Студенческий форум Физфака МГУ > объединение результатов 2х независимых экспериментов по наблюдению одного и того же явления.

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: объединение результатов 2х независимых экспериментов по наблюдению одного и того же явления.

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Интересные задачи и познавательные вопросы

q-:

2.7.2010, 12:19

Здравствуйте,
Мучает один вопрос, нужно уверенное владение теорией вероятности для решения:
Есть некоторое событие, случающееся с вероятностью Pev
Есть 2 детектора, регистрирующие это событие (детекторы регистрируют одно и то же события, но делают это независимо).
У каждого детектора есть вероятность зарегистрировать событие и вероятность сгенерировать ложный сигнал (Pdet и Pfake соответвенно).
Допустим, оба детектора выдали сигнал. Какова вероятность того, что событие дейтствительно произошло? Можно ли ее посчитать, зная Pdet и Pfake для обоих экспериментов, а также вероятность самого события Pev?
В случае одного детектороа я посчитал это как:
$P(A)$ - вероятность того, что событие произошло (Pev)
$P(B)$ - вероятность того, что детектор выдал сигнал
$P(B|A)$ - вероятность сдетектировать сигнал (Pdet)
$P(B|\overline{A})$ - вероятность ложного срабатывания (Pfake)

тогда вероятность что событие произошло при условии что сработал первый детектор:
$P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B\bigcap A)+P(B\bigcap\overline{A})}=$
$\frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|\overline{A})P(\overline{A})}=\frac{P_{det}P_{ev}}{P_{det}P_{ev}+P_{fake}(1-P_{ev})}$

В этих обозначениях необходимо посчитать:
$P(A|(B\bigcap C))$ =?

Надеюсь на помощь, так как уже голову сломал =)
PS. правильно ли посчитана вероятность для одного эксперимента?

Марсианин

2.7.2010, 14:52

Считая детекторы одинаковыми,

$P(A|(B \cap C)) = \frac{P(A \cap B \cap C)}{P(B \cap C)} = \frac{P(A) P(B|A) P(C|A)}{P(A) P(B|A) P(C|A) + P(\bar A) P(B|\bar A) P(C|\bar A)} = \frac{1}{1+\frac{1-P_{ev}}{P_{ev}} (\frac{P_{fake}}{P_{det}})^2}$

По-моему, так.

q-:

2.7.2010, 15:24

Спасибо за быстрый ответ. Т.е. пользуемся:
$P((B\bigcap C)|A)=P(B|A)P(C|A)$
$P((B\bigcap C)|\overline{A})=P(B|\overline{A})P(C|\overline{A})$
исходя из того, что детекторы работают независимо?
Тогда небольшой вопрос, который собственно в ступор поставил:
Верны ли следующие утверждение для этой задачи:
$P(B\bigcap C)=P(B)P(C)$
$P(A\bigcap B\bigcap C)=P(A\bigcap B)P(A\bigcap C)$
в нашем случае (исходя из тех же соображений, что детекторы работают независимо)? Я думаю, что нет, т.к. если их использовать, то дальше бред получается, но объяснить, почему они неверные, а предыдущие 2 верные, не могу.

Марсианин

4.7.2010, 0:15

Неверны. События B и C независимы только если точно известно, произошло ли событие, а если это неизвестно, они остаются зависимыми. Получение информации от одного детектора меняет известные нам вероятности того, что событие произошло или не произошло, что влияет на вероятности получения того или иного ответа от второго детектора.

q-:

5.7.2010, 17:14

Очень логично. Огромное спасибо за объяснения!

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.