Здравствуйте!
Очень большие затруднения вызвало уравнение.
Попробовал подстановку и поробовал понизить порядок, не могу сам решить.
Какие действия нужно будет выполнить, чтобы оно наконец решилось?
Помогите пожалуйста.
Вот условие
Найти общее решение и общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка?

x*y'' = y'*ln(y'/x)

тут нужно обратить внимание на то, что при интегрировании уравнений приведенного вида не всегда целесообразно принимать y' за параметр. во многих случаях уравнение интегрируется проще, если воспользоваться более общим параметрическим представлением.

k.o.
Тут у нет, до интегрирования еще здесь далеко.

вопрос в следующем. найти общее решение и общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка.
я на него ответил может быть и не совсем правильно с точки зрения теории интегрирования, то что тебе нужно, но суть я передал.

А можно найти частное решение. Выложил файл

У меня решилось после стандартной подстановки y' = p, но в конце получается не берущийся в аналитических функциях интеграл, ИМХО

Уравнение решается "до конца". Замена функции: y'(x) = x z(x) . Уравнение для z - первого порядка, решение выражается явно и довольно просто, поэтому удается найти явно y(x).
Upd исправил подстановку

2 zaur
Вы действительно нашли частное решение в предпоследней формуле, а последняя - неправльная, за скобки выносится экспонента, а в скобках стоит x - 1 .

нe совсeм понял кaк при этом получaeтся простоe урaвнeниe для z. Логaрифм жe остaeтся

Gec спaсибо что зaмeтили. Это случaйно получилось

2 zaur
Ну, можно сделать еще одну замену: логарифм z обозначить через w и решать уравнение для w. А можно сказать
"дифференциал логарифма z делить на разность логарифма z и единицы равен дифференциалу логарифма разности логарифма z и единицы".
Ужасно, что формулы перестали правильно отображаться!

ну вы чо, замена очевидна же, z=y'/x, уравнение же просто вопиет об этом.

Да, конечно. Я этой заменой и решил. Выше в сообщении 7 перепутал y' и z местами.

k.o.
Думю так, что решать надо начинать с введения замены, так как исходное уравнение не содержит функции у и для этого понизим порядок уравнения
y' = u; А тогда y'' = u' или я ошибаюсь?
Смысл в том, чтобы свести уравнение к такому виду, которое можем решить по известной формуле.

Kvantum тeбe жe полностью отвeтили нa твой вопрос, почeму ты eщe спрaшивaeшь. Глaвной цeлью при рeшeнии диффурa являeтся нaйти искомую функцию, a кaк нaйти eе зaвисит от чeловeкa, который рeшaeт.

zaur
Ну допустим решать будем этой заменой z=y'/x как предлагает k.o., что мы получим?
Я не очень понимаю как Gec вышел на такую замену z(x) = xy'(x)?

Я случайно переставил местами z(x) и y'(x), когда написал z = x y' . Правильная подстановка написана k.o..

Gec
z=y'/x Вы про это?
Стоп, а там же еще вторая производная есть, что с ней будет?

Ну, уметь дифференцировать при решении дифуров все таки надо. y' можно выразить через z и x, после этого y'' выражается через z, z' и x. Если вы напишете здесь что у вас получилось для y'', я смогу сказать совпадает с моим вариантом или нет.

Да, конечно. После этого получается уравнение вида ln (lnz - 1) = x + C. Разве оно решается в элементарных функциях?
P.S. Собственно, я как Заур решал - разницы с вашим способом мало...

2 tkm
У меня в правой части получился ln(x) вместо x.

Да, Вы правы.

Выложил файл с общим решением. Частное решение совпадает с общим

Не совсем верно на мой взгляд. Решением уравнения w'x+1=w является w = Cx+1, а не w = C + x + 1 - отсюда все дальнейшие ошибки, ИМХО.
P.S. Соответственно, правильный ответ (на мой взгляд): y = xexp(Cx+1)/C - exp(Cx+1)/C^2 + C'

совeршeнно вeрно... И кaк я умудрился тaкую грубую ошибку допустить. А вeдь онa дeйствитeльно грубaя при нaложeнии грaничных условий...

tkm
А как Вы это получили ln (lnz - 1) = x + C, какие действия Вы выполнили, покажите пожалуйста?
Спасибо!
А я так решал:
1)ввел замену y'=u;y''=u';
2)поделил на x
3)взял производную натурального логарифма (ln(u))' = (u'/u);
4)прологарифмировал, пользуясь формулами логарифмов и их свойствами, получил:
5) (ln(u))'+ln(u)-ln(x) = 0
Как дальше непонятно теперь...
Подскажите так ли я решаю?
zaur
А как найти общий интеграл?
Не очень понимаю Вашу первую замену z = y'/x? Вы произвольно ее вводите или на основе каких-то формул?
Или замена делается от балды или все-таки есть какое-то правило как ее делать?
Исправьте пожалуйста ошибку как Вам говорит tkm
Спасибо!

tkm
А как найти общий интеграл этого диффура?
вводим замену
y' / х = t,
y' = xt
y"= t'x + t

решаем ОДУ первого порядка
x*(t'x+t) = xt*ln t
t'x+t = t*ln t
t'x = t*(ln t - 1)
1/ (t*(ln t - 1)) dt = dx / x
1/ (t*(ln t - 1)) dt = 1/ (ln t - 1) d (ln t) = ln | ln t - 1| + C

ln | ln t - 1| + C = ln x
ln t - 1 = C*x
t = e^(Cx+1)

y' = x * e^(Cx+1)
dy = x * e^(Cx+1) dx
y = x * e^(Cx+1) dx = 1/C x d(e^(Cx+1)) = x/C * e^(Cx+1) - 1/C e^(Cx+1) dx = (x*e^(Cx+1))/C - 1/C^2 e^(Cx+1) = (x*e^(Cx+1))/C - e^(Cx+1)/C^2 + B

Общий интеграл не могу найти...

Помогите пожалуйста?

Спасибо!