Целью обсуждения является сравнение постановки математической и физической задач для нахождения решения неоднородного волнового уравнения (уравнения Даламбера). Сразу же сделаем принципиально важное замечание. Никаких переходов из одной инерциальной системы отсчета в другую мы делать не будем. Следовательно, начальные условия и любое решение уравнения Даламбера мы будем рассматривать в общем для всех решений пространстве и едином для всех решений времени. Иными словами, потенциал в заданной точке (решение задачи) однозначно определяется начальными условиями, координатами этой точки и моментом времени фиксации потенциала.

Математическая постановка задачи.
Рассмотрим неоднородное волновое уравнение (уравнение Даламбера). Пусть заданы соответствующие граничные условия и начальные условия
В курсе уравнений математической физики доказано, что решение этой задачи существует и оно единственно.

Физическая постановка задачи (1 вариант).
В физике интересуются (как правило) полями, которые создают источники потенциала. В решении эти потенциалы создаются только источником (правой частью волнового уравнения). Потенциалы, обусловленные начальными условиями, не имеют своих источников. По этой причине часто их полагают равными нулю. В этом смысле первый вариант сводится к математической постановке задачи с нулевыми начальными условиями. Здесь единственность решения сохраняется.

Физическая постановка задачи (2 вариант).
Однако весьма часто в физике встречаются случаи особого рода. Проиллюстрируем это на примере уравнений электродинамики в калибровке Лоренца.
Известно, что 4-потенциал Ai=фui/c должен удовлетворять условию калибровки Лоренца, где: Ai - 4-потенциал заряда; ui - 4-вектор скорости заряда; ф - скалярный потенциал неподвижного заряда.
Вот здесь и возникают особенности, которые не учитывает современная электродинамика. Причина в том, что теперь мы уже не можем произвольно задавать начальные условия, как в случае первого варианта постановки физической задачи. Начальные условия могут оказаться несовместными с этим условием. Этот наиболее интересный случай будет рассмотрен ниже.
:::::::::::::::::::::::::::..
В результате анализа показано, что при первой постановке физической задачи мы имеем решение в форме запаздывающих потенциалов (типа потенциалов Лиенара-Виехерта).
При второй постановке физической задачи мы имеем вырожденные решения, т.е. решения, в которых реализуется мгновенное дальнодействие. Такие решения нельзя выразить через запаздывающие потенциалы.
::::::::::::::::::::::::::::::::::

- Вывод 1. Преобразование Лоренца это обычное алгебраическое преобразование 4-координат, и оно не меняет функционального характера преобразуемых потенциалов. Заметим также, что вырожденное решение, как и исходное волновое уравнение, является Лоренц-ковариантным. Как следствие Лоренц-ковариантность волнового уравнения и его решений не может служить индикатором или признаком их запаздывающего характера.
Лоренцевский потенциал равномерно движущегося заряда является решением волнового уравнения (удовлетворяет неоднородному волновому уравнению). Иными словами, это выражение является прямым решением волнового уравнения.
Используя выражение для этого потенциала, мы можем найти начальные условия для математической постановки задачи Коши для уравнения.
Мы можем теперь не рассматривать дополнительные условия, связанные с калибровкой Лоренца. Они уже вошли в начальные условия задачи Коши. В силу существования и единственности решения задачи Коши для волнового уравнения выражение является решением волнового уравнения с полученными нами начальными условиями в рамках данной математической постановки задачи.
Итак, если мы имеем математическую постановку задачи: а) волновое уравнение для потенциала и б) граничные условия и начальные условия, полученные выше, то в силу теоремы о единственности решения задачи Коши решением волнового уравнения будет служить дальнодействующий потенциал, полученный ранее. Если бы мы задали другие начальные условия (например, нулевые), то получили бы решение в форме запаздывающих потенциалов (например, потенциалы Лиенара-Виехерта). Подробно этот вопрос рассматривается в работе в наших опубликованных ранее работах.

- Вывод 2. При математической постановке задачи существует класс таких начальных условий, при которых решение волнового уравнения является дальнодействующим (вырожденное решение). Например, дальнодействующий потенциал неподвижного заряда (решение уравнения Пуассона) ф = q/4пеR является одновременно решением волнового уравнения (вырожденное решение) при соответствующих начальных условиях.

- Вывод 3. Решения при физической постановке задачи (вариант 1 и вариант 2) могут отличаться друг от друга, т.е. единственность решения физической задачи, в общем случае, не имеет места и зависит от постановки задачи. Главное и принципиальное различие получаемых решений в их особой функциональной зависимости от координат и времени (запаздывание, мгновенное дальнодействие).

- Вывод 4. Можно добавить следующее. Попытки 'доказать', что потенциал Лоренца и потенциалы Лиенара-Виехерта эквивалентны, некорректны. Во введении мы уже отметили, что все решения рассматриваются в общем пространстве и едином времени. Таким образом, утверждения, что любые решения неоднородного волнового уравнения должны выражаться только через запаздывающие и опережающие потенциалы, а дальнодействие в решениях 'никогда не имеет места' - заблуждение. Это заблуждение 'подпитывается' другим предрассудком - 'корпускулярно-волновым дуализмом'.
С точки зрения математической постановки задачи подобные 'доказательства' являются профанацией. Чтобы доказать эквивалентность, необходимо установить эквивалентность начальных условий задачи Коши и функциональное соответствие решений. Например, когда задано уравнение и граничные условия, эквивалентность решений (и начальных условий) существует, если потенциалы сравниваемых решений удовлетворяют соотношению u1(r; t) = u2(r; t + T), где T - постоянная величина. А это здесь невозможно.

Процитируем 'Классическую электродинамику' Пановски и Филипс:
'Эти поля тождественно совпадают с полем статического заряда, подвергнутым преобразованиям Лоренца без каких-либо ограничений на скорость'.
В следующем параграфе авторы пишут:
'Эти выражения полностью эквивалентны потенциалам Лиенара-Виехерта. Однако при таком выводе вопросы, касающиеся скорости распространения волны в момент излучения и момент приема, отпали'.

Во-первых, как потенциалы Лиенара-Виехерта, так и потенциал Лоренца рассматриваются в общем пространстве и едином времени. Каждая из формул дает свое значение потенциала для фиксированного момента времени в любой рассматриваемой точке пространства. Иными словами, в каждом решении существует однозначное соответствие между координатами пространства и моментом времени, с одной стороны, и потенциалом, с другой. По этой причине 'отпадать' здесь нечему.

Во вторых, 'эквивалентность' существует в форме 'желаемого', а не действительного результата. Начальные условия математической постановки задачи в сопоставляемых случаях различны, а потому и решения (потенциалы) не могут быть 'эквивалентными' в силу теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Более того, эти решения функционально различны.
Дальнодействие релятивисты используют (не понимая этого) и в теории тяготения. Например, в релятивистском выражении силы взаимодействия двух масс всякое запаздывание потенциала отсутствует. Можно процитировать В. Ацюковского:
'В своем знаменитом 'Изложении системы мира' в 1797 году Лаплас писал, что 'скорость распространения гравитации, которую он высчитал, анализируя движение Луны, ее так называемые вековые ускорения, не менее чем в 50 миллионов раз превышает скорость света!'. И с того времени доказательств Лапласа никто не опроверг':

Аналогичное положение возникает при релятивистском описании взаимодействия заряженных частиц. Как показано в наших работах описание релятивистского взаимодействия зарядов базируется не на запаздывающих потенциалах и полях, а на дальнодействии. Это относится и к описанию парных взаимодействий зарядов в физике плазмы.

Как бы релятивисты не превозносили бессмысленный постулат 'о существовании предельной скорости распространения взаимодействий', дальнодействие подобно вирусу проникает в релятивистские теории, показывая их несостоятельность. Постулат является бессмысленным по той причине, что взаимодействие не есть волна или материальное тело. Взаимодействие есть процесс, протекающий в данный момент времени в данной точке пространства, а процессу невозможно приписать 'механическое' движение. Это не тело и не волна!


Полный текст статьи
'Лоренц-ковариантное дальнодействие' (Корнева М.; Кулигин В.; Кулигина Г.)
<a href="http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9688.html" target="_blank">http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/9688.html</a>