Студенческий форум Физфака МГУ > Математический маятник с движущейся точкой подвеса.

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Математический маятник с движущейся точкой подвеса.

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Honeybeard

18.5.2009, 18:53

Люди, помогите пожалуйста. Задачка такая:

Точка подвеса математического маятника колеблется в вертикальном направлении по закону y=y0*sin(ft), где f, y0 - постоянные.

Уравнение движения в общем виде получится: u'' + { (g - y0*(f^2)sin(ft) )/l } * sin(u) = 0 , где u - угол отклонения маятника от вертикальной оси. (g, l, f, y0 - константы).
ПОМОГИТЕ ЭТОТ ДИФФУР РЕШИТЬ!

Или хотябы такой : u'' + { (g - y0*(f^2)sin(ft) )/l } * u = 0 для малых углов u.

josai

18.5.2009, 19:24

уравнение неправильное, есличо. в фигурных скобках знак плюс.

для решения нужно sin(ft)sinu ~ cos(u+ft) - cos(u-ft), u ~ (u+ft) + (u-ft). для второй производной несущественно. затем разделяем уравнения для переменных u+ft и u-ft/
они уже явно не зависят от времени и решаем их в эллиптических интегралах.

Gec

18.5.2009, 19:29

Некое брюзжание. А сами искать не пробовали? Название темы вбить в строку поисковика, всего и делов.
Уравнение, про которое идет речь, это уравнение Матье. Его решениями, какая неожиданность, являются функции Матье. Про это уранение и функции написано, например, у О.М. Киселева в тексте "Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями".

Homo Sovieticus

18.5.2009, 22:03

Еще у Уиттекера и Ватсона ("Курс современного анализа", ч. 2).

ion

18.5.2009, 22:25

Могу еще добавить, что функция Лангранжа (= уравнение движения) для маятника с колеблющимся подвесом написана в 1-м томе Ландау и Лифшица (задача 3 6), а решение для случая быстро осциллируещего подвеса - в 30.

Honeybeard

19.5.2009, 0:14

Спасибо всем. Но в фигурных скобках - точно знак минус. Берется из-за того, что в лагранжиане стоит вторая производная закона движения точки подвеса. А у нас синус => из-за 2й произодной минус появляется.

Honeybeard

19.5.2009, 0:21

мдя, пробовал разделить переменные, как мне советовали, но ни фига не вышло. Может, кто-то сжалится ипросто напишет ответ?

Мне-то ее просто в программу на матлабе засунуть нужно, чтобы маятник правильно и физично колебался.
З.Ы. А программу сдавать в этот четверг...

ion

19.5.2009, 7:10

Цитата(Honeybeard @ 19.5.2009, 1:14)

Функция Лангранжа:
$L = \frac{{ml^2 }}{2}\dot \varphi ^2 + mla\gamma ^2 \sin \gamma t\cos \varphi + mgl\cos \varphi$ ,
$\gamma$ и $a$ - частота и амплитуда точки подвеса.
Уавнеие Лангранжа:
$\frac{d}{{dt}}\frac{{\partial L}}{{\partial \dot \varphi }} - \frac{{\partial L}}{{\partial \varphi }} = 0$
приводится к виду:
$\ddot \varphi + (\frac{g}{l} + \frac{{a\gamma ^2 }}{l}\sin \gamma t)\sin \varphi = 0$ ,
знака минус нет.
Решение писать врят ли кто станет, много писанины. Если нужно - могу выложить брошюру О.М. Киселева "Зоопарк чудовищ или знакомство со специальными функциями", впрочем ее легко найти, пользуясь поисковиком поиск книг.

Gec

19.5.2009, 7:31

Мне кажется знак не имеет принципиального значения. Если $\phi(t)$ удовлетворяет уравнению с плюсом, то $\widetilde{\phi}(t)=\phi(t+\pi/\gamma)$ - решение уравнения с минусом.

ion

19.5.2009, 7:54

Да понятно, что знак не важен - он определяеться начальной фазой колебаний подвеса. В Ландавшице вообще вместо синуса стоит косинус. Но если уж Honeybeard выбрал фазу, то знаки получаются однозначно.

P.S. Просто удивила фраза

Цитата(Honeybeard @ 19.5.2009, 1:14)

в лагранжиане стоит вторая производная закона движения точки подвеса

P.P.S.

Цитата(Honeybeard @ 19.5.2009, 1:21)

чтобы маятник правильно и физично колебался.

Если что, то основная фишка такого маяткика в том, что при некоторых значениях параметров он становится устойчивым, будучи поставленным на попа. Можно легко проделать такой опыт, если имеется виброэлектробритва. К вибратору прикрепляется палочка с куском пластилина на конце.

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.