Недавно пришло в голову альтернативное доказательство теоремы об особой точке на границе круга сходимости (честно скажу, не нравится мне то, что дается в Тихонове-Свешникове). Справедливо ли оно?
Теорема: На границе круга сходимости степенного ряда лежит хотя бы одна особая точка голоморфной функции f(z), к которой сходится данный ряд.
Доказательство:
Обозначеним круг сходимости как .
Предположим противное: все точки – правильные. Тогда, по определению правильной точки, , в которых f(z) представима степенным рядом. Объединение круга U и данного семейства окрестностей, очевидно, содержит в себе круг , причем внутри этого круга f(z) – голоморфна (по теореме о голоморфности ряда в круге сходимости, плюс f(z) голоморфна в круге U). Получается, что f(z) в круге U* разложима в ряд Тейлора, совпадающий с изначальным рядом (в силу единственности разложения). Но теперь радиус сходимости больше R, что противоречит условию. Следовательно, на границе U есть особая точка, ч.т.д.

Думаю, можно еще проще: зафиксировать канонический элемент с центром на границе U, а затем аналитически его продолжить вдоль границы U. Радиус сходимости увеличивается и в этом случае.

Если это сообщение найдет ответ (а я очень на это надеюсь), то напишу еще несколько вопросов, котрые меня интересуют. Если не найдет ответ, придется ботать Липшиц-непрерывность
Заранее спасибо.

по моему, доказательство звучит правдоподобно)

стиль чуть подправить, а по сути - я лично ошибок не вижу... *но я только начал ТФКП серьезно ботать...*

Док-во верное и более того,сама теорема в принципе очевидная,не знаю как там док-ся единственное что могу предположить то,что у тебя док-во от противного,это не очень любят матаматики,там я так понимаю оно не от противного ,а прямое так?если станицу дашь в учебнике то гляну.

Спасибо за ответы!


Я не описал множество - это все точки замкнутого жорданова пути . В этом описании есть лишнее, но зато не будет вопросов.


стр. 113
У Тихонова-Свешникова в доказательстве 2 раза используется прием "от противного".

а по-моему, твое доказательство неправильное.кто тебе сказал, что радиус можно расширить?все, что тебе известно- что радиусы сходимости в каждой(!) точке больше нуля, но может случиться, что нижней гранью множества этих радиусов и будет ноль! т.е. при расширении Ro какие-то ->0! другое дело, т.к.ты покрываешь окружность этими радиусами сходимости (бесконечным чилом, т.к. у КАЖДОЙ точки есть радиус сх-ти),а окружность-

ограниченное замкнутое множество, то (отождествляя покрытие окр-тями покрытием отрезками) по лемме бореля можно покрыть конечным числом. и ТОГДА можно взять минимальное расстояние.( далее по тексту)

Нафига доказывать то что было уже другими доказано?

Если точная нижняя грань множества радиусов – нуль, то на границе круга найдется точка M*, в которой функцию нельзя будет разложить в степенной ряд, т.е. для любого epsilon>0 функцию нельзя разложить в epsilon-окрестности этой точки, т.е. точка - особая. Но мы предположили, что все точки на границе – правильные. Противоречие. Следовательно, точная нижняя грань – не нуль.
Но, правда Ваша, в док-ве нужно заменить на

Что касается существования такой точки M*: это предельная точка выделенной из последовательности точек


Вот эту строчку я не понял – не могу уловить логики. Поясните, пожалуйста.

а вот докажи, что такая точка М* найдется! это не очевидно! ( то, что она существует равносильно тому, что точная грань достижима) но в этом то вся проблема! т.е. может случится, что какой-то радиус стремится к нулю, но он же больше нуля! тебе нужно использовать ЗАМКНУТОСТЬ круга Ro!!!

2 Tigran K. Kalaidjian

2negr че, крутой?

Вопрос не по курсу, а по процессу=))

Есть ли экзаменационные задачи и по матану, и по ТФКП? (Как в 1 семестре к матану были или во 2 к линалу)

А вот мне в голову пришло точно такое же доказательство этой теоремы.
Только для строгости надо сказать.
Определим на замкнутом контуре C r(z) r>0 для любого z (все как по Свешникову-Тихонову)
Потом скажем, что так как C - замкнут, то r(z) достигает своей нижней грани. Но поскольку r>0, то r>R>0. А вот построив круги радиуса R с центрами в каждой точке С, мы сможем увеличить С.

А консультации будут? - Уточнить бы это все у преподов, а то у меня еще есть вопросы тут.

есть конечно. если они год от года не меняются, то у меня вроде есть.
а вообще надо брать у первой сдавшей группы.. это будет точно.

ОК. убывающая последовательность монотонна на ограниченном множестве (граница круга), следовательно имеет на нем предел - нуль (если т.н.г=0), причем предельную точку назовем M*(тут, вроде, не с чем поспорить). Но, из-за замкнутости нашего множества(граница любой области – замкнутое множество), M* ему принадлежит (ибо замкнутое множество, по определению, содержит все свои предельные точки). Вот и все.


Есть прошлогодние. См http://ff12.nm.ru и http://afrodita.phys.msu.ru – на нашем есть сканы 6-ти разных билетов по матану и программа курса, на Афродите – пример линала и теорминимум по матану.


Ты хочешь применить 2-ю теорему Вейерштрасса? Но ведь мы не знанаем ничего о непрерывности r(z).


Факультет закрыт – даже охранников нет. Кафедра математики, естественно, не отвечает на звонки.

Не думаю я, что автор ожидал моего появления здесь. Но ведь форум открытый, кто куда хочет туда и ходит, да и нет у авторов (пока) такого права - закрывать доступ отдельным неприятным личностям на их ветки. Так что уж не обессудьте. Тем более, что ТФКП надо сдавать и многим другим студентам, а не только автору ветки.
Сначала предельно кратко по этому вопросу.

Не справедливо. Я так думаю. И я знаю точно, где ошибка, можете мне поверить (а можете и нет, Ваше право). Надеюсь, на вопрос ответил ясно.

Вы получили много ответов, и даже самых разнообразных, спектр ответов широк, можете выбрать любой наиболее Вам понравившийся, например ответ negr-а. Поэтому, следуя Вашей же логике (а Вы ведь претендуете быть теоретиков с математическим уклоном, не так ли? Да и в данном вопросе пытаетесь дойти до полной логической завершенности, что в данном случае есть совершенно правильно) и говоря Вашими же словами, Вам не придется ботать Липшиц-непрерывность. Кстати, Ваше "альтернативное доказательство теоремы об особой точке на границе круга сходимости", если посмотреть непредвзятым взглядом, полностью повторяет схему так непонравившегося Вам доказательство, что "дается в Тихонове-Свешникове", вот только кусок (наибольший по объему) с доказательством выполнимости условия Липшица выброшен за непониманием его роли и места (кстати, не заменяйте стыдливо слова "не понятно" словами "не нравится"). Если при сборке остались лишние детали - выбросьте их и забудьте. Тем более что пред честным форумом обещались не ботать Липшица. А теоремы этой даже в Шабате нет (Вы ведь его начитались, судя по терминологии. Кстати, мне он тоже вполне нравится, надо только понимать что кажущаяся ясность там порой достигается за счет строгости доказательств). Однако даже Шабат не побрезговал доказательством Липшиц-условия (параграф 8, пункт 28 "Продолжение вдоль пути". Стр. книг у разных изданий могут быть разные. У меня это 162-163 стр. Кстати, соответствующая стр. Свешникова у меня 108, а не 113 - это для Muff-а на всякий случай). А уж В.И. Смирнов "Курс высшей математики" (курс очень достойный), том 3, часть 2, в параграфах о формуле Коши условие Липшица использует по нескольку раз на страницу.

Во-первых, не верное. Во вторых, она не настолько очевидна (особенно в своей строгой формулировке), так что ее даже справочник Корна процитировал. Да и в хорошей книге "Теория функций" она тоже доказана отдельно, и поаккуратней чем у Тихонова-Свешникова. В этой теореме тонкостей до туевой хучи. Например, как вам такое утверждение (верное, пример можно привести) из В.И. Смирнова: "вообще говоря, особая точка определяется не только своим положением на плоскости, но и тем путем, которым мы к ней пришли, совершая аналитические продолжение"?
Так что vrezhik здесь писала наиболее правильные слова, ее только почему-то не до конца поняли. Кстати сказать, такая вот еще тонкость (Tigran K. Kalaidjian это может не читать, это вне рамок его кастрированного доказательства). Пусть вы запараметризовали окружность (замкнутый Жорданов путь) - скажем параметром t, где t принадлежит отрезку [0, 2*pi]. Тогда двум разным значения t (им, и только им, по определению - нет самопересечений по определеню замкнутого Жорданова пути), а именно: t=0 и t=2*pi соответствует одна и таже точка на окружности - начальная, она же и конечная. Далее мы каждой точке НА ОКРУЖНОСТИ (а не параметру t!!!) ставим в соответствие число - радиус круга сходимости. Совершили полный круг (t от 0 до 2*pi), и пришли опять в начальную точку. А ну как при этом мы получим уже другое значение радиуса сходимости, отличное от начального (формальный пример могу привести)? И это - катастрофа, потому что тогда мы не можем даже использовать слово "функция" (отображение), ибо для отображения главное: одному аргументу - одно и только одно значение функции. В упомянутой мною "Теории функций" сделан маленький трюк, чтобы этого избежать. Не знаю, почему Тихонов-Свешников так не поступили. Но для понимания всего этого этого время надо тратить на действительно умные книжки, где можно научиться думать, а не на те, что учат манипулировать красивыми словосочетаниями, как А.К. Гуц.
Как-то в интервью Гулегина (оперная певица) сказала, что отказалась петь Турандот, ибо после этого не сможет петь задушевные партии Виолетты. Думаю, здесь - аналогично. Вкус надо вырабатывать и беречь, а не портить его суррогатами.
Я сознательно попытался проиллюстрировать нетривиальность теоремы, но не дал ответа. Кстати, он-то здесь почти звучал, но здесь такая мешанина правильного и неверного, что вычленить правильное не очень просто, особенно студентам. Хотя Свешников-Тихонов весьма подробно все расписали. Так что думайте, оное зело полезно. Остается только процитировать автора ветки (правда, из другой темы), и здесь я с ним полностью солидарен: "Требуется всего лишь знаний первого курса." Флаг в руки, Tigran K. Kalaidjian!
Специально для Tigran K. Kalaidjian, чтобы не было опять нареканий, что я много чего написал, а что-то утаил. Но на Ваш-то вопрос я формально ответил. Чтобы пояснить мой подход, стоит взять тему, где у нас с Вами наблюдается ясность полная. Я имею в виду тот вопрос по гидродинамике. За задачей можно видеть только ответ (что Вы тогда и дали), либо массу вопросов. Я видел вопросы. Основное: при каких условиях приближение Пуазейля справедливо? А если оно где-то несправедливо, то почему? Более того, ответы-то я знаю, вот только разобраться в их выводах нет времени, так как своей работы выше крыши, а гидродинамика вне моих интересов. Такая ситуация для меня равнозначна ответу "Не знаю". Например, течение Пуазейля подразумевает бесконечно длинную трубу. Для трубы конечной длины тоже некоторые задачи решаются, но очень мало какие. Так вот для меня главное - не ответ, а процесс, когда можно что-то новое узнать. И, принимай я у Валетины задачу, именно это я у нее и пытал бы. Кстати, благодаря той коротенькой пикировке я новое в физике узнал (скорее - вспомнил). Чего и Вам желаю. А если не о физике, а о форуме, то я хочу сказать Вам: Не Ваше дело (равно как и не мое тоже) указывать другим участникам форума, что и на какой ветке писать, а уж тем более не на вашей (гидродинамической).
Не могу не процитировать детскую сказку А.С. Пушкина:
"Многие меня поносят,
И теперь наверно спросят:
Глупо так зачем шучу?
Что за дело им? Хочу...

Поясните, пожалуйста, в чем ошибка. Помимо вас с Тиграном, этот топик читают другие люди, которым ваша пикировка абсолютно неинтересна. Поэтому просьба свои высказывания аргументировать.

Столько написать-то... Сочувствую Вашим проблемам.


И где же?

Саша, я именно потому и ответил, чтобы не дать красивыми фразами (голоморфная функция,...) недограмотным еще студентам увлечь на неправильный путь юные неокрепшие умы. А аргументированность - куда уж больше... Я ссылок надавал, чуть ли не страницы указал... Хотите - и страницы к каждой книжке укажу.... Хотя да, библиотеки - то не работают... Согласен, что пикировка не интересна, поэтому и выделил ее мелким шрифтом - можно не читать. Но большая-то часть текста - сугубо математическая, согласитесь. Студенты, вам ведь надо экзамен сдать - уделите 5 минут, разберитесь с этим несчастным условием Липшица, и отвечайте по Свешникову. Вам так дешевше обойдется. А что до глубокого понимания этого вопроса - так это никуда не уйдет, и после экзаменов можно вернуться. И я чуть поосвобожусь.

Во-первых, процентов 70 - это математика, согласитесь - и даже напоминание об обещании - это тоже математическая логика. Меня так Моденов П.С. учил. Или Вы несогласие с собой в математике принимаете за личную антипатию? Напрасно, личной неприязни я к Вам не испытываю . Конечно, я понимаю, на Вас наибольшее эмоциональное воздействие произвел оффтопик, но это - Ваши личные проблемы. А что касается меня, то это - ей-Богу не проблемы, это - получение удовольствия от того, что я вспомнил приятный мне кусочек математики, на что-то обратил внимание студентов. И получил кайф от хорошей математики - ради этого и времени своего потратить не жалко. Ну а уж что приходится пикироваться - так неизбежные добавки, кои есть в каждом деле. Но зато сказку Пушкина перечитал (очень рекомендую ее), опять же удовольствие.

Как говаривал в таких случаях Ландау: "Я за Вас думать не подрядился." Фраза "... И где же?" подразумевает некое недоверие. Лично Вам - и не доверяйте мне, отвечайте как считаете нужным. Кстати, возможно Вам достанется этот вопрос, и Вы его ответите по-своему, и даже получите 5. Что только скажет об уровне экзаменатора, но математике от этого не холодно ни жарко.
Извините, убегаю (давно обещал), может вечером сподоблюсь еще что написать.
P.S. Вы напрасно обижаетесь на то, что ответ не даю. Во-первых, правильные слова здесь уже звучали, надо только отбросить шелуху и все оставшееся логично выстроить. Во-вторых, ничто так не обостряет восприятие, как добрая ссора. Думаю, что эту теоремку читавшие эту ветку запомнят хорошо. Что и требуется. Вашей же, любимые студенты, пользы для.

Уточню вопрос Саши: есть ли экзаменационные задачи именно по ТФКП?

Есть. Около 60 шт. Нажмите для просмотра прикрепленного файла Спасибо Кириллу Трубкину!

2Мимохожий
позвольте выразить
уважение. и благодарность..

2Tigran появилось ощущение, что в твоем доказательстве есть ошибка... Я еще над этим подумаю)

UPD: прочитал ответы Мимохожего - понял, чтобы понять ошибку в док-ве, надо прийти к той же терминологии) *ну не понравился мне в начале симестра Шабат, и я его не стал брать...*

Вообще, оно похоже на доказательство из Евграфова, в чем-то... Только Евграфовское мне больше нравится, хотя оно и несколько длиннее. Кстати, в нем нет ничего "от противного"


М.А.Евграфов "Аналитические функции"
стр.63-64 - теорема используемая в док-ве.
стр.134-135 - само док-во.
*ну лень мне его вбивать, особенно вспоминая по ходу TeX*

Евграфов, 3.59Mb

2 Tigran K. Kalaidjian
Это для этого года?

2 Sasha: Я не знаю, какого это года, но, в общем-то курс ТФКП не сильно меняется от года к году. Думаю, если разберешь эти билеты, то ты не увидишь чего-то очень неожиданного в билетах этого года, особенно если учить все, что есть в программе.

2 DeepKeeper: спасибо за ссылку. Сейчас скачаю.
Жду указания на ошибку в доказательстве. После спора с Vrezhik мне кажется, что док-во можно упростить, выкинув, все, что связано с параметризацией границы круга - она нужна только для этого:

Цитата

Думаю, можно еще проще: зафиксировать канонический элемент с центром на границе U, а затем аналитически его продолжить вдоль границы U.

А это, по всей видимости, не очевидно.
2 Мимохожий: в используемой терминологии я разбираюсь и отвечаю за каждое слово в доказательстве. А Ваши выпады, вследствие их неаргументированности, мне придется просто игнорировать.

Мне приятно видеть, как наши с Вами взгляды становятся все ближе и ближе. Например, я выше предлагал Вам: "Лично Вам - и не доверяйте мне, отвечайте как считаете нужным". И Вы сейчас о том же - о полном игноре моих слов. Я писал в своем первом посте: "Пусть вы запараметризовали окружность... И это - катастрофа, потому что тогда мы не можем даже использовать слово "функция" (отображение), ибо для отображения главное: одному аргументу - одно и только одно значение функции". И Вы уже пишете:
Поясню еще раз (нисколько не напрашиваясь на личные упоминания, я человек неамбициозный, по крайней мере здесь на форуме, а токмо ради студентов просвещения): параметризации замкнутого пути стоит избегать, а если уж и есть необходимость - то использовать ее предельно аккуратно, не потому, что она лишняя, а потому что такое отображение не является непрерывным - см. Колмогоров, Фомин, "Элементы теории функции и функ. анализа".

Не очевидно, Вы правы и здесь тоже. Представьте, что идя по этой границе (окружности), вы наткнулись на особую точку (полюс, или, точку ветвления, что еще может быть хуже). Как вы его перескочите? Придется ведь сходить с окружности. А ну как не в ту сторону сойдете, и попадете, не желая быть может того, на другой лист Римановой поверхности. Мне думается, для предельной аккуратности это место надо было бы чуть по-другому описать, как это было сделано в упоминаемой мною книжке "Теория функций". Кстати, я тогда сознательно не указал ее автора, проводя маленький тест: спросят или не спросят? Не спросили, (сейчас-то для вас главное - экзамен, это ясно), но хотя бы и на будущее... Книжка классическая, ее первому изданию уже под 70 лет.
Там автор сделал так: вместо того, чтобы идти по границе круга сходимости радиуса Ro с возможностью наткнуться на особенность, он пошел по окружности меньшего радиуса R=Ro-d, 0<d<Ro. Уж на этой-то окружности R мы и функцию знаем, и переразложить в ряд Тейлора всегда право имеем. Но тогда точная нижняя грань расстояний до особых точек будет не 0, как у Свешникова-Тихонова, а d. Но это нам и не страшно, опять непрерывная на замкнутом множестве функция в какой-то своей точке достигает этой своей нижней грани d, и далее все как у Свешникова-Тихонова. При таком пути и на другой лист гарантированно не попадете, и двузначности функции не получите.

Спасибо за книгу, скачал и глянул.
На Шабате никто и не настаивает, "мне нравится другое" - вполне нормальный аргумент. Хочу только отметить, что формально определение особых точек у Свешникова-Тихонова и Шабата чуть разнятся. Хотя, с учетом теоремы Абеля, эти определения согласуются.
О Евграфове: хочу отметить, что он тоже доказывает непрерывность все той же функции - радиусов кругов сходимости, определенной на окружности, см. стр. 135 (электронная нумерация), слова "Заметим что круг ... " - и до конца стр. И доказывает ее ровно тем же способом, что и Свешников-Тихонов, разве что без картинки. А слова "от противного" спрятальсь за фразой: "Ясно, что РО(ФИо)=0 в том и только в том случае, когда точка ... является особой точкой...".
Вернусь еще к условию Липшица, из которого следует непрерывность функции. Мне думается, что неприятие этой части доказательства происходит из-за школярного взгляда на математику: из слов следуют слова, а формулы могут вытекать только из формул. На самом деле это не так, и здесь именно это и происходит: определили невесть какую действительню функцию на окружности (радиус круга сходимости), и тут как из рукава вытащили, что она оказалась равномерно непрерывной. Не из рукава, а из ее словесного определения.
Ну и наконец: так где же ошибка? Опять начну издалека: бойтесь слова "очевидно". Например, известны примеры непрерывных на интервале 0=<x<1 функций, нигде не имеющих производную (первый пример построил Вейерштрасс). Так вернемся к нашим баранам. Вы находитесь на окружности Ro радиуса круга сходимости. Вне этой окружности простирается открытое множество F. Поэтому расстояние от вас (от точки r, принадлежащей Ro) до любой фиксированной точки f из F КОНЕЧНО. Поэтому единственное для Вас спасение - это рассмотреть последовательность особых точек, лежащих в F и приближающихся к нашей окружности Ro. Дальше говорится:

Есть с чем спорить. Каждое слово требует доказательств. Хотя Вы не все упоминаете, но фактически Вы используете утверждение: "Всякое ограниченное замкнутое подмножество эвклидова пространства компактно". Хотя оно известно, но все равно его надо на экзамене доказывать. Но ведь рассматриваемое выше открытое множество F НЕ ЗАМКНУТО! Поэтому Вам, чтобы обосновать хотя бы сам факт существование предельной точки, временно придется присоединить окружность-границу Ro к множеству F, чтобы сделать ваше множество хоть на время замкнутым. Именно отсутствие этого пункта в Ваших словах давало мне возможность смело говорить об ошибке. И убедите меня, что я не прав... Математика требует предельной точности. Но ведь и дальше не легче. Ну получили Вы, что можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Но Вам еще необходимо доказать, что найдется именно такая, что сходится именно к нужной Вам точке. Это как раз то, о чем с самого начала и сказала vrezhik. Поэтому, ребята, для экзамена - учите по Свешникову-Тихонову (или другой книжке), а для себя - можно потом и в топологии разбираться.
Не буду дальше спорить, возможно все это и можно преодолеть - мне лень думать о контрпримерах. Возможно и я что-то упустил в своих аргументах, возможно что есть какой-то контрпример, который камня на камне не оставит от предлагаемого доказательства. Свою долю удовольствий с этой ветки я уже получил, надо поработать. Но Ваш метод доказательства столь геморроен, а рядом находится такое замечательное свойство - равномерная непрерывность, а ее доказательство весьма поучительно - стоит на это потратить время, поверьте.
Тешу себя иллюзией, что это обсуждение оказалось интересным не только мне. Пушкина почитал, Мкртчян вспомнил (сначала Фрунзика из "Мимино" поцитировал, а уж за компанию и Рубен Левоновича - директора института в Ереване - вспомнил). На самом деле я с удовольствием узнаю, где я оказался неправ - тогда я еще что-то новое пойму для себя. И мне как-то странно видеть, когда личные амбиции перевешивают нормальное здоровое научное любопытство. Я ведь не зря не написал сразу ответ. В науке чаще всего достаточно только намекнуть на какой-то факт, и это сразу воспринимается, минута - и все, все уже исследовано и истоптано - плюнуть некуда. А тут почти сатисфакции потребовали...

2 Мимохожий
просто, если честно - то Свешникова-Тихонова я открывал только во время симестра... Не удосужился сейчас глянуть.

- это скорее ссылка на теорему которая доказывается чуть раньше, но в общем-то вы правы.

Но, это просто потому Евграфов - лично мне приятнее.
И по моему, содержит весь программный материал, и немного сверх *по крайней мере часто попадается то, что на лекциях не заметил (может и моя вина, я 3 пропустил ), на семинарах не было, но имхо - весьма полезно...*)



Кстати, вопрос ко всем - как вести себя при нестыковке терминологии с экзаменатором?.. (понятно, что можно вообще все объяснять, но это перебор...) *просто как я заметил, присутствует 4 или более разных местами пересекающихся систем терминологии для ТФКП...*

Ребята, да ради Бога, я сейчас трачу время совсем не для того, чтобы показать свои знания и поймать вас на чем-то, а наоборот, понимая вашу запарку, надеюсь что что-то вы воспримете к экзамену и с форума тоже. Ведь только книжки читать - с ума сойти можно.
К слову сказать, возвращаясь к данной теоремке (на границе круга сходимости степенного ряда лежит по крайней мере одна особая точка...). Здесь важно - именно на самой границе круга сходимости лежит точка, принадлежит этой самой границе, а не бесконечно близко к ней, что звучит у Tigran K. Kalaidjian. Точнее, у него это так: Если около какой-то точке r, принадлежащей границе круга сходимости и при этом бесконечно близко от нее, находится особая точка, то и точку r нельзя называть регулярной. Спорить можно до посинения, даже если вдруг это как-то доказуемо. Но мне кажется, что основные спорные моменты я указал. Можно дальше доказательство подправлять...
К слову сказать, еще нечто подобное из ТФКП, о точности формулировок. Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса: "Каково бы ни было epsilon>0, в любой окрестности существенно особой точки ... " Дальше Лоран Шварц в своей книге "Анализ" (том 2) еще раз напоминает: "Теорема Вейерштрасса говорит лишь о том, что функция произвольно близко подходит к любому значению, но не о том, что она принимает все значения". На что на всякий случай я и вам напоминаю. Удачи на экзамене.

Это легко показать, если определять особую точку как в Евграфове... точнее - это даже просто получается из определения)

Сейчас пробовал решить прошлогодний билет и нашел там задание:
9. Сформулируйте постановку задачи Робэна и получите ее решение.
Первый раз слышу про такую задачу. Что это?

2 Sasha & All:
Результаты сегодняшней консультации по ТФКП (лектор Попов):

1. Метода перевала НЕ БУДЕТ.
2. Билеты, которые я выложил в этой ветке - ЭТОГО ГОДА. Т.е. они и будут.
3. Неуд ставится при неответе хотя бы на один из первых 6-ти вопросов.
4. Определение римановой поверхности знать не надо, требуется лишь понятие.
5. Пользоваться терминологией другого учебника можно, главное захватить с собой учебник, на случай спора, и знать определения к используемой терминологии. Этот пункт, все же, думаю, относится не ко всем преподавателям.

2МАГОР:
Задача Робэна: определить плотность распределения заряда на идеально проводящем проводнике. Обычно рассматривается цилиндрический проводник. Если форма поперечного сечения (замкнутый контур С) задается функцией f, конформно отображающей С на окружность, то нам нужно решить задачу для окружности (тривиальный случай), а затем учесть, что конф. отображение не меняет углов, т.е. тангенциальная сост. поля останется нулевой, а нормальная изменится в |f'(z)| раз.

Подробно: Свешников-Тихонов. Стр. 212
См. также лекции Попова на Афродите - там этому посвещен отдельный пункт.

как человек понимающий весьма и весьма неплохо всю теорию, но жутко нервничающий на экзамене - могу высказать только одно... особенно по пункту 3 - в кванторе каком-нить ошибешься от нервов, такую ошибку сам-то можешь не заметить - и проглядывать додумывая... и все...

Я тоже так думал. И был уверен, что это верно, поэтому и дал именно такую переформулировку, которая казалась очевидной и не требующей доказательств.
Но вчера с семьей пошли в гости к старинным друзьям. После доброй порции хорошего французского коньяка (нравится мне этот напиток, каюсь), пришли домой, с удовольствием предался своим мыслям - и тут нашел замечательный контрпример. Да, не зря мудрые люди говорят: "Мастерство не пропьешь ". Но пишу только сегодня, когда все перепроверил на трезвую голову, чтобы не сделать ляп - все же своих собеседников уважать надо.
Для простоты выделения спорных моментов предположим, что мы столь бурно обсуждаемую здесь теорему уже доказали (по Свешникову-Тихонову, например).
(1)
Далее, пусть дана бесконечная последовательность функций Fn(z), n=1,2,3, ..., не равные тождественно нулю ни при каких n. Пусть каждая из этих функций Fn(z) при каждом фиксированном n аналитична внутри круга радиуса Rn=1+1/n, и на действительной оси в точке Zn=1+1/n имеет полюс первого порядка. То есть когда n стремится к бесконечности, то положение этих полюсов стремится к единичной точке M*=1 на действительной оси. Пусть эта бесконечная последовательность функций Fn(z) в замкнутом круге единичного радиуса равномерно сходится к функции Fo(z), которая аналитична внутри единичного круга.
(2)
Так что, согласно утверждению Tigran K. Kalaidjian,

нам все известно - и последовательность координат полюсов (1+1/n) сходится, и предельную точку M*=1 (а точнее - даже сам предел) мы знаем - это единичная точка на действительной оси. (Не будем уж заниматься казуистикой и придираться к доказательству существования и поиска местоположения этой точки M*. Мы ее точное местоположение уже знаем.) Вопрос: будет ли эта точка-предел M*=1 полюсом (или хоть бы какой другой, но лишь бы особой точкой) для предельной функции Fo(z)? Казалось бы, и ежу понятно, что будет. Но тут я спьяну неосторожно взял последовательность функций Fn(z)=z+{1/(n^5)}*{1/[1+(1/n)-z]}. Пятую степень я взял так, с запасом, чтобы и продифференцировать можно было, если захочется... И увидел я, что это хорошо - они полностью удовлетворяют условиям, ссформулированным между строчками (1) и (2). Да вот беда только, при n стремящемся к бесконечности они сходятся к простейшей функции Fo(z)=z, и никаким завалящим полюсом около единичной точки и не пахнет, а есть только один полюс - на бесконечности. Сходящаяся последовательность полюсов в предельной функции Fo(z) вообще исчезла!
Это все я к чему. Когда мы находим новый (а в особенности - неожиданный) результат, ВСЕГДА необходимо понять, почему в других условиях этот результат не получался. Для нового способа доказательства необходимо хоть мимолетно глянуть, а не удается ли с помощью этого нового доказательства получить какую-либо ересь. И если удается - то это значит, что где-то - ошибка. Простите за последний ворчливый абзац. Ну вот, пожалуй я даже и Саше ответил:

Надеюсь, что даже автор этой ветки сочтет наконец этот мой пост некоей аргументацией, которую не приходится просто игнорировать. Хотя: хозяин - барин, как говорится. Удачи на экзамене.

Тигран, расслабься.
Мимохожий, respect.

Коллега - математик.

Спасибо за независимую квалифицированную экспертизу. Понимание всегда приятно.

Честно говоря, я давно жду этого, потому и подначиваю его все время. Да к тому же Тигран - один из немногих, кто мог мы мне оппонировать здесь, тем более, что он должен бы защищать свое творение. А он уперся... Да не надо мне ничьей крови. Если внимательно читать форум, можно увидеть у меня аналогичный случай - а ведь там посерьезней начальная завязка была. Зато сейчас те отношения из минуса - в плюс переросли.

2Мимохожий Имхо вы не правы со своим таким контрпримером. *или в утверждениях, которые вы опровергаете надо четче очертить границы применимости* Если сдам ТФКП на отл - то послезавтра разберусь и объясню:-)

Я очень рад, что получил подробную аргументацию и что обсуждение постепенно переходит в мирное русло. Есть вопросы и замечания к аргументации. Сейчас у меня экзамены, поэтому обращаюсь к форуму только для мелких сообщений и, скорее всего, следующий раз сюда зайду уже только на выходных. К задаче я обязательно вернусь, но сейчас не хочу отвечать второпях.

Который семестр звенели струны луков, колебались мембраны катапульт, распространялась теплота кипящей смолы. Но вражеская крепость оставалась неприступной. Генералы собрались на военный совет.
- Наша задача - это штурм,- сказал Лиувилль.- Граничные значения у них, правда, сильны, но и наши собственные функции отнюдь не нулевые!
- Я,- сказал Фурье,- поддерживаю Лиувилля. Предлагаю сделать так: разделим наши войска на пехоту и кавалерию, и пусть они действуют поодиночке. А потом перемножим их усилия. Воинов у нас до бесконечности, так что соберем все вместе - и крепость взята!
- Нет,- возразил Коши.- Лучше будем последовательно приближаться к врагу, рано или поздно мы достигнем ε-окрестности.
- Но лишь после бесконечного числа перемещений,- не согласился с ним Грин.- Давайте начнем с малого, сосредоточим усилия в одной точке - и такой отклик системы получим, что мало им не покажется.
Бессель поправил цилиндр.
- А, может, мы на них мою модифицированную функцию первого или, лучше, второго рода напустим?- предложил он.- Ее явный вид ввергнет противника в ужас...
- Да я этих мерзавцев...- возмутился вдруг Лаплас- Да я у них не то что функции, я все вторые производные вместе взятые к нулю приравняю!
- Не горячитесь генерал,- вмешался Тейлор.- Прошли те времена, когда мы не брали пленных. На мой взгляд, лучше морально разложить врага в ряд. Членами более высокого порядка малость пренебрежем, а у остальных порядка будет поменьше, так что и сумма их не опасна. Что скажете, господа?

***

Долго шел военный совет. Аналитичность и гармоничность обсуждения на глазах сходили на нет.
Но тут слово взяли Будак, Самарский и Тихонов*.- Господа!- сказали они.- К чему споры? Загляните в ответ!
Крепость пала.

********************************************
такая аля сказочка ,отвлечься ,на эту тему)

Что такое условия непрерывности суммы функционального ряда??

что если ряд состоит из непрерывных функций и сходится расвномерно, то сумма ряда f(z) - непрерывная функция

А-а-а...пасибки большое))) не поняла сразу о чем речь

А еще тогда... Необходимое и достаточное условие конформности отображения? Нашла нескольно теорем, но как общей нет...

И вопрос про теорему Римана. Нужно ли все-таки знать ее доказательство на отл?

Скажем так, если бы меня это спросили на экзамене, то услышали бы такой ответ: Комплексная дифференцируемость отображения f в точке z вместе с условием эквивалентна конформности f в этой точке.

Если лектор на лекции не доказывал, то не нужно. Тем более, что я смутно помню с консультации, что Попов обещал не спрашивать доказательство, ведь я почему-то его не учил...

а я бы сказала, что необходимое и достаточное условие это: однолистность аналитической функции с производной, отличной от нуля

что если ряд состоит из непрерывных на сегменте [a, b] функций и сходится расвномерно на сегменте [a, b], то сумма ряда f(z) - непрерывная функция на сегменте [a, b]


Практически верно. Лаврентьев, Шабат (Методы ТФКП) дает определение:
"Для того, чтоьы функция w=f(z) реализовала конформное отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области она была:
1. однолистной
2. аналитической и
3. чтобы всюду в D производная f'(z)была отлична от нуля".
Переписал дословно.

2 Мимохожий
пардон, я писала по памяти, не вдаваясь в подробности
а насчет непрерывности я не соглашусь: какой-такой сегмент [a,b]??? у нас же комплексная плоскость там, конечно, все будет в области

а что такое "принцип аргумента"? в какой теме его хотя бы искать?

про принцип аргумента я учила то что относиться к логарифмическому вычету 151 стр. тих-свеш. там идет теорема про подсчет нулей функции и далее как это можно выразить через вариацию аргумента. но то это или не то сказать точно не могу. благо не попалось.

Я не понял, зачем передо мной за что-то вышенаписанное вами извиняться. Я - не экзаменатор. А поправил я только из-за того, что вопрос был задан явно предэкзаменационный, а там точность в ответе нужна (по крайней мере так было раньше). Или сейчас порядки изменились? Тогда извините, что занял Ваше время.

Поскольку речь шла только о непрерывности, то я по простоте своей взял 2-ой томик Ильина и Позняка и процитировал его. В случае ТФКП это надо заменить на слово "область D" - везде одинаковая облась. Кстати, у С.-Т. замкнутости не требуется. Тут правда Ваша. Да как и во всем остальном тоже, извините что влез со своей физиономией да в калашный ряд...

Феня все правильно написала. Именно это и есть.
За сим прощевайте. Не смею навязываться.

2 Мимохожий
извиняюсь, если задела - ничего такого не имела в виду -просто шутливо поправила...
2 Феня
спасибо, а то уже 3 книжки перерыла....

есть еще 2 вопроса по вычетам:
как считать вычет в существенно особой точке? и в бесконечно удаленной, если она является полюсом n-го порядка?

Товарищи! В билетах есть теорема "о нулях ан. функции". Что конкретно имеется в виду?

я бы сказала, что эта:
"Пусть функция f(z) является аналитической в области G и обращается в нуль в различных точках z_n? принадлежащих G, n-1,2.... Если последовательность {z_n} сходится к пределу а, принадлежащему той же области, то функция f(z) тождественно равна нулю в G" (Тих.-Свешн. стр. 75 - теорема 2.7)
преподы вроде согласились, что эта