Уважаемый Andre, это действительно уравнение цилиндрических функций чисто мнимого индекса. Его общее решение можно представить, например, в виде линейной комбинации функций Ханкеля:
=C_1 H^{(1)}_{i\nu}(x)+C_2 H^{(2)}_{i\nu}(x). "y(x)=C_1 H^{(1)}_{i\nu}(x)+C_2 H^{(2)}_{i\nu}(x).")
Ничто не запрещает индексу функций Ханкеля принимать комплексные значения. Теперь, вспоминая асимптотику функций Ханкеля при
(она выводится без предположения, что
- вещественное), получим
}_{i\nu}(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{ix+\nu\pi/2-i\pi/4}, "H^{(1)}_{i\nu}(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{ix+\nu\pi/2-i\pi/4},")
}_{i\nu}(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{-ix-\nu\pi/2+i\pi/4}. "H^{(2)}_{i\nu}(x)\sim\sqrt{\frac{2}{\pi x}}e^{-ix-\nu\pi/2+i\pi/4}.")
При
возьмем в качестве общего решения линейную комбинацию функций Бесселя и Неймана. Рассмотрев их асимптотики в нуле, получим ответ, данный Gec, + добавки более высокого порядка малости.
Вообще про цилиндрические функции и не только неплохо написано в книге Никифорова, Уварова "Специальные функции математической физики", хотя есть и специальные монографии по цилиндрическим фукнциям.
