Студенческий форум Физфака МГУ > Преобразование ф-ии

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Преобразование ф-ии

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Интересные задачи и познавательные вопросы

AndrV

9.2.2010, 22:52

Фок, "Начала квантовой механики" стр.44-46. Находится самый общий вид опрераторов импульса (8), затем с помощью подстановки над функцией (13) показывается, что для новой ф-ии оператор импульса имеет привычный вид. Непонятно, ведь старая и новая ф-ии имеют в импульсном представлении имеют разный вид и соответственно плотности вероятности импульса отличаются.
?

zaur

11.2.2010, 11:58

плотности не будут различными. Ведь новая функция здесь отличается от старой экспоненциальным членом, показатель которого содержит функцию только от координат. поэтому при нахождении плотности вероятности этот член просто исчезает. Вот если бы в показателе была функция от координат и импульса то ...

AndrV

11.2.2010, 14:44

Цитата(zaur @ 11.02.2010, 11:58)

Конечно, плотность вероятности для координат будут теми же самыми. Но я спрашивал про плотности вероятности импульсов.

zaur

11.2.2010, 16:07

перейдите от координатного представления к импульсному и вы получите такую же функцию. удобно сначала представить самый общий вид оператора импульса и координаты в импульсном представлении и найти соответствующие функции. только те же соображения будут справедливы в импульсном представлении не для импульса а для координаты

AndrV

11.2.2010, 16:59

Я вас не понимаю.
Импульсное педставление какой либо ф-ии и импульсное представление ф-ии умноженной на экспоненту в показателе которой какая-то др. ф-я, разные. И они уже не отличаются на множитель - экспоненту.

zaur

12.2.2010, 14:11

ну хорошо. возьмите обычный оператор импульса. нйдите собственную функцию этого оператора в импульсном и координатном представлениях. будет ли при этом плотность импульса одинаковой?

Урса

12.2.2010, 16:39

Цитата(AndrV @ 9.2.2010, 21:52)

Непонятно, ведь старая и новая ф-ии имеют в импульсном представлении имеют разный вид и соответственно плотности вероятности импульса отличаются.
?

Не совсем понятно, какие величины у вас отличаются. Запишите их, пожалуйста, в виде формул.

AndrV

12.2.2010, 19:26

Цитата(zaur @ 12.02.2010, 14:11)

??? Конечно. Какое это имеет отношение к вопросу?

Цитата(Урса @ 12.02.2010, 16:39)

Не совсем понятно, какие величины у вас отличаются. Запишите их, пожалуйста, в виде формул.

Те ф-ии, которые написаны в учебнике.
Отличаются плотность вероятности импульса у ф-ии $\psi$ и у ф-ии $e^{(-i/h)f(x,y,z)}\psi$

Урса

12.2.2010, 20:02

Цитата(AndrV @ 12.2.2010, 18:26)

Те, которые написаны в учебнике.
Отличаются плотность вероятности импульса у ф-ии $\psi$ и у ф-ии $e^{(-i/h)f(x,y,z)}\psi$

То есть величина
$|\psi|^2 dp = \psi^{*}\psi dp$ отличается от $|\psi'|^2 dp=\psi'^{*}\psi' dp$ ?
Видно же, что экспоненты во втором выражении сократятся:
$|\psi'|^2 dp=\psi'^{*}\psi' dp = e^{(i/h)f(x,y,z)}\psi^* e^{(-i/h)f(x,y,z)}\psi dp = \psi^{*}\psi dp$

AndrV

12.2.2010, 21:12

Вы берете ф-ю в координатном представлении, находите плотность вероятности координаты и умножаете ее на дифферециал импульса. Это что за величина?

Урса

14.2.2010, 16:27

Если Вы считаете, что обозначения $\psi, \psi'$ соответствуют координатному представлению (и действительно, $\psi'$ у меня в координатном представлении, чего не должно быть), то обозначим функцию в импульсном представлении, например, как $\psi^-(p)$ .

Тогда величина $\psi^-(p) (\psi^-(p))^* dp$ есть вероятность импульсу иметь значение, лежащее в интервале $[p, p + dp].$ Именно ее я хотела записать.
Без дифференциала - просто плотность вероятности иметь импульсу значение $p$ .

А Действительно
$\psi'^-(p) (\psi'^-(p))^* = \frac{1}{(2\pi h)^{3}}(\int e^{-\frac{i}{h}(px + f(x))}\psi(x) dx)( \int e^{\frac{i}{h}(px + f(x))}}(\psi(x))^* dx)$ похоже, что отличается от $\psi^-(p) (\psi(p)^-)^* = \frac{1}{(2\pi h)^{3}}(\int e^{\frac{i}{h}px}\psi(x) dx) ( \int e^{-\frac{i}{h}px}}(\psi(x))^* dx)$

Gec

15.2.2010, 22:37

Цитата(AndrV @ 9.02.2010, 22:52)

Подстановка (13) есть унитарное преобразование, связывающее два x-представления. Действительно, оператор умножения на x коммутирует с оператором умножения на функцию от x, поэтому оператор координаты остается диагональным. Если оператор импульса имеет вид
$\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial x}$ , (1)
это преобразование приводит его к "более удобному" виду
$\hat{p}_x=-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$ . (0)
Унитарное преобразование вроде бы не может ничего испортить. По-видимому произошла путаница с тем что называется импульсным представлением. Хотя (1) называют оператором импульса, его "собственные функции" вовсе не $\exp(ipx/\hbar)$ , как для (0), а $\exp(i(px+f(x))/\hbar)$ . По-видимому если это учесть, то вопос про несовпадение плотности вероятности не возникнет.
Кстати, отличие собственных функций разных операторов импульса, похоже, заметила Урса, а может быть и не заметила (а я не сразу заметил что это, возможно, уже заметили, а может быть не заметили

). Мне только кажется, что в последней строке сообщения #11 в первой формуле должна стоять функция $\psi'(x)$ , тогда, имея в виду $\psi(x)=\psi'(x)\exp(-i f(x)/\hbar)$ , получим совпадение.

AndrV

16.2.2010, 1:17

Цитата(Gec @ 15.02.2010, 22:37)

Унитарное преобразование вроде бы не может ничего испортить.

В этом и был парадокс, который говорил о том, что Фок прав. Но, что при этом надо менять ф-ии, по которым идет разложение, чего-то моя мысль просто не допускала к рассмотрению (хотя операция стандартная).
Спасибо.

zaur

17.2.2010, 0:58

нет никакого парадокса. пусть мы имеем частицу в x-представлении. эта частица описывается в этом x-представлении некоторой волновой функцией $\psi (x)$ , квадрат модуля которой есть плотность вероятности обнаружить частицу в точке x. чтобы определить вероятность некоторой динамической величины f надо найти собственную функцию оператора величины f - $\psi^f (x)$ , умножить комплексно сопряженную этой функции на волновую функцию $\psi (x)$ ,проинтегрировать по x и определить квадрат модуля полученного интеграла, т.е.
$\int\psi^{f^*}(x)\psi(x)\ dx$ (квадрат модуля этого интеграла есть вероятность получить при измерении значение f)
в нашем случае динамической величиной является импульс. поэтому вероятность искомая равна квадрату модуля следующего интеграла
$\int\psi^{p^*}(x)\psi(x)\ dx$ (1)
где $\psi^p (x)$ есть та общая форма, которую привел Фок.
теперь чтобы определить вероятность получить импульс в импульсном представлении достаточно перейти от собственной функции импульса в координатном представлении $\psi^p (x)$ к такой функции в импульсном представлении и найти квадрат модуля полученной функции. если $\psi^p (x)$ есть собственная функция оператора импульса в координатном представлении, то в импульсном представлении эта функция имеет вид
$\psi^p (p)$ = $\int\psi^{p^*}(x)\psi(x)\ dx$ (2)
как легко видеть квадраты модулей выражений (1) и (2) равны. следовательно вероятности тоже одинаковые

AndrV

17.2.2010, 16:35

Вы немного не поняли вопроса.
В том-то и дело, что Фок общей формы не приводил, поэтому вышла ошибка, заключающаяся в том что при переходе от одной ф-ии к другой (обе в координатном представлении), собственная ф-я оператора импульса была ранее с точностью до постоянного множителя $e^{\frac{i}{\hbar}px}$ (это не так, здесь унитарное преобразование не связано с заменой переменных х на р, здесь меняются собственные ф-ии в одних и тех же переменных), что и приводило к парадоксу.
А импульсное или координатное представление для вычисления вероятности импульса - к вопросу никакого отношения не имеело.
На вопрос уже правильно ответил Gec.

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.