В соседней ветке про кузнечика и атом водорода я упомянул о нулевых колебаниях атомов в кристалле. Интуитивно считаеться, что такие колебания возможно наблюдать лишь при низких температурах (много ниже температуры Дебая). А так ли это на самом деле?
1. Какой вклад нулевых колебаний в амплитуду колебаний атомов, к примеру, в кристалле кремния при комнатной температуре?
2. Можно ли этот вклад увидеть и если можно, то как?

нулевые колебания - это основное состояние решетки, так что да - наблюдать только при низких температурах.
1. нулевые колебания не зависят от температуры, не дают вклада в энергию, поэтому их доля в колебаниях атомов - 0.
2. какое-нибудь рассеяние нейтронов.

Действительно, нулевые колебания не зависят от температуры (по определению). Насчет вклада в энергию - вопрос филосовский (смотря от чего отсчитывать), а вот на счет нулевой доле в колебаниях - неправда.

Собственно, вопрос состоит о вкладе нулевых колебаний при комнатной температуре: мал или не мал?

Энергией нулевых колебаний кристалл обладает всегда, а потому ее можно принять за начало отсчета.

Классический пример - кристалл алмаза.. Его приводил (эксперимент) в своих работах Эйнштейн.
дебай самый что ни наесть комнатный.

Да, похоже прав josai в ветке про кузнечика .

Пример чего? Почему классический? И бывает ли алмаз не кристаллом?

Какой эксперимент приводил в своих работах Эйнштейн, и как это связано с темой ветки?

Так какова все-таки в алмазе амплитуда нулевых колебаний при комнатной температуре?

Про амплитуду нулевых колебаний написано у Зайцева в физтеховском курсе стат. физики. Там, правда, наворочено с вторичным квантованием поля фононов и представлением Мацубары, по-моему в гармоническом приближении можно обойтись уравнением Шредингера с квадратичным потенциалом. В модели Дебая амплитуда нулевых колебаний по порядку оказывается равна:
,
где M - масса атома, c - скорость звука, a - размер элементарной ячейки. Зайцев приводит характерное значение этой величины - одна десятая атомного размера 10e-9 см - и оговаривает, что для молекулярных кристаллов нулевые колебания по амплитуде могут быть порядка размера элементарной ячейки. Про температурную зависимость амплитуды колебаний тоже говорится.

Понятное дело, что формулу для амплитуды колебаний атомов в кристалле я считал известной. Вообще-то для этого даже не нужно искать специальные книги, достаточно усреднить формулу из Ландавшица.

Вопрос я задавал вот для чего. Считается, что при комнатной температуре всякие квантовые эффекты малы, и, в частности, пренебрежимо мала амплитуда нулевых колебаний атомов. Для меня было удивительно, что это не так.

Оценка амплитуды нулевых колебаний действительно (здесь я пишу для скорости звука , а не , чтобы не путать со скоростью света). Для амплитуды колебаний при температурах много больше температуры Дебая () из того же Зайцева имеем:

Если учесть, что предельный волновой вектор фононов равен , и - это примерно температура Дебая, получаем
.
Видно, что при комнатной температуре вклад нулевых колебаний в общую амплитуду отнюдь не мал, т.к. комнатная температура не намного выше дебаевской. Амплитуду колебаний можно измерять по уширению рентгеновских пучков при дифракции на кристаллической решетке.

Если не затруднит, скажите пожалуйста:
Что происходит на поверхности кристалла ?
Поверхность излучает и поглощает излучение, взаимодействует с воздухом.
Каково распределение амплитуд колебаний атомов? Что происходит до и после излучения/поглощения фотона или после удара молекулы воздуха?

Ксей,
Да без проблемы. Отвечу на все вопросы, если объясните как они связаны с темой ветки.

С темой ветки может и не очень, но основания серьезные - "спасение" основ термодинамики.
В теме
http://www.dubinushka.ru/forums/index.php?...mp;#entry439826
хотелось бы прояснить поведение "быстрой" молекулы при столкновении со стенкой трубы в силно разреженной среде.

Если молекула не потеряет скорость при столкновениях со стенукой трубы и поднимется в бесконечность , то демон Максвелла заработает и все рухнет.

Так нет ли в том же Зайцеве распределения для амплитуд колебаний при температурах ?

Где-то я читал, что близлежащие молекулы вердого тела колеблются с равными амплитудами , но разными фазами.
И интересно, в полости черного тела все молекулы имеют одинаковые амплитуды?

Не понял о каком распеределении идет речь. Что явлеятся параметром, по которому нужно распределение?

Не только ближайшие, но и все молекулы в тепловом равновесии колеблются с равными амплитудами. Только под амплитудой нужно понимать среднее по состоянию тела (если записать амплитуды колебаний в терминах операторов рождения-уничтожения фононов, то нужно усреднить по состоянию фононов, соответствующему заданой температуре). Естественно нельзя записать зависимость координаты от времени, нужно использовать квантовую механику.

Опять не понятно. Если в черном теле сделать полость, то молекул там не будет. Или как?

Должно же быть, что то аналогичное распределению Максвелла по скоростям для молекул газа. Только в твердом теле по амплитудам колебаний .



Почти тот же вопрос. Амплитуды колебаний молекул не могут же быть одинаковыми. Можно предположить , что одинаковы только у близких , из-за их взаимосвязи.



Имеется ввиду излучатель в виде абсолютно черного тела, там молекулы поверхности постоянно излучают и поглощают, обмениваются энергией . Это как то влияет на распределение амплитуд колебаний?

Ксей,
А что вы понимаете под амплитудой колебаний атомов в кристалле?

Максимальные отклонения от среднего положения. (в классическом приблжении)

2 Ксей.
Что такое максимальное отклонение я не знаю, классическая механика не описывает колебание атомов в кристалле. Это примерно звучит как на каком максимальном растоянии можно найти электрон в атоме. Формальный ответ - бесконечность. Но если задаться вопросом о среднем квадрата отклонения от положения равновесия (просто среднее равно нулю), то для атомов, находящихся в эквивалентных узлах кристаллической решетки эти величины одинаковы.

Не понял почему "эти величины одинаковы".
Ведь для фононов статистика Бозе-Эйнштейна, т.е. амплитуды колебаний молекул различны.

И действительно ли , что близлежащие молекулы имеют одинаковые амплитуды и отличаются только по фазе колебаний.

Среднеквадратичные отклонения атомов, находящихся в эквивалентных положениях в решетке, одинаковы из-за одинаковости положения (это называется трансляционная симметрия).

Для меня этот вопрос из серии "В огороде бузина, а в Киеве дядька". Впрочем, если вы ответите, что вы понимаете под термином "фонон" (у меня создается впечетление, что не то же, что я), возможно я попытаюсь на него ответить. Если что, можно вычислить функцию распределения отклонений атомов, взятых в один момент времени, от положений равновесия.

А это смотря когда. Для тепловых колебаний атомов (или молекул, если вам нравятся молекулярные кристаллы) при не очень низких температурах это не так, в этой ситуации вообще атомы не совершают гармонических колебаний, и о фазе говорить не приходится. Можно изучать разные корреляционные функции, только оно вам надо? Если в кристалле распространяется звук, то колебания соседних атомов (без учета теплового движения) практически синфазны.

Значит ли это, что если толкнуть один атом, то импульс воспримут все атомы, находящиеся в эквивалентных положениях в решетке. Типа эффекта Мессбауэра.

А те? которые не в эквивалентных положениях?

Уважаемый Ксей.
Мне кажется, что наше обсуждение напоминает ходьбу по кругу. Давайте я изложу все как можно примитивнее, чтобы найти общий знаменатель.

Пусть есть кристаллическая решетка, самая наипростейшая, какая-нибудь кубическая с одним атомом на ячейку, так что все кристаллические узлы эквивалентны. В тепловом равновесии атомы колеблются вокруг положений равновесия - узлов решетки. Колебания вокруг узла нельзя рассматривать как гармонические. Более менее, их нужно описывать как положение электрона в атоме в терминах амплитуды вероятности. Колебания соседних атомов как-то скоррелированы, степень корреляций зависит от температуры. При высоких температурах (выше температуры Дебая) атомы болтаются практически независимо друг от друга.

Поскольку колебания соседних атомов скоррелированы, то удобно от колебаний атомов перейти к нормальным колебаниям, которые в гармоничном (квадратичном) приближении независимы. Проквантовав такие нормальные колебания, переходят к описанию колебаний решетки на языке фононов. После этого можно записать отклонения атомов в терминах операторов рождения-уничтожения фононов. Сами величины отклонения получают путем усреднения (квантомеханического и термодинамического) по состоянию фононов (которое нужно откуда-то еще взять).

Можно задаться вопросом про отклонение атома от узла. Мерой такого отклонения можно выбрать квадратный корень из среднего от квадрата отклонения , где - координата n-го узла решетки. Очевидно, что эта величина не зависит от и будет одинаковой для любого атома решетки. И это именно то среднее, для которого я раньше написал оценки.

В принципе, можно кроме этого среднего, вычислять и другие величины. Можно вычислить например функцию распределения отклонений - вероятность того, что отклонение будет меньше заданной величины x, т.е . Можно вычислить корреляцию колебаний в двух соседних узлах : . Ну и т.д. Что из этого вас интересует, я так и не понял.

С чего бы это? Впрочем, вероятность этого не равна 0 и зависит от температуры (это и есть эффект Мессбауэра).

Это понятно, спасибо.

Повторю, что интересует.

В границу твердое тело/вакуум ударяет молекула (соизмеримая с атомами твердого тела).
Она попадет в один (или в несколько) атомов границы и отскакивает.
Дальнейший путь молекулы зависит от того был ли удар центральным или нет.
А скорость молекулы зависит от направления движения и скорости атома в момент столкновения.

Интересно, как может изменится скорость молекулы (примерно вероятность возростания, уменьшения скорости)?

(например, при центральном ударе свободных частиц, они просто обмениваются скоростями).

2 Ксей.

Изучение взаимодействия атомов и молекул с поверхностью твердого тела - это одно из актуальных направлений в физике конденсированного состояния. Есть куча параметров, от которых все зависит. Одно дело изучать, как молекулы газа взаимодействуют с поверхностью самолета, и совсем другое - изучать напыление пленок металла на поверхность кремния (что является основой технологии изготовления микросхем).

Довольно наивно ожидать, что на форуме вы получите ответы, нужно изучать соответствующую литературу. Только могу сразу предупредить, что для изучения такого взаимодействие модель твердых шаров и понятие центрального совершенно не годятся.

При вхождении спускаемого аппарата в атмосферу, при испарении ионным пучком металла или при ионной имплантации примеси физика близка. Есть зеркалиное или диффузное отражение и поглощение.
И везде есть переход кинетической энергии в тепловую.

А мне казалось, что кто нибудь уже поинтересовался действием каналовых лучей на стекло разрядной трубки.

Достаточно полно этот вопрос изложен http://www.students.chemport.ru/materials/stats/08.htm

(первая попавшаяся ссылка...)

Температура Дебая для кристалла алмаза 1860 К. При комнатной температуре значительная часть мод имеет имеет нулевое значение. Их амплитуда естественно не меняется с температурой и не дает вклад в теплоемкость. По этому "невкладу" можно их "увидеть". или впрямую нейтронографией...



для небольшого собственного импульса молекулы вероятный исход "упругое" отражение молекулы, так как импульс можно передать только длинноволновой моде колебаний твердого тела.. т.е. телу как целому..... ВОТ ЭТО и есть эффект Мессбаура.

2 morozov.

Я же говорю, что у вас проблемы с русским. И если бы только с пунктуацией. Могу напомнит, что кроме местоимений (которыми вам так нравится изъясняться) еще есть и существительные. Вспомнив об этом, возможно вы бы написали, что это за этот вопрос. Если вы про вопрос о вкладе нулевых колебаний в амплитуду атомов в кристалле, то по вашей ссылке ответа на этот вопрос нет.

Опять китайский? Большая часть мод имеет нулевое значение чего?

Вообще шедевр - это надо же в одну фразу напихать столько фигни:
1. Во-первых Мессбауэр (Mössbauer), а не Мессбаур.
2. Во-вторых, то, что вы написали - это не есть эффект Мессбауэра.
3. В-третьих, суть эффект Мессбауэра состоит в том, что существует вероятность взаимодействие частицы с твердым телом без возбуждения каких-либо мод, а не том, что вы написали. Т.е импульс передается телу как целому, но это не эквивалентно возбуждению длинноволновых фононов.
4. В-четвертых, эта вероятность не связана с малостью импульса налетающей молекулы.
5. В-пятых, что за собственный импульс? Что бывает еще несобственный? Или как?
6. В-шестых, небольших - это по сравнению с чем?
7. В-седьмых, в русском языке нет знаков препинания .. и .....

Это называется критика, конструктивная?

В чем-то Вы правы, текст небрежен... нет желания продолжить филологические споры...




т.е. импульс не сохраняется?

детка! не надо надувать щеки... импульс передается кристаллу как целому и низкочастотным фононам ...в детских книжечках об этом конечно умалчивают, поскольку это величина пренебрежимо мала... посчитайте минимальную энергию фонона куска железа миллиметрового размера..частота всего примерно 2 МГц!

__________________________________________________
не надо лениться, без проблем нашел в гугле
МЕССБАУЭРА ЭФФЕКТ

физический процесс, в котором ядра атомов, связанные в твердом теле, испускают и поглощают g-кванты (коротковолновое рентгеновское излучение) без изменения внутренней энергии (т.е. без отдачи). Спектральные линии упругого испускания и поглощения g-лучей чрезвычайно узки (10-5 - 10-10 эВ, относительная ширина 10-10 - 10-15), что позволяет использовать эффект Мессбауэра для измерения малых сдвигов энергии (частоты) g-квантов, вызванных теми или иными воздействиями на ядро. Открытый в 1958 немецким физиком Р.Мессбауэром, эффект основан на известных теоретических принципах, которые Мессбауэр впервые применил к процессам g-излучения. Когда атом кристалла, поглощая или излучая энергию, приобретает небольшой импульс, он обычно претерпевает отдачу, излучая звуковые волны (фононы), и его энергия уменьшается. При испускании g-кванта ядро отдачи движется со скоростью, примерно равной скорости звука в кристалле vзв., и доплеровский сдвиг частоты испускаемого излучения, обусловленный этим движением, составляет примерно vзв./c, где c - скорость света. Это отношение обычно равно МЕССБАУЭРА ЭФФЕКТ 10-6. Энергия кванта пропорциональна его частоте, и при вылете из кристалла квант теряет примерно одну миллионную долю своей энергии.
См. также ДОПЛЕРА ЭФФЕКТ. Аналогичная картина наблюдается при поглощении g-кванта. Естественная ширина линии Dn связана со временем жизни возбужденного состояния t соотношением Dn = 1/t. Следовательно, относительная ширина линии равна:
..............

я позволил себе выделить в тексте, то, что Вы изволили не знать....
и ссылочки привести...
http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/...%AD%D0%A0%D0%90
http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnik...ERA_EFFEKT.html

2 morozov.

Филологические споры я и не веду. Грамматические ошибки все могут делать, ничего зазорного в этом не вижу. Но нарочито плевать на русский язык - это перебор, вы же не в хлеву. Если что, каждое предложение нужно писать с заглавной буквы. Троеточие - знак препинания, дальше начинается новое предложение.

Ну а дальше вы за свое - врете и передергиваете. Для начала, вы не ответили на два первых моих замечания, которые вовсе не филологические. Далее, где это я утверждал, что импульс не сохраняется? Как можно из того, что я написал, сделать такой вывод? Теперь, что вы там написали раньше:

А сейчас вы пишете:

Так т.е. или и? Вы уж разберитесь. Или вам нужно объяснить, в чем разница? Могу намекнуть: по непрерывному спектру испускаемых фононов (включая низкочастотные) нужно интегрировать, а вероятность взаимодействия с передачей импульса всему кристаллу как целому - отдельное слагаемое. Если вы это поняли - напишите здесь на форуме, соответствующую формулу. Тогда и обсудим, кто что знает.

Дело было так. Был вопрос

и два ответа

и


Второй ответ кажется менее информативным несмотря на обещание

2 Ксей.

Раздел куда вы пишете вроде бы физический. У вас есть, что сказать по сути? Тему ветки не забыли?

И еще, если ссылаетесь, то не искажайте смысл. Напомню, что законченной мыслью является предложение. У меня было не "Да без проблемы. Отвечу на все вопросы", а было "Отвечу на все вопросы, если объясните как они связаны с темой ветки." Если вы не поняли, объясняю - это был намек на оффтопик. Если вам интересно было обсудить взаимодействие молекул с поверхностью твердого тела - открыли бы новую тему, и вперед. С амплитудой нулевых колебаний это как-то слабо связано.

Опять же, если вам нравяться ответы morozov'а - ветер в спину. Только отмечу что утверждение:неверное.

Если импульс молекулы мал, то почти наверняка молекула прилипнет к поверхности. Я уже писал про напыления пленок в этой теме. Поскольку взаимодействие молекулы с поверхностью - это всегда притяжение (силы Ван-дер-Ваальса), то при импульсе, стремящимся к нулю, молекула почти наверняка и прилипнет, если она налетит на охлажденную поверхность. А дальше все зависит от температуры и свойст поверхности. Она может так и остаться, на месте. Может немного продиффундировать, найти подходящую "ямку", и залипнуть в ней. А может, продиффундировав по поверхности, оторваться от нее из-за тепловых флуктуаций.

Прошу обратить внимание, что напыляя медленную молекулу на очень холодную поверхность, мы наверняка ее приморозим. А в варианте morozov'а она передаст импульс телу как целому (низкая температура как раз и нужна, чтобы вероятность безфононного взаимодействия была заметной, ну, конечно, и чтобы тепловые колебания атомов поверхности ее не отбросили) и упруго отскочит. Если вам интересно, то проводились специально эксперименты по напылению медленных молекул на холодные подложки. Чтобы снизить скорость молекулы, напыление производилось сквозь слой сверхтекучего гелия. В этом случае скорость молекул снижалась до критической, если не ошибаюсь что-то около 20 м/с. Можете на пару с morozov'ым считать, что молекулы упруго отскакивали. Ага.

Разобрать случай, когда поток газа налетает на поверхность с ненулевой температурой, (который вас, как я понял и интересует), можете сами.

Верно.... только вот с непрерывным спектром вы переборщили...

с другой стороны если рассматривать фононы как собственные моды колебаний конечного твердого тела, то сколько не интегрируй движения тела как целого не получишь.

Можете на пару с morozov'ым считать, что молекулы упруго отскакивали. Ага.



ой. не надо дяденька!
Я прихожу сюда не выпендриваться, а поговорить. И не боюсь ляпнуть что-то не то. Причем стараюсь говорить на равных, без распальцовки... скучно говорить с памятником, даже если памятник думает, что выучил уроки и непрестанно повторяет "а я учил!".

хочу дать наглядную картинку (конечно не для тех кто все знает)

движение упругого тела под воздействием удара в классике выглядит





НАПОМНЮ я не собираюсь ни с кем тут полемизировать!

Между прочим можно считать, что мой вопрос по теме, она же называется " ...колебания атомов в кристалле".
И этот ответ интересен.
Разабраться бы с тепловыми флуктуациями . Трудно представить, что все атомы колеблются с одинаковыми амплитудами.
Вот и интересно по какому закону распределены флуктуации амплитуд колебаний атомов?
Не нравится Вам термин амплитуда (колебание не совсем гармоническое), можно назвать размах итд.
Но этот размах меняется и во времени и по координатам.

2 morozov.


Ой-ли. А это не вы писали?

Знакомо, парламент не место для дискуссий.

Я уже задал вам здесь с пяток конкретных вопросов, ответов нет. Если пришли поговорить, то отвечайте на вопросы. Могу напомнить, этой теме в сообщении #6 - три вопроса к вам, в сообщение #26 - два, в #28 - два.

И зачем вы выложили простыню с описанием распространения импульсов в стержне? Эта задача к отражению молекул от поверхности твердого тела никакого отношение не имеет. И даже если бы это было по теме - достаточно ссылок.

Самая примитивная модель, которую имеет смысл рассмотреть - следующая. Нужно взять одномерный квантовый осциллятор - массу , на пружинке жесткостью , другим концом закрепленную неподвижно. Пусть на осциллятор налетает шарик массы со скоростью . Теперь рассчитайте вероятность возбуждения осциллятора с передачей энергии (, надеюсь, с омегой определитесь?) в двух ситуациях:
1. Осциллятор находится в основном состоянии
2. Осциллятор находиться в смешанном состоянии с температурой .
Для - это будет процессом, описывающим эффект Месбауэра.
3. Вычислите эти же вероятности в случае, когда между массами есть притяжение . Напомню, что в одномерной яме всегда есть связанные состояния. Это будет описывать прилипание молекулы к поверхности с малым импульсом.
Когда вы приведете ответы, имеет смысл обсудить, что будет, когда мода не одна, а много, как в кристалле. Еще имеет смысл обсудить влияние структуры поверхности на рассеяние (дифракция молекулярных пучков, многоканальное рассеяние), возбуждение поверхностных акустических волн, ну и т.п. Только все это имеет смысл, если вы можете решить написанную задачу. Или, хотя бы, найти готовый ответ.

2 Ксей.
Для начала (если что), я не утверждаю, что все знаю, и что непогрешим - всякое бывает.

Попробую объяснить еще раз. Колебание атомов в кристалле описываются не классической, а квантовой механикой. Поэтому нельзя ответить на вопрос: "На каком расстоянии от узла решетки в данный момент времени находится атом?". Это ровно так же, как для электрона в атоме, нельзя сказать, где он сейчас находится. Нельзя пользоваться понятием траектории. Поэтому вопросы нужно задавать в терминах квантовой механики. Давайте я попытаюсь угадать, что вы имеете в виду под "законом распределены флуктуации амплитуд колебаний атомов". Если я сосчитаю функцию распределения , такую, что доля атомов с отклонениями от своих узлов в диапазоне от до равна (где N - полное число узлов в кристалле) - это то, что вам нужно?

P.S. Термин амплитуда мне не нравиться не потому, что колебание не гармоническое, а потому, что оно "квантово-гармоническое". В кристалле ангармонизм конечно есть (без него не было бы теплового расширения), но в данной проблеме на него можно забить.

Ion, такие вопросы уже после школы не задают.
Разве эту функцию распределения w(u) еще не сосчитали?
А может проясните что нибудь и об оптических колебаниях?

2Ксей: "Значит ли это, что если толкнуть один атом, то импульс воспримут все атомы, находящиеся в эквивалентных положениях в решетке."

... интересно попробовать "толкнуть один атом". Или хотя бы одним глазком взглянуть, как вы это собираетесь делать...

Мне это не интересно...
Я тут написал ответ ...но движок не сработал восстанавливать не стал, бисер кончился...
...ищите свои ошибки сами... путем сравнения с учебником (Рекомендую Г.Липкина, расписано достаточно подробно... )
Спасибо, перечитал. Вешать лапшу вам удается. У пергудова учились? Впрочем Вы явно учили. троечку заработали.

Спасибо, еще раз, за "очевидно" о моей статье, порадовали.. именно этого я добивался переписывая и уточняя... впрочем это только препринт.

Можно стрельнуть молекулой (частицей, фотоном) , или коснуться иголкой атомносилового микроскопа.

А что интересует конкретно?


Наверняка сосчитали, только я ответа не видел. В любом случае интереснее задачу решить самому. Решая эту задачу, я придумал ловкий трюк, поэтому изложу решение здесь - может кому-нибудь пригодится. Опять же, наверняка, трюк известный, но в стандартных учебниках по квантовой механике мне он не встречался. Трюк придумался при ботании диаграммной техники по задачнику Левитова и Шитова. Ответ можно посмотреть в самом конце, а для любопытных приведу выкладки.

Я продемонстрирую, как можно сосчитать функцию распределения отклонения гармонического осциллятора от положения равновесия при температуре . А задача про фононы сведется к этой.

Гамильтониан осциллятора:
.
Энергетический спектр:
,
Теперь, как поставленную задачу можно решить стандартным методом. Функция распределения отклонения - это диагональный элемент матрицы плотности в координатном представлении:
.
Значок означает, что матрица плотности берется в термодинамическом равновесии. Из статистической физики известно выражение матрицы плотности в энергетическом представлении:
.
Для осциллятора статсумма находится из условия нормировки , поэтому
.
Матрица плотности в координатном представлении вычисляется так:
,
где - нормированные волновые функции осциллятора в состоянии , которые выражаются через полиномы Эрмита (Ландау и Лифшиц т.3):
.
Это выражение пригодно для расчета на компьютере, но громоздко и никакого желания суммировать полиномы Эрмита не возникает. Более того, на таком пути вычислить функцию распределения атомов в кристалле затруднительно, поскольку волновую функция для колеблющихся атомов выражают не через координаты атомов, а через числа заполнения фононов. Вот тут на выручку и приходит трюк.

Пусть мы интересуемся функцией распределения физической величины какой-нибудь квантовой системы, и эта величина задается оператором . Воспользуемся следующим фактом из теории вероятностей. А именно, известно, что для вычисления функции распределения случайной величины достаточно знать все ее n-е моменты, т.е. средние (или, по другому - матожидания) от -й степени . По моментам можно востановить характеристическую функцию
,
а функцию распределения можно вычислить как обратное преобразование Фурье характеристической функции:
.
Для оператора этот факт означает, что характеристическая функция равна:
.
Для определения этой функции в термодинамическом равновесии нужно усреднить по термодинамической матрице плотности. А дальше, для определения функции распределения, нужно вычислить обратное преобразование Фурье. Это и есть тот самый трюк!

Вернемся к нашему осциллятору. Перепишем задачу в терминах операторов рождения и уничтожения, а именно оператор координаты будет:
.
Нужно вычислить характеристическую функцию:
.
Если разложить в ряд Тейлора, то возникнут члены вида , которые более-менее очевидно разобьются на попарные произведения операторов рождения-уничтожения (это называется теорема Вика). После чего, суммируя ряд обратно, получаем равенство:
.
Итого, характеристическая функция выразилась через средний квадрат смещение и является функцией Гаусса. Очень классно. Дальше совсем просто:
.
Среднее выражается через планковскую функцию распределения (см. например учебник Зайцева, на который давал ссылку Gec):
.
Вычисляя обратное преобразование Фурье функции Гаусса, окончательно получаем искомую функцию распределения:
, где
.
Я проверил численно - это та же формула, что и была раньше (через полиномы Эрмита).

В заключение, немного про колебания атомов в кристалле. Оператор отклонения атома от положения равновесия написан в 5-м томе Ландавшица - это линейное выражение по операторам рождения и уничтожения фононов. Поэтому будет справедлива теорема Вика и:
, где .
Оценку выражение для в случае нулевых колебаний приводил Gec, а для ненулевой температуры я. Можно получить и более точные формулы. В моделе Дебая все можно досчитать до конца, а в реальности нужно знать спектр фононов.

И что же, максимум w(u) при u=0 ?
А не потерялось ли u перед exp ?

Я забыл для колебаний в кристалле написать пространственный индекс, т.е. вместо , нужно понимать проекцию смещения . Если нужно более аккуратно, то нужно учесть поляризацию. Из того, что я понаписал это делается очень просто, просто мне лень набивать длинные формулы. Т.е. ответы такие - (1) да, максимум в нуле; (2) - перед экспонентой ничего не потеряно.

Значит, при малой температуре есть большой процент неподвижных атомов и крутая экспонента ограничивает процент атомов с большими амплитудами.
С ростом температуры процент неподвижных уменьшается, а экспонента становится пологой.

Есть атомы колеблющиеся в данный момент более энергично и менее энергично. Причем разница может быть большой.
Это внутри кристалла. На поверхности, видимо, так же.
В принципе и без формул было понятно, что это так.

ion спасибо.

2 Ксей.

Более точно сказать, что функция распределения уширяется. Но весь мой пафос и исходный вопрос состояли в том, что почти до температуры Дебая амплитуда колебаний (а с ней и функция распределения) от температуры практически не зависит, и определяется нулевыми колебаниями. При дальнейшем увеличении температуры амплитуда подрастает - но сильно вырасти ей не удастся. Когда она составит 15-20% от межатомного расстояния - тело расплавится.

Это усредненная амплитуда, а отдельнвые атомы могут и вылетать из тела. И количество атомов с амплитудой выше некоторой растет при повышении температуры очень быстро.