Найти поле на оси, вдоль которой колебется заряд "q" с частотой "омега". Можно при необходимости считать расстояние "r" до точки наблюдения от центра колебания много большим амплитуды "a".

Где "пожалуйста"?

Gutes Bцse, (прошу прощения, что не могу написать верно Ваш Ник) первый член тоже отсутствует.
То что в волновой зоне поле отсутствует можно догадаться вспомнив диаграмму направленности вибратора.

То, что на оси отсутствует излучение, можно понять вообще без вычислений из симметрии системы. Но автора, очевидно, интересует именно этот "вырожденный" случай (что же там такое будет вместо излучения-то). Ну, собственно, поле нетрудно найти. Первый член (r^{-3}) разве ноль? Его просто отбрасывают, так как ведущий вклад будет от r^{-2} и r^{-1} (не на оси), но не в ближней зоне.

Так там векторное произведение=0.
И следующий параграф можно посмотреть, где расчитывается поле вибратора.

Вы куда-то не туда смотрите. Формула (15) на стр. 4. Векторное это последний член и есть.

Я сразу глянул вторую ф-лу 15 (для В): там ноль для волновой зоны, т.к. два члена с векторными произведениями. И затем посмотрел параграф 3: там 0 в волновой зоне для Е и В (как и должно быть). А член более высокого поряка малости для Е (r^-2 и r^-3), конечно (Вы правы) должен быть, ибо заряд диполя колеблется и меняется расстояние до точки, в которой расчитывается поле.
А как можно понять, что поля нет из симметрии системы?

По-моему, можно так рассуждать:
Если бы излучение было, то какой-нибудь вектор, скажем E, был бы направлен перпендикулярно оси (так как волна распространяется вдоль оси). Если теперь повернуть всю систему на произвольный угол вокруг этой оси, то, с одной стороны, ничего не должно поменяться (из-за симметрии), а с другой - вектор E изменит направление, т.е. пришли к противоречию. Как-то так.
. . .
Если неверно, пусть GB меня поправит.

Да, из-за поперечной поляризации э/м излучения.

А теперь нарисуйте заряд в крайних точках колебания Х₁ и Х₂ и найдите разницы потенциалов между точками Х₃ и Х₄, отстоящими на некотором расстоянии от средней точки (Х₁+Х₂)/2, для обоих крайних положений заряда Х₁ и Х₂.

Нельзя использовать формулы Максвелла для поперечных волн там, где речь о продольных. Отсюда неувязка.

Какая еще неувязка и продольные волны? Вы не согласны с решением в дипольном приближении?

Может я неправильно понял, но в условии, вроде, шла речь о перемещении-колебании конечного заряда "q" c амплитудой "a", а не расщеплении нулевого заряда и колебании составляющих "+q" и "-q" в дмполе. См.:
А это немного отличающаяся ситуация.

Правильно, поэтому (см. скрытый текст в посте #2): "Поле монополя вообще не меняется, к нему следует добавить поле диполя."

Дипольное приближение не значит, что полный заряд системы = 0.

>Может я неправильно понял, но в условии, вроде, шла речь о перемещении-колебании конечного заряда "q" c амплитудой "a", а не расщеплении нулевого заряда и колебании составляющих "+q" и "-q" в дмполе.

Ага, неправильно. Похоже, очередная глупость из Общей_Физики^(ТМ) закрадывается в головы. Так вот, если уж говорить строго, то никаких диполей там на самом деле нет, есть заряды и токи, а дипольное излучение к колеблющимся диполям не имеет, вообще говоря, *никакого* отношения. Конечно, общие_физики имеют в виду картинки с модельными диэлектриками и атомами-осцилляторами, но это всего лишь частный случай, а дипольное излучение -- это соответствующий член в разложении векторного потенциала (скалярный в волновой зоне не нужен, но можно и с ним возиться, если хочется) с "дипольным" (это, если хотите, фантазия теоретиков -- формулка похожа на диполь) видом, и все. Самая простейшая задача, которую имел в виду автор темы, как раз это иллюстрирует (на этом же примере мне приходилось и общим физикам это показывать, кстати).

Да бог с ними - теоретическими диполями-разложениями в ряд. А как быть с реальными диполями - штыревыми радиоантеннами? Для них в справочниках рисуют красивые диаграммы направленности в виде тора, с нулевым сигналом вдоль оси. Но если поставить вдоль одной оси передатчик и приемник, то они еще ой как чувствуют друг друга, по крайней мере, на малых расстояниях. Опыт, доступный многим.