Студенческий форум Физфака МГУ

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: пример из ТФКП

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

zaur

1.12.2009, 15:28

подскажите пожалуйста как найти вычет функции $1/x^v$ , где $v$ - произвольная постоянная(не обязательно целая)

Termoyad

1.12.2009, 18:56

Насколько я понимаю, имеется в виду функция вида $\frac{1}{z^a}$ , где $z$ - комплексная переменная, $a$ - произвольная постоянная.
В какой точке нужно найти вычет? У функции $\frac{1}{z^a}$ могут быть две особые точки: $z=0$ и $z=\infty$ .
Вычеты определяются только в изолированных особых точках. Если $a$ - нецелое, то особые точки являются точками ветвления, функцию нельзя в их проколотой окрестности разложить в ряд Лорана, поэтому не имеет смысл понятие вычета.
Если же $a$ - целое, то функция совпадает со своим рядом Лорана с центром в особой точке, и вычет находится непосредственно по определению (ненулевой вычет будет только при $a=1$ , он равен $1$ в нуле и $-1$ на бесконечности).
Уровень знаний студентов Дагестанского государственного университета не впечатляет...

zaur

2.12.2009, 11:33

вы сразу такие выводы не делайте на счет уровня знаний наших студентов(хотя он очень низкий).termoyad а вы не знаете что ли, что есть обобщенный ряд Лорана на случай дробной степени, т.е. на случай так называемого фрактального пространства? исходя из такого ряда строится и обобщенная теория вычетов, когда степень дробное число

Termoyad

2.12.2009, 11:57

Каков вопрос, таков ответ. Надо корректно ставить задачу.

zaur

2.12.2009, 14:08

вообще то меня интересует интеграл $%5Cint_0%5E%5Cinfty%20e%5E%7Bx%5E2%7D%201/x^vdx%20%$ , где $v$ - постоянная, может принимать любое значение от нуля до единицы. в справочниках такого интеграла нет. как его решить?

Integer

2.12.2009, 14:26

А интеграл разве будет сходиться? Экспонента ведь растет сильнее чем x^v .

Wild Bill

2.12.2009, 14:33

Расходится этот интеграл, потому и нет в справочниках...
А если без пределов, то
$-\frac{1}{2} x^{1-a} \left(-x^2\right)^{\frac{1}{2} (-1+a)} \text{\Gamma}\left[\frac{1-a}{2},-x^2\right]$

zaur

2.12.2009, 15:09

извините за опечатку,нижний предел равен не нулю а -∞. тогда если $a$ =1, то интеграл существует и он равен по теории вычетов 2πi. или я ошибаюсь

Урса

2.12.2009, 19:06

Как Вы хотите, чтобы интеграл сходился в пределах от минус бесконечности до плюс бесконечности, если он уже не сходится от 0 до бесконечности...

Termoyad

2.12.2009, 19:08

Интеграл $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{x^2}}{x}dx$ не может равняться $2\pi i$ , поскольку подынтегральная функция - вещественная. Такой интеграл существует только в смысле главного значения и равен нулю, т.к. подынтегральная функция - нечетная. Если же $0<v<1$ , то интеграл $\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{e^{x^2}}{x^v}dx$ не существует даже в смысле главного значения (расходится на бесконечности).

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.