, однако он требует больших машинных ресурсов. Поэтому в моделях такого типа число частиц, как правило, не превышает значений^3.1 . Число арифметических действий, необходимых для интегрирования одного временного шага в рамках модели PP, равно . Нетрудно оценить, что при использовании ЭВМ, для которой необходима 1 мкс на выполнение одной операции, при на один временной шаг (а всего их требуется, как правило, несколько тысяч) затрачивается 10 с, а при больше суток!

Модели PP использовались в экспериментах [216-218,243-247] и многих других. В этих моделях, однако, возникает вопрос о величине масштаба и характере "обрезания" гравитационного взаимодействия частиц на малых расстояниях. Дело в том, что при моделировании полной галактики, состоящей из звезд, необходимо создать бесстолкновительную систему. Время двойного соударения в трехмерной системе равно [61]

где - объемная концентрация звезд, - масса звезды, - относительная скорость, - размер системы, . Для галактик, за исключением самых центральных областей, время превышает возраст звездных систем. Поскольку и , то выполняется пропорциональность . В силу того, что , частицами при моделировании галактик являются "макрозвезды" с массой, превышающей в раз массу реальных звезд^3.2. И для обеспечения бесстолкновительности системы возникает необходимость в вышеупомянутом "обрезании" потенциала (более подробно см. п. 3.1.2.). В то же время модели этого типа обладают рядом преимуществ^3.3 перед другими моделями (см. ниже) и именно в экспериментах с такими моделями получен ряд важных результатов.

3.1.2 Принцип построения экспериментальных моделей плоских галактик

Опишем здесь достаточно простую модель с обоснованием выбора масштаба "обрезания" гравитационного взаимодействия на малых расстояниях.

1. Диск. Звездный диск полагаем состоящим из N частиц равной массы. Используем систему единиц, в которой гравитационная постоянная , все частицы диска распределены в начальный момент времени внутри сферы радиусом и масса диска (масса каждой частицы равна ).

Выбрав закон изменения поверхностной плотности , разобьем диск на достаточно узкие кольца шириной и по заданному вычислим число частиц , попадающих в -е кольцо. Так, в "стандартной" модели Острайкера и Пиблса [216] и число , а в модели экспоненциального диска [ ] число частиц в кольце равно

где -- средний радиус кольца ( ), .

Каждое кольцо разделим на равных частей в азимутальном направлении и в каждую полученную таким образом ячейку поместим частицу. Координаты частицы внутри ячейки естественно определить с помощью двукратного применения генератора случайных чисел (один раз -- в радиальном направлении, второй -- в азимутальном), сопоставляя интервал изменения случайных чисел (обычно -- []) с шириной кольца и шириной сектора . После этого в каждом кольце вычисляем среднюю по частицам радиальную гравитационную силу , действующую на каждую частицу со стороны всех остальных частиц диска и статического гало (см. ниже). И всем частицам рассматриваемого кольца придаем азимутальную скорость . Ясно, что приготовленный таким образом диск является хотя и равновесным, но "холодным" и, следовательно, подверженным сильной гравитационной неустойчивости.

Удовлетворительная равновесная модель "горячего" диска конечной толщины может быть построена на основе шварцшильдовской функции распределения (2.1.34). Для этого достаточно каким-либо образом задать распределения двух параметров -- дисперсий скоростей частиц в радиальном и перпендикулярном плоскости диска направлениях: ; . Определение первой из них естественно делать, используя результаты теории гравитационной устойчивости звездного диска. Для этого, определив эпициклическую частоту^3.4 на заданном наборе колец, находим -- дисперсию радиальных скоростей звезд, необходимую для подавления неустойчивости осесимметричных возмущений в тонком диске. И затем задаем величину . Значение параметра должно быть, очевидно, обусловлено целями эксперимента. Так, в работах [217,218]^3.5 -- в этом случае величина примерно равна минимально необходимой для подавления гравитационной неустойчивости в однородном дифференциально вращающемся тонком диске. Определенная таким образом величина может оказаться слишком большой в центральной части диска, где локальные критерии устойчивости (2.2.41), (2.4.21) не применимы. В этой области удобно принять , выбрав .

В соответствии с условием равновесия (2.1.36) азимутальную дисперсию скоростей полагаем равной , а величину дисперсии скоростей частиц поперек плоскости диска [см. (2.5.18)].

Для моделирования функции распределения (2.1.44) в каждом из трех направлений исходим из того, что

Для каждой частицы генерируем случайное число в интервале (свое для каждой компоненты скорости) и, вычисляя интеграл

находим . По этому числу и определяем величину соответствующей компоненты случайной скорости частицы. Так, если мы строим распределение по радиальным скоростям, то для рассматриваемой частицы (находящейся в -м кольце) . Толщину диска вычисляем из соотношения (2.1.42) и затем с помощью генератора случайных чисел и с учетом того, что [см. (2.1.45)] определяем -координату каждой частицы , где вычисляется по сгенерированному случайному числу

В результате выполнения всех этих процедур получаем модель "горячего" звездного диска конечной толщины, в которой необходимо еще скорректировать координаты частиц и их скорости таким образом, чтобы центр масс системы частиц в ходе эксперимента оставался в начале координат. Кроме того, необходимо еще скорректировать скорость вращения частиц. Действительно, условие радиального равновесия горячего диска не сводится к взаимной компенсации гравитационной и центробежной сил. Его нетрудно получить, интегрируя с множителем стационарное осесимметричное ( , ) кинетическое уравнение (2.1.2) по пространству скоростей:

С учетом (2.1.36) отсюда получаем скорректированную скорость вращения диска

2. Гало. При постановке экспериментов, в которых помимо диска плоской галактики моделируется и ее сферическая подсистема (гало), необходимо учесть, что дисперсия скоростей звезд гало значительно превышает дисперсию скоростей звезд диска ([14,98], гл. 1). В то же время величина возмущений плотности всякой подсистемы обратно пропорциональна квадрату ее дисперсии скоростей ([197], п. 2.2.2). Поэтому в процессе эволюции диска, не меняющей существенно распределение масс в нем, гало можно считать невозмущающимся и моделировать потенциалом , действующим на звезды диска. Это подтвердили и непосредственные численные эксперименты, проведенные Холом [248], Селвудом [249], в которых моделировались и диск и гало. Было обнаружено, что гало остается практически статичным.

Потенциал в свою очередь определяется распределением плотности вещества в гало. Во многих моделях, учитывающих постоянство скорости вращения вещества диска на его периферии [29,30], полагают . В соответствии с этим естественна модель гало с распределением объемной плотности

где -- радиус "ядра" гало, -- масса гало в сфере радиусом . В поле такого гало на каждую частицу диска действует сила

В описанной выше модели параметр представляет лишь ту часть массы гало, которая заключена внутри сферы . Полная же масса гало в области (назовем эту часть гало короной) при растет с радиальной координатой почти линейно ( ). В то же время на динамику частиц внутри сферы оказывает влияние лишь часть массы короны величиной , из-за чего как параметр не теряет смысла и в моделях с протяженной короной, если большая часть массы диска остается внутри сферы радиуса .

3. Взаимодействие частиц в диске. Взаимодействие частиц друг с другом должно, очевидно, моделировать основные свойства звездного диска как бесстолкновительной гравитирующей системы. Конструктивное в экспериментальном плане определение бесстолкновительности диска можно сформулировать следующим образом: сила, действующая на данную частицу со стороны всех остальных частиц диска, должна быть заметно больше силы, действующей на ту же частицу со стороны ее ближайшей соседки. Это определение естественным образом приводит к необходимости "обрезания" гравитационного взаимодействия частиц на малых расстояниях, что использовалось во всех численных экспериментах. Для оценки величины соответствующего параметра определим "радиус взаимодействия" соотношением

где -- масса частицы, -- масса диска в сфере радиусом . Для экспоненциального диска

По данным наблюдений в дисках галактик [25] и в этом случае зависимость от радиальной координаты слабо отличается от линейной. Так, при соотношение (3.1.8) в области легко аппроксимируется по методу наименьших квадратов следующей функцией:

Предположим теперь, что "обрезание" гравитационного взаимодействия на малых расстояиях мы осуществляем, вычисляя силу, действующую на -ю частицу со стороны -й частицы, следующим образом [216]:

где -- радиус "обрезания" взаимодействия. Конкретный выбор зависит, очевидно, от целей эксперимента. Так, при изучении процессов в центральной части диска (возбуждение бар-моды и т.п.) Острайкером и Пиблсом было найдено оптимальное значение ( ), а в экспериментах [218], целью которых было изучение коллективных релаксационных процессов во внешней части диска, (). Сравнение этих значений с (3.1.9) показывает, что оптимальное в экспериментальном плане . В то же время важно отметить, что полагать величину зависящей от радиальной координаты в конкретном эксперименте нельзя, поскольку в этом случае энергия системы не будет интегралом движения.

Однако описанный выше алгоритм вычисления силы взаимодействия между частицами при [216-218,250] удовлетворителен лишь при изучении коллективных процессов в плоскости диска. Действительно, при условии сохранения геометрического подобия экспериментальных моделей реальным галактикам ( ) можно надеяться, что правильное моделирование коллективных процессов поперек плоскости диска будет иметь место только в том случае, если . Поскольку , то при для выполнения условия необходимо частиц. Следует еще отметить, что в описанных выше моделях плоских галактик число частиц обычно невелико. Поэтому полученные в ходе обработки результатов значения локальных параметров диска испытывают со временем довольно заметные флуктуации. Однако если целью эксперимента является изучение характеристик стационарного диска, то влияние указанных флуктуаций может быть существенно уменьшено, если конечные результаты получать посредством усреднения по достаточно большому промежутку времени (порядка времени оборота диска). При таком подходе число частиц, эффективно участвующих в эксперименте, достигает величины , где ( -- величина шага по времени при интегрировании системы уравнений движения частиц).

3.1.3 Модели типа "частица-сетка" (PM)

В моделях данного типа конфигурационное пространство и, как правило, пространство скоростей разбиваются на ячейки, в которых и локализуются частицы. Непосредственно в модели PM взаимодействие частиц, находящихся внутри одной и той же ячейки конфигурационного пространства, не учитывается, а взаимодействие частиц, находящихся в различных ячейках, моделируется ньютоновскими гравитационными силами, вычисляемыми, как правило, по координатам центров ячеек. Тем самым осуществляется полное "выключение" гравитационного взаимодействия на расстояниях, меньших размера ячейки (масштаб "обрезания" тождественно равен размеру ячейки). Взамен, поскольку число ячеек много меньше , имеем выигрыш в скорости расчета, что позволяет проводить численные эксперименты за приемлемое машинное время с моделями, содержащими до частиц. Модели этого типа подробно описаны в работах [210-213,251-254] и в ряде других.

Учет взаимодействия между центрами пространственных ячеек при большом числе частиц в каждой ячейке обычно осуществляется с использованием дискретного аналога теоремы о свертке и алгоритма быстрого преобразования Фурье. Принципы учета сферической подсистемы (гало+балдж) и задания начального состояния вполне сходны для методов PP и PM.

Можно построить модели, которые отчасти соединяют в себе быстроту расчета метода PM и учет близкодействующих сил, как в моделях PP. Такого рода модели называют "частица-частица - частица-сетка" (PM) и в основе их лежит расщепление действующих между частицами сил на две части: быстро меняющуюся короткодействующую часть и медленно меняющуюся дальнодействующую [241].

Естественно, от построенных моделей необходимо требовать выполнения законов сохранения энергии и момента импульса. На практике обычно достигают точности сохранения этих величин порядка нескольких процентов.

Метод PP с использованием временного усреднения вполне пригоден для изучения глобальной квазистационарной структуры галактик. Для исследования эволюционных процессов более приемлемым является метод PM.

3.1.4 Иерархические модели (TREE-модели)

Данный подход к численному решению гравитационной задачи тел предложен не так давно [255,256]. В основе метода лежит формирование древовидной (TREE) иерархической системы сеток. Система таких сеток располагается в порядке подробности от наиболее мелких, где учитываются наиболее близкодействующие силы, которые учитываются достаточно точно, ко все более грубым, на которых учитываются дальнодействующие силы. Другими словами, производится регуляризация как двойных сближений, так и сближений подсистем на разных уровнях иерархии. Алгоритм требует порядка вычислений на каждом шаге интегрирования.

Достаточно детальное описание метода с некоторыми модификациями дано Джернигамом и Портером [257]. Сравнение с известными модельными результатами показало хорошее соответствие, а также подтвердило преимущества, связанные с затратами машинного времени. TREE-модели позволяют изучать сложные системы, включающие три взаимодействующие компоненты: звездный и газовый диски, "живое" гало [258,259].

Введение в практику иерархических схем фактически подводит нас к естественному пределу в построении численных методов [260]. В последние годы развитие пошло по пути создания специализированных компьютеров для численного решения гравитационной задачи тел, в которых вычисление взаимодействия между телами реализовано аппаратно [261]. Непосредственное моделирование на такого рода компьютерах говорит об их больших возможностях [262].

Сравнительный обзор различныых методов численного моделирования гравитирующих тел можно найти, например, в [241,263,264].

---

<< 3. Моделирование звездных дисков | Оглавление | 3.2 Крупномасштабная структура ... >>