Ландау, Лифшиц т.5 стр.56-57.
Доказывается, что средняя производная от энергии по параметру равна этой производной при постоянной энтропии. Непонятен вывод. Формула 11.1 получена для адиабатического процесса (т.е. усреднение там при условии S=const), то же самое и в формуле 11.2. Т.е. величина равна самой себе. Между тем, очевидно, окончательная формула 11.3 верна (хотя бы судить по давлению). Не могли бы пояснить.

Почитал внимательно, что там написано. Насколько я понял, суть в том, что энергия как ТД потенциал зависит от энтропии и внешней переменной , и в случае адиабатического процесса при вычислении полной производной по времени остается только соотв. слагаемое; при выводе же формулы (11.1) про ТД процесс речь вообще не идет, там всего лишь вычисляется частная производная по времени функции Гамильтона (на наше счастье, она всегда равна полной) как сложной функции (чистый матанализ; и в гамильтоновом формализме у нас независимые переменные), а затем усреднением по распределению мы переходим к ТД энергии.

Слова: "Для этого предположим, что тело совершает адиабатический процесс...", "Очень существенно, что благодаря адиабатичности процесса..." не заметили?

Каким образом? Энергию можно представить не только как ф-ю от и , но как ф-ю любого параметра и . И откуда берется, что средняя производная от энергии по при p,q=const равна средней производной от энергии по при именно S=const (не прибегая к физическим представлениям, что энергия изменяется за счет тепла и работы)?
...................
С выводом 11.3 разобрался. Ландау прав. Вам +1 за наталкивание на размышление.

2 AndrV

Ну, у внутренней энергии естественные переменные как раз энтропия и обобщенная координата.


А вот с этим замечанием, кажется, есть маленькая путаница. Насколько я понимаю, Ландау там называет адиабатическим такой процесс, который многим (по крайней мере, мне) привычнее называть просто квазистатическим, он не имеет в виду изоэнтропийность. Квазистатичность необходима, чтобы мы могли усреднять по равновесному стат. распределению, да, это безусловно.

Какая разница естественные они или нет. Математика работает и для "противоестественных" (в "противоестественных" только буковок больше, а в учебниках есть выводы для зависимости от этих параметров), и дело не в этом.

Дело в следующем. То что полная производная по времени равна частной - верно всегда при любых процессах, но формула 11.1 верна не всегда, а только при адиабатическом процессе, который рассматривается как чисто механическая задача при внешних условиях, характеризующихся одним параметром (стенки и поршень - не реальны, а идеальны, не состоящие из молекул). К примеру при изотермическом процессе нет одного параметра , а есть множество параметров (скорости и положения молекул в разных местах внешней оболочки).
Но энергию можно рассматривать и как ф-ю какого-то параметра (можно противоестественного) и . Если ее рассматривать как ф-ю энтропии и , производные совпадают, при этом в левой части 11.3 производная при постоянных (энергия ф-я от них и от там) и адиабатическом процессе (ну и статистическое усреднение по системам), а в левой части просто при адиабатическом процессе (энергия ф-я энтропии и там).

Нет у Ландау здесь никакой путаницы. Он говорит о том, что состояние равновесия - это частный случай адиабатического процесса. Это важное замечание позволяет применять формулу 11.3 для статического режима, к примеру, для расчета давления на стенку неподвижного поршня и других величин в статическом режиме.
Без этих выкладок и замечаний были бы вопросы, к примеру, почему давление в статическом режиме (когда температура постоянна) это частная производная по при постоянной энтропии, а не при постоянной температуре. Подробнее про давление следующий параграф в книге. Хитер был этот Ландау.
Добавлю, что из последнего замечания следует, что при любых равновесных процессах производная по берется при постоянной энтропии (а не, к примеру, при постоянной при изотермическом процессе).