Сферическая квантовая яма - это известная задача, одна из простейших задач квантовой механики. Но интересно рассмотреть ямы других форм. Например, эллипсоидальная квантовая яма. Я не встречал такую задачу. Она решается точно? может кто - нибудь встречался с такой задачей

переменные делятся, естественно, а как выглядит решение - непонятно.
из задач могу вспомнить только смещение уровней в деформированном эллипсоидальном ядре, но там используется только теория возмущений.

Вот именно, решение непонятно.

То есть вида ? Тогда это будет гамильтониан трех независимых линейных осцилляторов с вполне понятными СЗ и СФ.

А в эллипсоидальных координатах решить волновое уравнение также легко?

Осцилляторы здесь не причем. Задача следующая. Электрон заключен внутри эллипсоида. Внутри эллипсоида электрон движется свободно, а на поверхности эллипсоида потенциал равен бесконечности. Надо найти спектр энергии электрона

Конечно, граничные условия при этом запишутся не так просто, как в случае сферической или прямоугольной ям.

Если Вы можете записать уравнения для сферической ямы в таких условиях, то переход к эллиптической очень прост, просто поставьте разные коэффициенты при координатах. А граничные условия, соответственно, чуть усложняться...

Зачем переходить к каким-то другим координатам, если легко решить в декартовых? Координаты меняют, чтобы упростить задачу...

Ну да. А как сформулировать задачу для эллипсоидальной ямы? Я имею ввиду именно граничные условия

Как я понимаю, также как и для сферической... Только вместо сферы на границе эллипс... Как у Вас это записано для сферической? (Конечно, без формул на форуме трудно.)

Если имеется в виду яма с бесконечно высокими стенками, то в чем вопрос? Волновая функция должна обращаться в ноль там где потенциал бесконечный, то есть на этом самом эллипсоиде. Или я чего-то не замечаю?

Для сферы граничное условие записывается просто, потому что есть один радиус. Если расстояние от центра меньше радиуса сферы, то потенциал равен нулю. А если оно больше радиуса или равно, то потенциал равен бесконечности. Для эллипса же это условие так записать нельзя, потому что эллипс не имеет одного какого - то радиуса. Эллипс имеет большую и малую оси. Но есть еще и промежуточные значения. Может граничное условие следует записать для функции точек границы эллипса?

Эту задачу лучше всего решать именно в эллипсоидальных координатах (я так думаю)

А что из себя представляют эллипсоидальные координаты(извиняюсь, конечно, за детский вопрос). Конечно, я математическую связь между эллипсоидальными и другими координатами знаю, могу различные операторы в эллипсоидальных координатах записывать и т.д. Но что они из себя представляют? Например, сферические это радиус, угол в горизонтальной плоскости, угол в вертикальной плоскости

одна эллипсоидальная координата - это угол, азимутальный, наверно. другая - сумма расстояний от точки до 2 фокусов эллипса, третья - разность, вроде бы.

В Википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%...%B0%D1%82%D1%8B все есть. Оказывается, есть два варианта эллиптических координат, один из них - действительно сумма и разность расстояний до фокусов.

В википедии написано про эллиптические координаты на плоскости. Но тут, кажется, обсуждается трехмерная задача, причем не сказано, что эллипсоид является эллипсоидом вращения.

А вот меня давно уже занимает вопрос - есть ли у трехмерного эллипса (все полуоси разные, т.е. не эллипсоид вращения) свойство, аналогичное основной фиче двумерного, постоянство сумм расстояний до фокусов? В англицкой вики на это нет ответа...

Предлагаю сначала ответить на вопрос где у "эллипсоида невращения" фокусы. Интересности начинаются уже в симметричном случае. Для эллипсоида вращения естественно фокусы определять на оси симметрии, но если вдоль этой оси лежит малая полуось, то на ней фокусов нет! По странному совпадению как раз сегодня вечером читал интервью с Арнольдом, там говорится о репообразной форме земли, и о смещении фокусов таких эллипсоидов в комплексную область.

интересно