Народ, помогите пожалуйста решить задачу номер 80 из задачника по классической электродинамике Алексеева.

Вот условие вкратце:

Используя свойства -функции , найти распределение объемной плотности заряда в декартовых, цилиндрических и сферических координатах при наличии в пространстве следующих однородно заряженных систем:
а) сферической поверхности радиуса , заряженной с поверхностной плотностью (центр сферы совпадает с началом координат)
б) тонкого кольца с лин плотностью
в) бесконечной нити с лин пл-тью
г) плоскости XY, с поверхностной пл-тью
д) бескон. цилиндрич поверхности радиуса , заряженной с пов. пл-тью

Но, так-то, надо только вариант а) решить и только для декартовых координат, а с остальным по аналогии наверняка разберусь. Просто непонятки некоторые возникают с использованием дельта-функции.

Ответ для а) в декартовых координатах:

вот как я начал было решать но застопорился:

сначала ввожу плотность как некую функцию от x,y,z:
, где - некая константа, которую в принципе и надо вычислить

Полный заряд:

Но в то же время заряд через пространственную плотность:

И все, тут я и спекся =) Как взять интеграл от такой байдени? Или может я с самого начала ошибся когда ввел? Подскажите народ, плиз. Очень надо сегодня/завтра.

P.S. Latex как я понимаю тут не поддерживается, хотя я думаю кто шарит тот все равно поймет.

Ну, думаю, что, раз Вам сложно, то лучше начать со сферической системы координат, для случая а) она естественнее всего.
Как Вам, наверное, понятно, что решение надо искать в виде ro=A delta(r-R). Ежели Вы проинтегрируете ваше решение по пространству, то надо получить Q=4ПR^2 sigma.
Записываем интеграл:
Q=int(по всему пространству) A delta(r-R) dV.
А теперь постараюсь показать, как такой интеграл взять попроще. У нас все зависит только от радиуса, поэтому можно рассмотреть все наше пространство как множество маленьких шаровых "слоев" (см. рисунок, прошу прощения за его корявость) толщиной dr. В таком слое плотность в силу сферической симметрии все постоянно, а величина этого "объемчика" такова:
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
dV=4Пr^2 dr
Подставим это в интеграл:
Q=int(по всему пространству) A delta(r-R) 4Пr^2 dr
Получается, что мы интеграл по трем переменным свели к интегралу по одной, а r у нас меняется от 0 до +бесконечности:
Q=int(по всему пространству) A delta(r-R) 4Пr^2 dr
Естественно, что все постоянные множители мы вынесем за интеграл:
Q=4 A П int(по всему пространству) delta(r-R)r^2 dr
Ну вот, этот интеграл просто считается.
Теперь про декартовы координаты. Вначале пусть у нас есть вот такой интеграл:
int delta(y(x)) dy,
причем давайте для простоты считать, что функция y(x)=0 только в одной-единственной точке, к примеру, x0.
Сразу записать, что это есть единица, как может быть хочется сразу сделать, нельзя. Давайте сделаем так: домножим и разделим подынтегральное выражение на производную y'(x):
int (1/y'(x)) delta(y(x)) y'(x) dx
Совершенно ясно, что y'(x) dx=dy
Ну, тогда, можно переписать так:
int (1/y') delta(y) dy.
В таком случае, такой интеграл равен просто:
|1/y'(x0)|
(потому что y принимает нулевое значение только в точке x0).
Ну и в случае Ваших декартовых координат запишите интеграл, и сразу перейдите от декартовых координат к полярным. Но не забывайте, что дельта-функция от (r-R) и от (r^2-R^2) - отнюдь не одно и то же (см. выше), и попробуйте взять интеграл по формуле, которую я чуть выше написал.

Спасибо. Интеграл в сферических, слава Боженьке, сам давно посчитал (извиняюсь за вызванное недопонимание). Там ответ (сигма)*delta(r-R) получается. То есть A = [sigma]. А способ то кстати кажется сложнее даже чем тот что я сам использовал. Вот, а переход от сфер-х коорд к декартовым как раз и дает этот дополнительный множитель 2R. Как я понимаю чтобы перейти к новым координатам мне надо вот че сделать:

delta(r-R) = delta(r^2-R^2)*(r^2-R^2)'_{r=R} = delta(r^2-R^2)*(2r)_{r=R} =2R*delta(r^2-R^2)

кажется что пока в тетрадку не перепишешь все равно не поймешь.

Так то я че думал, что надо напрямую через декартовы решить, а получается что это и не требуется вроде. Короче задача недопонята была кажется. В декартовых то интеграл не такой перспективный как в сферических получается, вон люди предлагали использовать определение дельта функции через фурье-образ использовать. Но там интеграл какой то слишком сложный получается, не для уровня сборника задач по классической электродинамике по крайней мере =)

И это, спасибо еще раз.
ТЕМУ МОЖНО ЗАКРЫТЬ.