Начал изучать квантовую механику, но не могу понять основного: пси-функции, векторов бра и кет. Помогите разобраться.
К примеру есть система с 4-мя независимыми наблюдаемыми, проделали необходимое количество экспериментов и получили значения этих наблюдаемых. Что нужно взять за базисные векторы? Как составить волновую функцию такой системы? Что будет являться состоянием такой системы? Пытался изучить самостоятельно - не получается. Опирался на матричную формулировку квантовой механики.
Так вы в матричной или функциональной хотите?
Вот здесь что-то написано:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%...%BC%D0%B0%D1%8FТакже рекомендую Дирака "Принципы квантовой механики"
Базисные вектора нужно выбирать исходя из того, что вы хотите исследовать скорее, а не из того, что получается.
Так, попробуем по порядку.
Для начала, сразу "застолбим" терминологию: наблюдаемая -- это эрмитов оператор, соответствующий какой-либо физической величине.
>Что нужно взять за базисные векторы?
Пусть система описывается набором коммутирующих операторов, тогда в качестве базисных векторов логично взять собственные (согласно важной теореме, система этих собственных векторов общая для данного набора наблюдаемых).
>Как составить волновую функцию такой системы?
Сначала неплохо бы понять, что такое волновая функция. Почитайте про теорию представлений, заодно поймете связь с матричной формулировкой.
ВФ -- это вектор состояния системы в x-представлении.
Дирака как раз таки и изучаю. С представлениями я вроде разобрался, волновой функцией в матричном представлении является совокупность коэффициентов в представлении определенной величины. Квадраты этих коэффициентов выражают вероятность получения при измерении определенного собственного значения или вероятности обнаружить систему в данном собственном состоянии, что одно и то же.
Я не могу понять следующего, Дирак пишет, что за базисные векторы необходимо брать общие базисные векторы коммутирующих наблюдаемых, т.е. как я понял если есть четыре наблюдаемых к примеру A, B,C,D то за базисный необходимо взять |A B C D> (бра вектор) или я ошибаюсь? Прошу простить, если задаю глупые вопросы, просто изучаю самостоятельно, а за спиной только курс общей ВУЗовской физики.
>волновой функцией в матричном представлении является совокупность коэффициентов в представлении определенной величины
Не совсем, волновая функция состояния a в некотором xi-представлении -- это скалярное произведение <xi | a> (к сожалению, с ходу не назову учебник, где все попонятнее написано, чуть позже, может быть, ОК?). Обычно рассматривается в x-представлении, хотя это, конечно, не обязательно. Коэффициенты же эти возникают при разложении вектора по базису, точь-в-точь как в алгебре.
>Квадраты этих коэффициентов выражают вероятность получения при измерении определенного собственного значения или вероятности обнаружить систему в данном собственном состоянии, что одно и то же.
Важная поправка: не квадраты коэффициентов, а квадраты их модулей. Дело в том, что пространство состояний -- это линейное пространство над полем комплексных чисел, так удобнее, поэтому соответствующие коэффициенты комплексные. Действительны только те величины, что можно померить, то есть собственные значения наблюдаемых (кстати, отчасти ради этого накладывается аксиоматически требование их эрмитовости, или самосопряженности; другая причина -- ортонормированный базис из собственных векторов этих наблюдаемых).
>Я не могу понять следующего, Дирак пишет, что за базисные векторы необходимо брать общие базисные векторы коммутирующих наблюдаемых, т.е. как я понял если есть четыре наблюдаемых к примеру A, B,C,D то за базисный необходимо взять |A B C D> (бра вектор) или я ошибаюсь?
Да, на соответствующую теорему я ссылался выше. Возможно, Вас смущают обозначения? Попробую прояснить, а раз формулы тут вроде не работают, будо вместо крышечек использовать жирный шрифт. Значит, так, будем говорить, что вектор |A> является собственным вектором оператора A, если можно указать такое число А, что
A |A> = A |A>.
Соответственно, для полного набора коммутирующих наблюдаемых A, В, С, D (не выделяю по ленности) есть система общих собственных векторов |A, B, C, D>, где числа A, В, С, D пробегают все свои значения. Из них и удобно строить базис.
>Прошу простить, если задаю глупые вопросы, просто изучаю самостоятельно, а за спиной только курс общей ВУЗовской физики.
Нормальные вопросы, если цель стоит в чем-то разобраться, то вопрос "глупым" не бывает.
Число <xi |a> это и есть тот самый коэффициент разложения (представитель пси функции в данном представлении)? в нашем случае <ai bi ci di|a>
Вычитал, что вектор бра является матрицей с 1-й строкой, а кет - с 1 столбцом, значения которых координаты в данном базисе. Вопрос: какие числа подставлять в эти матрицы? в тех книгах, что читал подробно об этом не расписано.
Как будет выглядеть матрица бра вектора <ai bi ci di|? Она же не может быть представлена 1-й строкой?
Обязательно ли брать в качестве базисного общий собственный вектор, нельзя ли взять собственный вектор наблюдаемой А? Или описание системы таким образом будет неверным? Или же будут проблемы с воздействием, например, оператора B на такую пси функцию, ведь она (пси функция в представлении А) уже не будет собственным вектором данного оператора B?
>Число <xi |a> это и есть тот самый коэффициент разложения (представитель пси функции в данном представлении)?
Нет. |a> -- это вектор состояния, который живет в своем, абстрактном пространстве. Производя скалярное умножение <x | a>, где |x> -- собственный вектор оператора координаты, соответствующий собственному значению x, <x| -- дуальный ему совектор, мы получаем значение волновой функции при данном x, т. е. psi_a (x) = <x | a> (индекс a здесь указывает, что это волновая функция, соответствующая этому состоянию).
>Вычитал, что вектор бра является матрицей с 1-й строкой, а кет - с 1 столбцом, значения которых координаты в данном базисе.
Ну, это обычная запись. Скажите, Вы хотя бы с линейной алгеброй (конечно, для бесконечномерных пространств свои особенности, но это уже более сложные нюансы, а физическая суть та же) насколько знакомы?
Тем не менее, небольшой пассаж тут напишу, чтобы слегка прояснить общую картину.
В ортонормированном (и только!) базисе i-тый коэффициент C_i в разложении вектора a (скобки по ленности не ставлю) по базису b дается выражением:
C_i = <b_i | a>.
В x-представлении мы фактически вставляем в серединку этого скалярного произведения тождественную единицу -- сумму по всем проекционным операторам (в нашем случае она превращается в интеграл):
C_i = int dx <b_i |x><x|a> = [вспоминаем про x-представление вектора a и совектора b_i и понятие волновой функции] int dx phi*_i(x) psi_a(x), где phi_i (x) -- волновая функция, соответствующая вектору b_i , а звездочка обозначает комплексное сопряжение.
Ну а разложение по базису имеет вид:
a = sum (по всем i) C_i b_i (в абстрактном виде)
psi_a(x) = sum C_i phi_i (x)
>Вопрос: какие числа подставлять в эти матрицы?
Это опять линал. Как записать столбец координат вектора в данном базисе, Вы знаете? Тут то же самое.
>Как будет выглядеть матрица бра вектора <ai bi ci di|? Она же не может быть представлена 1-й строкой?
Хотите честно? Как прямое произведение четырех совекторов (бра-векторов). Наглядно представлять себе такое, говорят, опасно для психического здоровья. Если непонятно, то теперь хотя бы знаете, какие ключевые слова искать в учебнике по линалу.
>Обязательно ли брать в качестве базисного общий собственный вектор, нельзя ли взять собственный вектор наблюдаемой А?
Посмотрите выше, я привел там теорему: если полный набор наблюдаемых A, В, С, D коммутирует, то собственные векторы у них общие, в этом глубокий смысл. Вам непонятно, как это работает? Хотел раньше написать поподробнее, но воздержался, думаю, все же придется. Смотрите (здесь я обозначил операторы жирным шрифтом, традиционно ставят крышечку, конечно же; индексы у чисел A, B, С, D я здесь опускаю для краткости):
A | A, B, C, D> = A | A, B, C, D>;
B | A, B, C, D> = B | A, B, C, D>
и т. д.
Идея понятна?
2 White
Благодарю Вас за подробные ответы! Многое проясняется, к сожалению, с "линалом" не знаком, начну изучать. Интуитивно было понятно, что вектора кет и бра существуют в абстрактном пространстве и проявляются в численном виде только в каком-либо представлении.
Непонятен следующий момент: "В ортонормированном (и только!) базисе i-тый коэффициент C_i в разложении вектора a (скобки по ленности не ставлю) по базису b дается выражением"
Я почему-то понял так что, например в a_i представлении коэффициенты разложения равны C_i = <а_i | psi> и мы раскладываем волн. функцию по базису a_i (предположим система состоит из 1-й наблюдаемой а) |psi>=sum (c_i*|a_i>) * - это умножение.
Быть может я неправильно понял смысл представления? Разложение пси функции по ортонормированному базису общего собственного вектора системы это и есть представление?
>Быть может я неправильно понял смысл представления?
Видимо, неправильно.
>Разложение пси функции по ортонормированному базису общего собственного вектора системы это и есть представление?
Нет. Пси-функция существует не сама по себе, а только в каком-то представлении, собственно говоря, она есть результат скалярного умножения <x | a >. Отсюда же, кстати, как бы автоматически напрашивается явный вид скалярного произведения (интеграл со "звездочкой") в x-представлении, "случайно" тот же самый, что часто используется математиками.
Разложение по базису, вообще говоря, существует само по себе (в "абстрактном" пространстве) и не зависит от представления. Другое дело, когда нам надо что-то посчитать, мы делаем это в удобном нам представлении.
PS Кстати, представление есть не только для векторов, но и наблюдаемых. Сейчас я немного поиграю с буковками
, чтобы Вы посмотрели, как это работает.
Начнем с того, что "физический смысл" имеют средние значения наблюдаемых, которые имеют вид:
<A> = <a|A|a>. (*)
Пусть мы работаем в некотором абстрактном q-представлении (писать короче, чем "кси", оно же xi), тогда у нас вектор a превращается в волновую функцию psi(q). Чтобы работать с ней, надо применить тот же трюк и "засунуть" в выражение (*) единичные операторы, тогда, получим:
<A> = sum (это сумма или интеграл по всем допустимым значениям q) <a|q><q| A |q><q| a> = sum psi*(q) A_q psi(q),
где введено обозначение A_q = <q| A |q> -- q-представление наблюдаемой A (естественно, в разных представлениях операторы принимают разный вид).
PPS Кстати, слово "представление" в этом смысле почти многозначное, потому что есть еще такие понятия, например, как "представление Шредингера", "представление Гайзенберга", "представление взаимодействия", но это отдельная тема, не все сразу.
Правильно ли я понял?
Задавая представление x_i и раскладывая по базису общих собственных векторов мы можем, воздействуя на пси функцию оператором A получить среднее значение наблюдаемой A в данном представлении при нахождении вектора состояния в определенном сосбтвенном состоянии x_i. Или как в классической физике значение функции при заданной координате x. А разложение по общему собственному вектору необходимо для того, чтобы можно было находить средние значения всех наблюдаемых, воздействуя необходимым оператором <A> = <a|A|a>
Извините, я, честно говоря, не понял половину того, что Вы написали.
>представление x_i
Это что такое?
>воздействуя на пси функцию оператором A получить среднее значение наблюдаемой A в данном представлении при нахождении вектора состояния в определенном сосбтвенном состоянии x_i.
Уф... Собственное или нет, в состоянии |a> (строго говоря, в чистом состоянии, но мы пока более сложный случай смешанных не брали, так что пока не стоит забивать себе голову этим) среднее значение A находится всегда одинаково: <A> (так обозначается среднее значение)= <a|A|a>. В любом представлении.
>А разложение по общему собственному вектору
Вам непонятно, почему у набора коммутирующих наблюдаемых они общие? Ну, других нет просто. Из них и строится ортонормированный базис (в другом нам работать совсем не хочется), в этом и весь секрет.
2 White. Замечательно. Дай бог терпения.
Но позвольте маленький comment.
1. Все-таки сначала лучше бы хорошо освоить линейную алгебру.
2. Дирак - замечательно (второе чтение), но для первого чтения я все-таки посоветовал бы Фейнмана.
3. Не надо начинать с полного набора наблюдаемых - пусть сначала будет одна наблюдаемая с невырожденным спектром - иначе лишняя путаница с формулировками и обозначениями.
(Например: A,B,C,D - наблюдаемые, характеризующие систему, и мы их меряем. Но измерять-то мы можем и несовместимые. И несовместимые тоже чудесно "характеризуют" систему.
Опять же, для совместимых наблюдаемых существуют чистые состояния, не общие для этих наблюдаемых - одна имеет определенное значение, а другая - нет.
Так что тут есть где запутаться.)
4. Для начала не надо никакого непрерывного спектра. Например, утверждение, что <q|A|q> - это A в представлении q --- неописуемый оптимизм. На самом деле, разумеется, <q'|A|q>. (Это Вы привыкли, что V(x). На самом деле V(x)\delta(x'-x).)
5. А вообще-то там есть отчетливое понимание, что при отдельном измерении любой наблюдаемой получается одно из СЗ наблюдаемой, а среднее получается из-за того, что у каждого СЗ - своя вероятность ?
И при каком условии разброса в результатах измерений нету ?
И почему, следовательно, среднее от A по его же собственным векторам |a> вычислять необязательно, ибо по физсмыслу заранее очевидно, что <a|A|a>=СЗ ?
Я как-то не уверен.
6. И, по-моему, лучше бы не так абстрактно. Лучше бы как у Фейнмана - конкретный эксперимент, конкретное 2х или 3х -мерное гильбертово(!) пространство, явный вид соответствующих векторов. По-моему, так нагляднее. Скажем, спин 1/2 или фотоны. И с представлениями все будет понагляднее - есть представление s_z, есть представление s_x, физсмысл очевиден, переход между ними пишется явным образом.
О, тема приобретает популярность.
>маленький comment
>1. Все-таки сначала лучше бы хорошо освоить линейную алгебру.
Без всякого сомнения. В идеале, конечно, еще бы и функан, но даже у нас на факультете читаются только его элементы.
>Не надо начинать с полного набора наблюдаемых - пусть сначала будет одна наблюдаемая с невырожденным спектром - иначе лишняя путаница с формулировками и обозначениями.
Ну, я согласен, что сначала надо бы разобраться с более простыми вещами, просто в сообщении #1 был задан вопрос про набор наблюдаемых и построение базиса в этом случае.
>Опять же, для совместимых наблюдаемых существуют чистые состояния, не общие для этих наблюдаемых - одна имеет определенное значение, а другая - нет.
Это состояния вида |A_1> x ( c_1 |B_1> + c_2 |B_2> ), например? Ну, они же раскладываются по базису (общим собственным векторам), или я что-то не так понял?
>Для начала не надо никакого непрерывного спектра. Например, утверждение, что <q|A|q> - это A в представлении q --- неописуемый оптимизм. На самом деле, разумеется, <q'|A|q>. (Это Вы привыкли, что V(x). На самом деле V(x)\delta(x'-x).)
Да, это действительно привычно, гипотеза локальности и все такое. Стоило произнести эти слова?
Спасибо за советы.
Подучу линейную алгебру, перейду на Фейнмана тогда и вернусь в ветку