В теории представлений есть соотношение ортогональности
Просуммируем по
Полная версия этой страницы: Вопрос по теории представлений групп
В связи с трудностями в освоении данного предмета хочу задать несложный вопрос.
В теории представлений есть соотношение ортогональности
}(g_a)T_{qj}^{(\beta)}(g_a^{-1}), "\frac{g}{S_\alpha}\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}\delta_{pq}=\sum\limits_{a=1}^g T_{ip}^{(\alpha)}(g_a)T_{qj}^{(\beta)}(g_a^{-1}),")
- это порядок группы, } "T^{(\alpha)}")
- представление группы в линейном пространстве } "X^{(\alpha)}")
размерностью 
, } "T^{(\beta)}")
- представление в линейном пространстве } "X^{(\beta)}")
размерностью 
. Приравняем 
, 
:
}(g_a)T_{jj}^{(\beta)}(g_a^{-1}). "\frac{g}{S_\alpha}\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}=\sum\limits_{a=1}^g T_{ii}^{(\alpha)}(g_a)T_{jj}^{(\beta)}(g_a^{-1}).")
Просуммируем по
, 
. В книгах далее написано
}(g_a)\chi^{(\beta)}(g_a^{-1})=
g\delta_{\alpha\beta}. "\sum\limits_{a=1}^g\chi^{(\alpha)}(g_a)\chi^{(\beta)}(g_a^{-1})=
g\delta_{\alpha\beta}.")
 "\chi(g_a)")
- характер представления (по определению - след матрицы оператора). Но если суммировать левую часть предпоследнего выражения, может вылезти как 
, так и 
. Так?
В теории представлений есть соотношение ортогональности
Просуммируем по
Может быть еще актуально.
Не так. Левая часть второй формулы отлична от нуля только при
, значит, можем считать, что индексы и пробегают одно и то же множество из элементов. А дальше 
и 
.
Цитата(AWP @ 15.04.2009, 20:01) 
Но если суммировать левую часть предпоследнего выражения, может вылезти как , так и . Так?
Не так. Левая часть второй формулы отлична от нуля только при
Цитата(Gec @ 16.4.2009, 18:59)
Не так. Левая часть второй формулы отлична от нуля только при , значит, можем считать, что индексы и пробегают одно и то же множество из элементов. А дальше и .
Актуально.
Тогда почему они пробегают множество не из
Странная ассиметрия какая-то.
Асимметрии по-моему нет. 
позволяет рассматривать 
только при , если же 
, то все равно чему равно , так как умножается на ноль. Очевидно
Upd. Почему в вашем сообщении 3 внутри цитаты есть формулы, а в моем сообщении 2 формул внутри цитаты нет? Вы просто не поленились их набрать?
Upd. Почему в вашем сообщении 3 внутри цитаты есть формулы, а в моем сообщении 2 формул внутри цитаты нет? Вы просто не поленились их набрать?
Спасибо, стало более-менее понятно.
Про формулы - я всего лишь нажал кнопку "цитировать", удалил в цитате лишнее, и все. Не могу сказать, из-за чего у Вас возникла проблема.
Про формулы - я всего лишь нажал кнопку "цитировать", удалил в цитате лишнее, и все. Не могу сказать, из-за чего у Вас возникла проблема.
Доброго времени суток!
А что еще интересно про представления? Давай я что-нибудь расскажу.
Полезные упражнения:
доказать полную приводимость компактных(конечномерных) групп.
научиться раскладывать тензорные произведения представлений данной группы в прямую сумму неприводимых.
научиться классифицировать неприводимые комплексные представления симметрической группы.
научиться понимать, что такое пространство эндоморфизмов данного представления.
А что еще интересно про представления? Давай я что-нибудь расскажу.
Полезные упражнения:
доказать полную приводимость компактных(конечномерных) групп.
научиться раскладывать тензорные произведения представлений данной группы в прямую сумму неприводимых.
научиться классифицировать неприводимые комплексные представления симметрической группы.
научиться понимать, что такое пространство эндоморфизмов данного представления.
Откуда только такой умный выискался? 
=)) Отсюда: http://ium.mccme.ru/students.php
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.