Астронет: А. Г. Морозов, А. В. Хоперсков Физика Дисков http://variable-stars.ru/db/msg/1168623/node14.html

---

<< 2.3 Гравитационная неустойчивость | Оглавление | 2.5 Изгибные возмущения >>

Разделы

• 2.4.1 Является ли условие Тоомре достаточным для устойчивости реального звездного диска?
• 2.4.2 Критерий устойчивости неосесимметричных возмущений в дифференциально вращающемся диске конечной толщины
• 2.4.3 Влияние неоднородности диска на его устойчивость
• 2.4.4 Об условиях применимости критерия устойчивости
• 2.4.5 Критерий устойчивости звездного диска
• 2.4.6 Характерные масштабы неоднородностей поверхностной плотности и дисперсии радиальных скоростей звездных дисков

---

2.4 Условие гравитационной устойчивости диска

2.4.1 Является ли условие Тоомре достаточным для устойчивости реального звездного диска?

Из приведенных выше результатов следует, что для устойчивости звездного диска величина дисперсии радиальных скоростей звезд должна превышать некоторое критическое значение. Впервые минимально необходимую для устойчивости тонкого () диска относительно осесимметричных возмущений величину [см. (2.2.41)] вычислил Тоомре [202]. Позднее Вандервоортом [192] эта величина была скорректирована с учетом конечной толщины диска (2.2.43). Данные наблюдений [53,55] показывают, что в окрестности Солнца , и поэтому следует ожидать, что условие устойчивости (2.2.43) является необходимым.

Однако начатые в 70-х годах численные эксперименты [210-220] показывают, что звездные диски с начальным значением за промежуток времени порядка всего лишь одного-двух оборотов диска разогреваются до состояния с . Эти результаты подтверждают необходимость условия устойчивости звездного диска (2.2.43), но указывают на его недостаточность. Поэтому обнаруженный в численных экспериментах "разогрев" диска в соответствии с принципом Ле-Шателье (см. в книге [221]) естественно трактовать как результат эволюции неустойчивой системы к устойчивому состоянию. Следовательно, необходимо понять природу неустойчивости, приводящей к такому разогреву.

Для выяснения этого вопроса в первую очередь отметим, что равновесный бесстолкновительный диск анизотропен -- его "упругость" в азимутальном направлении, характеризуемая величиной , меньше радиальной "упругости": , и это является дестабилизирующим фактором. Поэтому если мы в отличие от Тоомре [202] и Вандервоорта [192], исследовавших динамику только осесимметричных возмущений, изучим поведение неосесимметричных возмущений, то следует ожидать, что для их стабилизации величина должна будет достичь значения, близкого к . С учетом связи (2.1.36) это означает, что величина должна быть близка к [222].

Природа второго дестабилизирующего звездный диск фактора обусловлена, очевидно, гравитационно-градиентной неустойчивостью, интенсивность которой возрастает с ростом степени неосесимметричности возмущений. Эта неустойчивость, как будет показано ниже, тоже может быть подавлена при увеличении дисперсии радиальных скоростей звезд.

Таким образом, следует надеяться, что необходимое и достаточное условие устойчивости неоднородного дифференциально вращающегося звездного диска может быть получено как условие отсутствия комплексных корней у дисперсионного уравнения (2.2.38) для неосесимметричных возмущений. Такое условие в пределе однородного твердотельно вращающегося диска должно естественным образом переходить в условие (2.2.43).

Отметим также, что качественно эффект худшей стабилизации неосесимметричных возмущений был известен и раньше [2,50,223] из исследования устойчивости моделей звездных дисков с квадратичным потенциалом. Однако в таких моделях градиенты плотности и дисперсии скоростей звезд жестко связаны между собой и с другими параметрами диска, а вращение твердотельно. Искусственность подобных моделей подчеркивается и тем фактом, что даже невращающийся диск, т.е. диск, равновесие которого поддерживается только градиентом "давления" (плотности и дисперсии скоростей звезд), оказывается гравитационно неустойчивым относительно осесимметричных возмущений. По этой причине применимость моделей дисков с квадратичным потенциалом к реальным галактикам весьма проблематична. В то же время упомянутые в начале пункта численные эксперименты, да и сам факт существования плоских галактик говорят о том, что вращающийся звездный диск может быть устойчивым, и для этого в нем везде (кроме центральной части диска) должно быть . Модель звездного диска (2.1.44)-(2.1.46) хорошо согласуется с данными наблюдений и поэтому попытаемся получить условие его устойчивости из соответствующего этой модели дисперсионного уравнения (2.2.38).

2.4.2 Критерий устойчивости неосесимметричных возмущений в дифференциально вращающемся диске конечной толщины

Граница устойчивости звездного диска в соответствии с приведенными выше оценками частот градиентных возмущений должна лежать в области частот . Поэтому естественно использовать упрощенное дисперсионное уравнение (2.2.39). Рассмотpим сначала модель одноpодного ( , ) диска, вращающегося с угловой скоростью, степенным образом зависящей от радиальной координаты: , const . В этом случае , . Тем самым из рассмотрения исключаются градиентная ветвь и связанные с ней эффекты. Уравнение (2.2.39) в такой модели приобретает вид

где ; ; ; .

Граница устойчивости возмущений с заданным определяется из (2.4.1) соотношениями ; [ в минимуме дисперсионной кривой ], что эквивалентно системе уравнений

Решим сначала эту систему уравнений в модели тонкого () диска. Нетрудно видеть, что для устойчивости возмущений с заданным необходимо выполнение условия [ср. с (2.2.41)]

и в случае длина волны маргинально устойчивых возмущений определяется соотношением [ср. (2.2.42)]

Как и ожидалось, неосесимметричные возмущения в дифференциально вращающемся диске оказываются менее устойчивыми, чем осесимметричные. Помимо этого из (2.4.5) следует, что граница маргинальной устойчивости сдвигается в длинноволновую область с ростом степени неосесимметричности возмущений.

Перейдем теперь к диску конечной толщины. Согласно данным наблюдений (см.п. 1.1.4), (2.1.42), (2.2.41) отношение . Поэтому найдем поправку к (2.4.4), (2.4.5), связанную с конечностью отношения в первом порядке по этой величине. В результате из (2.4.2), (2.4.3) получаем [ср. с (2.2.43)]

и при согласно (2.4.6) длина волны маргинально устойчивых возмущений характеризуется значением

Видно, что неосесимметричные возмущения, как и осесимметричные, стабилизируются конечной толщиной диска, хотя степень этой стабилизации меньше, чем в случае осесимметричных возмущений.

2.4.3 Влияние неоднородности диска на его устойчивость

Определим теперь влияние неоднородности поверхностной плотности на величину минимально необходимой дисперсии радиальных скоростей звезд для устойчивости неосесимметричных возмущений с заданным и на длину волны маргинально устойчивых возмущений (учет см. в п. 2.4.5). В качестве начального приближения используем модель тонкого дифференциально вращающегося диска -- см. (2.4.4), (2.4.5), считая, что влияние его малой толщины уже определено мультипликативными формфакторами в (2.4.6), (2.4.7). В этом случае в окрестности минимума дисперсионной кривой гравитационных возмущений () существенно влияние градиентной ветви (см. п. 2.2.4). Поэтому условие устойчивости такого диска должно вытекать из условия отсутствия комплексных корней у кубического по дисперсионного уравнения (2.2.39). Запишем это уравнение в виде и линейным преобразованием приведем к виду . Тогда диск будет устойчив относительно таких возмущений, для которых . При как в длинноволновой (), так и в коротковолновой () частях спектра заведомо [см. (2.2.45)-(2.2.48)]. В промежуточной же области может быть и . Таким образом, , будучи выпуклой кверху функцией, будет достигать своего максимального значения где-то в окрестности . Отсюда ясно, что у (2.2.39) исчезнут комплексные корни при любых , как только будет выполняться условие для тех возмущений, для которых . Из системы этих двух уравнений могут быть вычислены для заданного типа возмущений и длина волны маргинально устойчивых возмущений.

Вычисления проводим в главном порядке по малому параметру

Тогда из уравнений ; получаем критерий устойчивости

и величину для маргинально устойчивых возмущений

По этим результатам из (2.2.39) нетрудно вычислить и частоту маргинально устойчивых возмущений

2.4.4 Об условиях применимости критерия устойчивости

Обсудим условия применимости критерия устойчивости бесстолкновительных звездных дисков, вытекающего из дисперсионного уравнения (2.2.38).

Величина минимально необходимой для устойчивости дисперсии радиальных скоростей звезд возрастает с увеличением [ , см. (2.4.9)]. Можно вычислить максимальное ее значение, равное , и полагать, что устойчивость диска относительно произвольных возмущений имеет место при . Но в этом случае необходимо учитывать влияние двух факторов. Во-первых, дисперсионное уравнение (2.2.38) получено в рамках ВКБ-приближения. Даже если дойти до границы применимости ВКБ-приближения (см. сноску в п. 2.2.2), то . Граница устойчивости диска лежит в области , поэтому для величина и тем самым (в окрестности Солнца ). Во-вторых, существует более серьезное ограничение, обусловленное дифференциальностью вращения диска. Действительно, величина изменяется вдоль радиальной координаты. И необходимо, естественно, считать, что изменение на масштабе, характеризующем изменение возмущения вдоль радиальной координаты, должно быть мало по сравнению с :

Будем рассматривать маргинально устойчивые возмущения, используя для оценок (2.4.11). Предполагаем закон вращения , тогда условие (2.4.12) примет вид

Переформулируем (2.4.13) как условие на величину , определяющую степень дифференциальности вращения диска:

Из (2.4.14) следует, что для возмущений с при

Предположим теперь, что используем критерий устойчивости диска в пределе . Оценим относительное изменение величины при замене на . Поскольку (2.4.11) и вытекающее из него (2.4.14) получены в главном порядке по параметру , то для оценки упомянутой величины необходимо пользоваться критерием, не учитывающим неоднородности диска (2.4.4). Тогда для относительного изменения имеем

и согласованное с (2.4.15) или . Как видим, при малой величина может оказаться достаточно большой.

С другой стороны, величина дисперсии радиальных скоростей звезд определяется из наблюдений тоже с некоторой погрешностью

И, по-видимому, разумно требовать от теории, чтобы погрешность вычисляемых в ней величин не превышала значение погрешности их определения из наблюдений. Потребуем поэтому, чтобы определяемая (2.4.16) величина

Выражая из этого соотношения как функцию и подставляя в (2.4.14), получим уравнение для величины :

Для примера приведем решения (2.4.19) для солнечной окрестности ( М/пк, км/с/кпк, кпк):

Эти решения достаточно типичны, поскольку для дисков, вращающихся с const (), величина изменяется, по-видимому, в не слишком широких пределах: (в солнечной окрестности ), а зависимость от довольно слабая. В то же время погрешность, характеризуемая разбросом данных наблюдений, по величине даже в окрестности Солнца не меньше [12,53,55], а для других галактик достигает (см., например, [64-66]). Поэтому для большинства звездных дисков плоских галактик критерий устойчивости неосесимметричных возмущений в пределе на основе уравнения (2.2.38) может быть использован для оценки необходимой для устойчивости звездного диска дисперсии радиальных скоростей его звезд.

2.4.5 Критерий устойчивости звездного диска

Получим теперь общее условие устойчивости звездного диска с учетом градиента дисперсии скоростей звезд () и возможного отклонения дифференциального вращения диска от степенного закона (). Вычисления в этом случае аналогичны приведенным в п. 2.4.3. Учитывая также влияние конечной толщины диска, описываемое соотношением (2.4.6), приходим к следующему результату:

Если теперь в соответствии со сказанным выше положить в (2.4.20) , то для определения верхней границы необходимой для устойчивости звездного диска дисперсии радиальных скоростей звезд получаем следующую оценку [199]:

Этот результат, как и результаты Тоомре (2.2.41) и Вандервоорта (2.2.43), является локальным и применим лишь в тех областях диска, где выполняются исходные приближения -- эпициклическое и малости параметра [очевидно, что в центральных областях звездных дисков оценка (2.4.21) может не выполняться]. Отметим также, что вычисление с необходимостью должно быть итеративным, поскольку величина входит и в правую часть равенства (через ).

Результаты проверки оценки (2.4.21) в численных экспериментах и для некоторых построенных моделей Галактики обсуждаются в гл. 3.

2.4.6 Характерные масштабы неоднородностей поверхностной плотности и дисперсии радиальных скоростей звездных дисков

При обсуждении критерия устойчивости Тоомре-Вандервоорта (см. п. 2.3.1) уже упоминалось о численных экспериментах с моделями звездных дисков. Эти эксперименты (см. также гл. 3), в частности, показывают, что в процессе эволюции к стационарному состоянию в таких моделях происходит перераспределение равновесных поверхностной плотности и скорости вращения и "разогрев" дисков до состояния, в котором экспериментальное значение оказывается близким к по (2.4.21). В то же время величина зависит не только от локальных значений , , но и от их градиентов, а также от величины градиента . Поэтому можно ожидать, что в процессе эволюции в маргинально устойчивое состояние в звездном диске распределения параметров станут такими, что величина будет близка к минимально возможной. Проанализируем с этой точки зрения дисперсионные свойства ветвей колебаний звездного диска и условие его гравитационной устойчивости.

Как мы выяснили выше, дестабилизирующее влияние радиальной неоднородности параметров диска обусловлено двумя факторами. Во-первых, в стационарном звездном диске для дисперсии азимутальных скоростей звезд имеем [1], и следовательно, для стабилизации предельно неосесимметричных возмущений из-за меньшей, чем радиальная, азимутальной "упругости" диска величина должна быть в раз больше, чем . Во-вторых, дисперсионное уравнение (2.2.38) в области частот описывает три ветви колебаний в плоскости диска: две гравитационные и одну градиентную. Градиентная ветвь обусловлена наличием неоднородности дисперсии радиальных скоростей звезд или неоднородности поверхностной плотности диска, либо и тем, и другим. Дополнительная дестабилизация возмущений в неоднородном диске связана с возникновением "взаимодействия" между градиентной и гравитационными ветвями в случае недостаточно горячего ( ) звездного диска. Ниже будем полагать закон вращения степенным с const (). Дисперсионные кривые в области частот в диске с изображены на рис. 2.6, 2.8.

В то же время с ростом "температуры" диска (увеличением параметра ) абсолютная величина частоты гравитационных возмущений в области растет, и при некотором "слабая связь" градиентной и гравитационных ветвей исчезает. Это и приводит к стабилизации гравитационно-градиентной неустойчивости диска (см. рис. 2.8,b). Как видно из рис. 2.8,a, в недостаточно горячем () звездном диске в пространстве волновых чисел могут существовать две области неустойчивости. Этот эффект обусловлен следующим обстоятельством. Закон дисперсии градиентной ветви колебаний диска, близкого к границе устойчивости, в области длин волн запишем в виде

Отсюда видно, что в длинноволновом пределе () частота градиентной ветви отрицательна, а в области длин волн -- положительна. Таким образом, градиентные возмущения могут взаимодействовать как с отрицательной, так и с положительной джинсовскими ветвями колебаний звездного диска (см. рис. 2.8).

Если параметры диска таковы, что ( const), то существует лишь одна область неустойчивости в -пространстве. При могут существовать две области неустойчивости в -пространстве. И в зависимости от параметра с ростом величины одна из них исчезает при меньших значениях , а другая -- при больших. В дисках с неустойчивость в области II подавляется при меньших значениях , чем неустойчивость в области I. Если же в звездном диске , то при меньших значениях подавляется неустойчивость в области I. В дисках с обе области неустойчивости исчезают практически при одном и том же значении величины (рис. 2.8,b). Точное значение , вычисленное из полного дисперсионного уравнения (2.2.38), слабо зависит от параметров диска [224].

Итак, функция в случае достигает своего минимума при . Казалось бы, в каждой точке звездному диску "выгодно" иметь близкие значения и . Но этот вывод основывается на локальном анализе при фиксированном , и, таким образом, одновременное выполнение двух условий -- диск маргинально устойчив и параметр const -- в общем случае не может реализоваться для достаточно протяженной области.

Выясним, к чему приводит требование, чтобы весь диск (за исключением центральных областей) обладал минимально возможной для устойчивости дисперсией радиальных скоростей звезд [62]. Ограничиваясь качественным рассмотрением, воспользуемся для анализа критерием устойчивости (2.4.21), записанным в форме

где , . Будем рассматривать (2.4.23) как дифференциальное уравнение для функции , считая зависимости , известными. В соответствии с этим перепишем (2.4.23) в виде

Как нетрудно видеть из (2.4.23), величина достигает минимального значения при , и в этом случае с необходимостью . Для реальных плоских галактик хорошей аппроксимацией является зависимость с const. Таким образом, условие требует с . Однако в этом случае для произвольных не может выполняться условие . А при в зависимости от знака "" или "" в (2.4.24) величина становится соответственно больше или меньше .

Численное интегрирование уравнения (2.4.24) приводит к следующему результату: ограниченные решения уравнения (2.4.24) возможны только при знаке "", т.е. . Таким образом, хотя параметр может зависеть от радиальной координаты, но .

Наблюдения. Величины и (но не сама плотность) определяются из наблюдений достаточно уверенно. Известно также несколько галактик, в которых определены дисперсии радиальных скоростей в нескольких точках (для определения величины достаточно двух) по радиальной координате. Поэтому представляет интерес проверить для этих объектов выполнение условия , которое эквивалентно

Для солнечной окрестности Галактики разброс значений параметров , достаточно велик: кпк, [225]; кпк [15]; кпк [226]; кпк [227,228]; кпк [229]. Крайние оценки дают . Условие (2.4.25) выполняется и для всех 11 галактик, рассмотренных в работе [62], причем для них .

Следует отметить, что если в звездном диске существенную роль играют какие-либо процессы, приводящие к нагреву диска, то система обладает запасом устойчивости ( ), и, таким образом, условие (2.4.25) может нарушаться. Чтобы установить величину из наблюдений, необходимо независимое определение плотности вещества звездного диска, что является непростой задачей.

При проведении численных экспериментов по моделированию бесстолкновительного звездного диска можно определять радиальные зависимости равновесных параметров , , , и таким образом вычислять характерные масштабы неоднородностей этих величин. Обсуждение такого рода работ дано в п. 3.3.2. Результаты этих работ также подтверждают, что вне центральных областей характерный масштаб неоднородности поверхностной плотности не превышает по величине характерный масштаб неоднородности дисперсии радиальных скоростей звезд ( ). Как мы увидели выше, этот результат можно объяснить, исходя из требования, чтобы весь диск находился на границе гравитационной устойчивости.

Интересно также отметить, что в модели Галактики Рольфса и Крейчмана [230] по результатам вычисления величина , а в модели Калдвелла и Острайкера [24] .

---

<< 2.3 Гравитационная неустойчивость | Оглавление | 2.5 Изгибные возмущения >>