Прошу помочь разрешить следующий вопрос.
Частица в потенциальной яме находится в состоянии являющемся собственным состоянием оператора энергии. Определена ли эенергия этого состояния?
Импульс в этом состоянии не определен, т.к. частица локализована в пределах размера ямы, и это согласуется с математикой: собственные ф-ии Е не равные нулю в пределах ямы раскладываются по собственным ф-ям оператора P.
Но как быть с энергией? С одной стороны она неопределена, (ибо неопределен P, а потенциальная энергия в ящике определена), а с другой стороны частица же находится в собственном состоянии Е, а потому ее Е определено (сие постулат).
??

Да, по определению собственного состояния оператора.
Неверно, потенц.энергия так же не определена (т.к. она зависит от координаты, а координата не определена)

Спасибо.
1. Но мне непонятно, что значит координата неопределена?. Координата частицы? Ну и ладно. Мы же знаем, что она находится в пределах ямы, я в ней потенциальная энергия постоянна (я это забыл упомянуть в первом вопросе - прошу прощения, рассматривается потенциальный ящик с бесконечными стенками).
2. Ваш ответ не проясняет, то что, как я написал, по постулату частица находящаяся в собственном состоянии обладает определенным значением. (При этом в этом постулате, не имеет значение отсутствие у частицы определенной координаты - т.е. форма потенциальной энергии могла бы быть и другой.)
Из Вашего ответа следует что постулат не верен?

В случае частицы в ящике (в стационарном состоянии) ее импульс не просто "не определен", а имеет два измеримых значения - +p и -p, измеряемых с равной вероятностью. Поскольку энергия пропорциональна квадрату импульса, для нее получаем одно измеримое значение. Следовательно, она определена. Рассуждение слегка примитивное, но мне оно казалось более или менее осмысленным...

Неопределен вектор импульса, но модуль определен (то бишь квадрат импульса).

Спасибо. Непонятно следующее.
Пси ф-я частицы отлична от ноля только в пределах ямы (ограниченной ширины). Каким образом можно разложить такую ф-ю так, чтобы интеграл Фурье (разложение по собственным ф-ям импульса - это по сути разложение Фурье) сводился к сумме только 2-х двух членов, представляющих произведение коэффициентов на экспоненты? На участках, где Пси-ф-я равна нулю, эти два члена не могут дать равную нулю ф-ю (их сумму).
Точно не уверен, но, кажется, есть и теорема, что ф-я отличная от ноля только на конечном промежутке имеет бесконечный спектр.

В данном случае мы говорим о частице, локализованной в яме. Решение УШ состоит из трех отдельных частей - две вне ямы и одна внутри. Внутри ямы это сумма двух волновых функций с определенными значениями импульса; снаружи - тождественный ноль. Сшиваем из соображений непрерывности.

Нет. Внутри ямы это сумма двух волновых ф-й, каждая из которых представляет собой коэффициент, умноженный на зкспоненту, в показателе которой стоит определенное число (p умноженное на др. коэффициент). Каждая из этих волновых ф-й не является собственной ф-ей оператора импульса (т.к. собственная ф-я этого оператора не равна нулю во всем пространстве) и ее можно разложить по собственным оператора импульса - получится бесконечный спектр (о чем я уже писал).
Т.е. нельзя ф-ю равную собственной ф-ии оператора на конечном промежутке считать собственной ф-й этого опрератора на этом промежутке.
Это ясно и без математики: пусть частица находится в состоянии с ф-ей равной собственной ф-ии оператора импульса только на конечном промежутке и нулю в остальном пространстве. Тогда ясно, что ее импульс неопределен из принципа неопределенности.

Я это в уме и проделывал до того, как задать вопрос.
Ясно, что энергия частицы вне ямы равна энергии частицы в яме (полная энергия).
Но тем не менее импульс неопределен, и возникает все ж вопрос: как может быть при этом определенная энергия?
Пришел к выводу, что если определяем энергию, то совершено не знаем где это делаем (делаем это везде, оно и ясно: оператор координаты и энергии не коммутируют). И потому рассуждения о том, что импульс неопределен, а потенциальная энергия определена - не верно: потенциальная энергия тоже неопределена и поэтому общая энергия может иметь определенное значение. Но хочется выслушать альтернативные (в хорошем смысле) точки зрения, я такого разбора в учебниках не встречал и хочется математики (хочется математического доказательства на пальцах того, что неопределенные кинетическая и потенциальная энергии дают определенную полную энергию).

Спасибо за комментарий. На самом деле, логика за моим высказыванием была приблизительно следующая.
Рассмотрим яму бесконечной глубины. Пусть она находится между координатами 0 и 1. Тогда волновая функция за ее пределами равна нулю, а в ней пропорциональна

с энергией относительно дна ямы

Эту волновую функцию можно представить в виде

Экспоненты, если отвлечься на время от ограниченности ямы, представляют собой волновые функции состояний с определенным импульсом

которому соответствует вышеуказанная энергия.
Говоря чуть более строго, эти (экспоненциальные) волновые функции действительно соответствуют определенным импульсам, но представляют собой решения уравнения Шредингера на отрезке [0,1] с несколько необычными граничными условиями. Более того, в определенном смысле (с классической точки зрения) можно интерпретировать это как частицу, осциллирующую в яме, периодически отражаясь от стен. При этом одна волновая функция соответствует фазе движения направо, другая - фазе движения налево. Их суперпозиция и является волновой функцией частицы в яме. Отражение что в нуле, что в единице происходит в противофазе, что и вызывает зануление суммарной волновой функции на краях.

Не могли бы вы сказать, что в этих рассуждениях разумно, а что нет? Или это все - полный бред?

Почему можно "отвлечься" от ограниченности ямы?
Эти - соответствуют (если не уходить в обсуждение того, может ли существовать состояние с определенным импульсом вообще, а функция ли дельта-функция и т.д. ...), но реальная волновая функция частицы в яме не равна суперпозиции этих двух волновых функций. Поэтому импульс частицы имеет неопределенность не меньшую, чем полагается по соответствующему соотношению.

Спасибо.

Спасибо за объяснение.

Цитата(Nacht-Wandler @ 7.01.2009, 2:37)

Почему можно "отвлечься" от ограниченности ямы?

Потому что с точки зрения рассмотрения волновой функции внутри ямы нет разницы между заданием граничных условий на стенках и периодическим продлением на всю ось со сменой фазы. Попытка применения к этой задаче метода зеркальных отображений. Не очень удачная, судя по всему.

Речь шла не о периодическом потенциале. Впрочем, дело прошлое...