Студенческий форум Физфака МГУ > След от 6 матриц Дирака и Y5

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: След от 6 матриц Дирака и Y5

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Shamanaks

28.9.2009, 20:21

Прошу прощения за банальный вопрос.
Чему в общем случае равен след от такоу штуки:

След ( Ya Yb Yc Yd Ye Yf Y5 )

где Y - матрицы Дирака, a,b,c... это свободные индексы, а Y5=iY0Y1Y2Y3 ?

Если не формулу, то где можно посмотреть?

tkm

28.9.2009, 20:56

Посмотреть, на самом деле, можно в Пескине-Шредере. След произведения 4-х гамма-матриц с гамма-пять пропорционально эпсилон-символу, а оставшийся след двух гамма-матриц - метрике - соответственно надо прокоммутировать эти две части, когда будите коммутировать, возникнет ситуация, что лоренцовские индексы у двух матриц равны (т.к. матриц 6, а индексов 4), их произведение даст +(-)I, где I - единичная матрица, и у вас останется след от четырех гамма-матриц и гамма-пять. А где вам встретился такой пример? (просто обычно шпура 4-х бывает достаточно для расчета, поэтому я удивляюсь)

Ямерт

28.9.2009, 22:39

0 должен быть

Tr( Ya Yb Yc Yd Ye Yf Y5 )
4 независимых гамма-матрицы
в следе их 6
значит здесь две совпадающие пары
антикоммутируем-перставляем, две пары дадут две единичные матрицы
и остается
(-1)^(перестановки) * Tr(Ya Yb Y5)
при a=b Tr(Ya Ya Y5)=4 Tr(Y5)=0
при a<>b Tr(Ya Yb Y5)= - Tr(Yb Ya Y5)=0
в итоге
Tr( Ya Yb Yc Yd Ye Yf Y5 ) = 0

tkm

28.9.2009, 23:03

Цитата(Ямерт @ 28.09.2009, 23:39)

значит здесь две совпадающие пары

нет нет, не обязательно две пары! может быть три равных друг другу индекса, например 000123
след будет равен -4i в этом случае

Shamanaks

29.9.2009, 1:21

Цитата

соответственно надо прокоммутировать эти две части, когда будите коммутировать, возникнет ситуация, что лоренцовские индексы у двух матриц равны (т.к. матриц 6, а индексов 4), их произведение даст +(-)I, где I - единичная матрица, и у вас останется след от четырех гамма-матриц и гамма-пять.

Откровенно говоря, я пока что не просек как все это будет выглядеть в общем виде, если ни один индекс не известен.

Цитата

А где вам встретился такой пример?

Это такой специфический слабый распад.

tkm

29.9.2009, 10:50

вот тут посмотрите по-моему довольно удобно, сначала заменяете произведение 3-х гамма матриц по формуле 1.5, и остается след от четырех гамма - матриц, который известен

Wild Bill

29.9.2009, 17:46

Странный пример...
Sp $\gamma_5 = 0$ . И независимых матриц меньше шести...

Далее очень хорошо ответил Ямерт, но быть может у Вас размерность более 4? Но тогда это не $\gamma_5$ , там другие обозначения...

tkm

29.9.2009, 18:57

Цитата(Wild Bill @ 29.09.2009, 18:46)

А куда далее? 0 ведь не получается!

Wild Bill

29.9.2009, 19:04

Пусть более сложной вывод, несколько формальный вывод, но вывод...

Хотя След умножается на След, ноль на что-то (тоже ноль)...

Я и говорю, странный пример... Быть может размерность пространства не 4? Так там не $\gamma_5$ ...

Wild Bill

29.9.2009, 22:20

Давайте здесь посчитаем! Какие именно матрицы подразумевает автор? В пространстве какой размерности он работает? Вот их и перемножим!

Shamanaks

1.10.2009, 1:08

Точно не ноль.
След Y5 - ноль
След YaY5, YaYbY5, YaYbYcY5 - ноль
Но след YaYbYcYdY5 - уже не ноль
Соответственно для 6 матриц все не очевидно.

tkm, спасибо, я эти формулы знаю. У меня и раньше было 2 варианта решения, на основе этих формул, но они оба некрасивые и несимметричные.

2 WildBill

Обычные 4-х мерные.

tkm

1.10.2009, 8:33

Цитата(Shamanaks @ 1.10.2009, 2:08)

У меня и раньше было 2 варианта решения, на основе этих формул, но они оба некрасивые и несимметричные.

Но посчитать то до конца процесс с помощью них можно?

Wild Bill

2.10.2009, 10:21

В Вашем случае, если число перемножаемых матриц нечетно ( $2n + 1, \; n > 1$ ), то след равен нулю, если число перемножаемых матриц четно, то имеет место формула
$\frac{1}{4}\mathrm{Tr} (\gamma_{i_1}\gamma_{i_2}\dots\gamma_{i_{2n}}) = \sum (-1)^N \delta_{ik}\delta_{lm}\dots ,$
где $i, \; k, \; l, \; m, \dots$ - некоторая комбинация индексов $i_1, \; i_2, \;\dots , \; i_{2n}$ и сумма берется по всем возможным комбинациям пар чисел $i, \; k, \; l, \; m, \; \dots$ ....

Это и многое другое можно найти в книге
Ахиезер А.И., Берестецкий В.Б. Квантовая электродинамика, М.: Наука, 1969.
стр. 89-92.

tkm

2.10.2009, 11:33

Да, такой путь тоже возможен, однако опять приводит к несимметричному выражению, т.к. гамма-пять - произведение гамма-матриц вполне определенного вида (точнее, с определенными индексами - 0123)

Цитата(Shamanaks @ 1.10.2009, 2:08)

У меня и раньше было 2 варианта решения

видимо это путь и имелся в виду под вторым способом решения
да, эта формула верна в евклидовом пространстве, чтобы перейти от пространства Минковского к евклидовому, надо ввести комплексное время

Wild Bill

2.10.2009, 12:05

Тогда можно еще посмотреть

Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение в физике механике. М.: Наука. 1982.

Wild Bill

9.10.2009, 14:22

Есть такой пакет для Maple
Package for the calculation of trace of Dirac gamma matrices

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.