Мехмат сейчас проводит олимпиаду для студентов младших курсов. Задания заочного этапа до 15 ноября. Вот задания:
http://www.math.msu.su/Sites/demosite/Uplo...4EDE617F1DB.pdf
Собственно, хотелось бы обсудить задачи ?2 и ?4. Обдумываю их уже больше недели, есть много идей и даже решения разными способами, но на правильный ответ ничто не похоже.
По задаче ?2.
Обозначу изменение температуры снаряда как dТ, а произвольный интервал времени - t. Тогда из условия получается следующее уравнение:
dT/t=kv+s*((Tc+dT)-Tc). Из него dT=kv/((1/t)-s). То есть получил закон прироста температуры от времени (в Кельвинах). Соответственно, сама температура снаряда (по Цельсию): T=Tc+dT-273.
Однако, при подстановке численных значений T через 1с=-252 градуса, а через час=-258 градусов. Бред... Не могу понять, где я не прав.
Задача ?4.
Общая идея - под большой угловой скоростью подразумевается такая, при которая сила вязкого трения пропорциональна квадрату скорости. В дальнейшем, через какое-то время, сила вязкого трения становится пропорциональной просто скорости.
Для удобства переобозначу угловую скорость через w, а вязкость - через k.
J*w=-Mтр (Мтр=-Fтр*R)
Пусть v1 - линейная скорость произвольной точки обода диска, v2 - скорость, при которой происходит переход от линейной зависимости к квадратичной.
Fтр в начале вращения=-k*v1*v2, после продолжительного времени=-k*v1.
Проблема в том, что непонятно откуда брать массу диска (для момента инерции) и "переломную" скорость зависимости v2. Надо ли где-то по ходу решения "переводить" угловую скорость в линейную (v=wR)? Как я понимаю, нет.

Буду благодарен форумчанам за обсуждение и любые советы по задачам.

К ?2:

dT(t)/dt=k*v+s*(Tc-T(t));T(0)=Tc.
Ответ:
T(t)=Tc+(k*v/s)*(1-e^(-s*t))

2 S.I.V.
Спасибо! Доволен хотя бы тем, что самостоятельно правильно проанализировал условие и почти правильно составил уравнение. Не додумался, что скорость изменения не просто дельта, а производная температуры по времени. Правда дифференциальные уравнения (даже такие) мне еще не привычны. Еще раз спасибо!

To Hasek.
Условие задачи ?4 изложено мутновато). Имхо, имеется ввиду следующее. Слова "диск находится на поверхности...", означают, что он очень тонок и, поэтому, его массой можно пренебречь. Роль диска - раскрутить цилиндрический столб жидкости высотой Н и радиусом R. И, при этом, обеспечить всем точкам поверхностного слоя воды , с которыми он соприкасается, одинаковую угловую скорость, как до момента начала рассмотрения, когда она была равна "ОМЕГА", так и после оного, когда диск стал свободен от некого внешнего механического момента, обеспечивавшего вращение с угловой скоростью "ОМЕГА". За счет внутреннего трения в жидкости раскрутятся и другие слои. Наверное, можно предположить, что в каждом горизонтальном слое этого "цилиндра" частицы имеют одинаковую угловую скорость, которая, вместе с тем, уменьшается от верхнего слоя к дну, где она в любой момент времени равна нулю.
Ясно, что уменьшение угловой скорости в каждом сечении этого "цилиндра" после прекращения действия механического момента на диск, будет связано с внутренним трением как между слоями, так и на "границе", отделяющей эту область от остальной жидкости.
"Граница"- в кавычках, потому , что реально "цилиндр "будет вовлекать в движение жидкость, окружающую его, и она не будет резкой. Хотя, для оценки, можно считать, что жидкость вне "цилиндра" покоится (особенно при большой "ОМЕГА").
После таких предположений-упрощений можно написать " основное уравнение динамики вращательного движения" слоя "цилиндра"
(z+dz,z; где 0<z<H). Получишь диффур, который надо решить при очевидных граничных (начальных) условиях. Как-то так...

2 S.I.V.
Спасибо за объяснение задачи!

To Hasek
В любой такой "олимпиаде" важно набирать баллы даже за не полностью решенные задачи.
Поэтому можно и без дифф. уравнений изложить, например, соображения о "характерном" времени Т эволюции заданной системы.
Методом размерностей можно построить Т из "ро", "мю" и R(а может Н?)
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Возможно Т имеет отношение к ответу на вопрос, какой промежуток времени считать "большим" (см. условие задачи ? 4)

Спасибо! Еще напишу свой результат по задаче ?1. В пункте а) наверное подразумевается, имеет ли сумма a+a/2+a/3+a/4...+a/n своим пределом бесконечность. Я просто привел все к общему знаменателю и получил (без учета a): [(n-(n-1))*...*(n-2)*(n-1)+(n-(n-1))*...*(n-2)*n+...+(n-(n-2))*...(n-1)*n]/n! Где в числителе: n слагаемых, каждое из которых представляет "неполный факториал" (произведение чисел от 1 до n без какого-то одного числа, точнее без того, которое изначально было у этой дроби в знаменателе), а в знаменателе - просто факториал n. Если разделить и числитель, и знаменатель на n! получится вообщем-то исходная сумма: 1/n+1/(n-1)+...+1/(n-(n-2))+1/(n-(n-1)). Этот предел, при стремлении n к бесконечности, равен бесконечности - посчитал на Wolfram Alpha (сам аналитически не смог). Стоит ли в решении писать, что предел посчитан на компьютере? Как на подобных олимпиадах относятся к использованию математических программ?
В результате на пункт а) получается ответ - да, на все остальные пункты - нет. Выглядит подозрительно (обычно если задается столько вопросов, на них приходится искать ответ - а тут если высота пирамиды бесконечна, то заведомо бесконечна площадь граней для покраски и тд).

Имхо, доказывать, что ряд a+a/2 +a/3 +...+a/n+... (высота пирамиды) будет расходится не надо (см. раздел Ряды в стандартном учебнике по высшей математике ).
А вот ряд : a^3 +(a/2)^3+...+(a/n)^3+..., соответствующий объему этой пирамиды, будет сходится, т.е. будет иметь конечное значение.
Площадь внешней поверхности такой пирамиды тоже будет иметь конечное значение, т.к. члены ряда будут ~1/n^2.
И, вроде бы, получаются ответы: да,да,да,нет.
Но, это, " математически".
PS
А можно добавить и " гуманитарщины" и сказать ,что до задолго до царя Сиракуз с Архимедом жил Демокрит с идеей " атомов".
Царь мог этого не знать, а Архимед должен был бы)). Тогда должен быть минимальный верхний кубик -"атом". И на первый вопрос Архимед должен был ответить "нет", а на остальные -"да"
Добавляю PPS, после более внимательного прочтения условия задачи ?1.
Если считать, все-таки, что кубики могут быть бесконечно малыми, то ответ на последний вопрос - "Нет".
Беличья кисть расcчитана на конечное число погонных метров, но расстояние ,которое она должна пройти, не меньше, чем
4*(a+a/2+a/3+...), т.е. бесконечно большая величина.
В основном тексте сообщения ранее данный четвертый ответ "да" исправил на "нет".

Вы уверены, что ответ именно такой? У меня при попытке провести все выкладки упорно получается: k*v/s+Tc+K*exp(-s*t). K - произвольная константа (появляется при интегрировании). Скорее всего, это я просто плохо решаю диффуры...

#2 исправил

пункте а) наверное подразумевается, имеет ли сумма a+a/2+a/3+a/4...+a/n своим пределом бесконечность.
Это доказывается тривиально:
1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + ... > 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/16 + ... = 1/2 + 2*1/4 + 4*1/8 + ... = 1/2 + 1/2 + 1/2 +...
Последний полученный ряд с очевидностью расходится.

Знать матан и критерии сходимости нужды вроде нет.

2 Owen

Издеваешься что ли?

Сходится ли ряд: +1-1+1-1+1-1+....(-1)^n?

Будем рассуждать так:

(1-1)+(1-1)+.... = 0 -- сходится к нулю.
1+(1-1)+(1-1)+.... = 1 -- сходится к единице.
и вообще сходится к произвольному числу или расходится при желании.

Ненуачо классно так обращаться с бесконечными рядами как Owen'у вздумается... Вот если бы ты оценивал частичные суммы (т.е. представил бы ряд как пару {S_n;n} тогда было бы все классно).

Если что, это всем известный гармонический ряд (с точностью до умножения на a) и его частичная сумма выражается через постоянную Эйлера и он расходится, однако это не повод делать подобные утверждения:

"обобщенные законы физики" тут кто-нибудь читал?

Интересно.
А кто-нибудь сможет ответить: "А Что такое "закон физики"?"
---------------
Я так утверждаяю, что всякий закон физики сводится к наблюдению: "Одно и то же, в одних и тех же обстоятельствах, но в разное время являет себя одним и тем же".
А в общем получается, что любой закон физики является формальным педставителем тех обстоятельств (условий), в которых одно и то же всегда являет себя одним и тем же.

Дорогой 4RhsU2VsL, я бы оценил твой благородный порыв, если бы не грубейший фейл в самом начале: вместо
(1-1)+(1-1)+.... = 0 -- сходится к нулю.
1+(1-1)+(1-1)+.... = 1 -- сходится к единице.
следовало писать
(1-1)+(1-1)+.... = 0 -- сходится к нулю.
1-(1-1)-(1-1)-.... = 1 -- сходится к единице.

А так ты разные ряды суммируешь. Да и, кстати, приписываешь мне то, чего я не говорил. Моя мысль была в том, что строгое (да-да) доказательство расходимости гармонического ряда доступно даже школьнику - и опровергнуть ее ты тоже не смог.

2 Owen

Да, это точно. Фейл вышел.

А я лишь хотел указать, что следовало сравнивать частичные суммы, а так-то все норм, да.