Добрый день всем, а особенно форумным теоретикам!

У меня один совсем простой вопрос, про гомологии. Он вроде бы по математике, но возник из физики, так что, наверное, к тематике подфорума за уши притянуть можно... А то я его на форуме мехмата задал, но там как-то в раздел "помогите разобраться", похоже, мало кто заглядывает.

Вот есть дуальность (двойственность) Пуанкаре-Лефшеца для компактного многообразия с границей: (относительные когомологии -- это формы, обращающиеся на границе в ноль, они двойственны относительным гомологиям, т.е. таким, что "все, что на границе, не считается"). Это обобщение на случай с границей обычной двойственности Пуанкаре для многообразий .

Только вот применим это к трехмерному многообразию: "шарик, из которого вырезан полноторий", k = 2. Одномерная гомология у меня одна есть -- это петля, опоясывающая тор. Но двумерных я что-то не вижу. Ведь, казалось бы, любой двумерный цикл в моем пространстве либо стягиваем, либо опоясывает тор, а значит выносится на границу, то есть относительных двумерных когомологий как будто нет. Где-то глупая ошибка... Где?

Насколько я знаю, это у них детский раздел. Я не так давно простенькую задачку для одномерного волнового уравнения туда кидал, тоже никто не отозвался.

В этой теме я уж точно участвовать не буду (и никаких плюсов в репу!) Объясните только мне, необразованному, на простом крестьянском языке: нужно найти замкнутую поверхность, принадлежащую шару (с вырезанным тором), которая не может быть деформирована... во что? Растянута к внешней поверхности шара? К поверхности тора? Стянута в точку? В линию?

Да, в данном случае утверждение заключается в том, что для компактного мноообразия с краем
(1) группа одномерных гомологий
это то же самое, что
(2) группа относительных двумерных когомологий.

(1) -- это такие замкнутые кривые, которые нельзя стянуть в точку.
(2) -- насколько я понимаю, это замкнутые дифференциальные 2-формы, которые обрщаются в ноль на границе. Это объекты, двойственные двумерным относительным гомологиям -- замкнутым двумерным поверхностям, опеделенным с точностью до всего стягиваемого или выносящегося непрерывной деформацией на границу.

С другой стороны, это мое понимание определений. И возможно, именно оно у меня неправильное, иначе теорема как будто не работает. Ведь получается, что группа относительных двумерных гомологий в данном примере пустая: любая замкнутая двумерная поверхность, она или стягиваема, или охватывает тор, но тогда она деформируется в большую сферу, границу нашего шарика. То есть эквивалентна нулю.

Говоря рабоче-крестьянским языком, векторное поле с нулевой дивергенцией?

Далее, замкнутые (ориентируемые?) двумерные поверхности --- это сферы с ручками?

Правильно ли я понимаю, что можно искать поверхность, а можно --- поле, это эквивалентные задачи?


Что Вы понимаете под "охватывает/опоясывает" тор? Типа сферы, внутри которой находится тор, или типа баранки (еще одного тора), который за первый цепляется?

> Говоря рабоче-крестьянским языком, векторное поле с нулевой дивергенцией?
Да, именно так.

> Далее, замкнутые (ориентируемые?) двумерные поверхности --- это сферы с ручками?
Ну, в общем, да. Ориентируемыми они будут автоматически -- неориентируемую замкнутую поверхность вы в шарик не вложите.

По идее надо уточнять, какие именно гомологии имеются в виду -- например, "клеточные", тогда надо задать разбиение нашего пространства на клетки, тогда у каждоы клетки есть определенная граница -- набор клеток меньших размерностей. И двумерные "циклы" -- это такие наборы клеток, что их суммерная граница обращается в ноль. Или "сингулярные" гомологии, это нечто более вырожденное. Но в итоге все это все равно эквивалентно инуитивному пониманию, что надо вкладывать сферы с ручками. По краыней мере, я всегда так думал, но сейчас уже во всем сомневаюсь.

> Правильно ли я понимаю, что можно искать поверхность, а можно --- поле, это эквивалентные задачи?
Обычно это правда. Здесь, наверное, тоже?..

> Что Вы понимаете под "охватывает/опоясывает" тор? Типа сферы, внутри которой находится тор, или типа баранки (еще одного тора), который за первый цепляется?
Баранка, которая цепляется за первую, стягиваема (т.е. является границей некоторого объекта размерности 3). Я имел в виду сферу, внутри которой находится тор (хотя выразился, и правда, как-то неудачно). Или, что то же самое, тор "чуть потолще", содержащий внутри себя вырезанный тор.

Ты здесь имеешь в виду вырезанный полноторий, так?
Вот меня тут смущает оборот "что то же самое". Почему то же самое? Сфера и тор, все-таки, топологически не эквивалентны. И сферу, содержащую в себе тор, ты до границы не стянешь без изменения ее топологических характеристик (типа характеристики Эйлера).

Ура, товарищи!

Набравшись смелости, сходил и спросил первого попавшегося незнакомого профессора. Как и предполагалось, все тривиально.

Диск, чья граница лежит целиком на вырезанном торе и образует нестягиваемый цикл (поверхность мыльной пленки, которая останется на торе, если его окунуть в мыльный раствор -- такая, что закрывает "дырку") -- есть та самая нестягиваемая двумерная поверхность, граница которой ноль, и которая дуальна той одномерной цепи. И об этом можно было бы сразу догадаться, так как по построению дуальности это должна быть поверхность, которую этот одномерный цикл протыкает ровно один раз.

Мда. Давно я не ботал топологию. Хорошо хоть, что спросил именно незнакомого профессора.

2 Теоретик
Сфера и тор в данном случае в самом деле то же самое: взяв сферу двумя пальцами за полюса и сдавив ее с краев, совместив кончики пальцев в "дырке" тора, ты из сферы сделаешь тор + два раза центральный круг с противоположными ориентациями. То есть тор и сфера в данном случае гомологичны, хоть и не гомотопичны. А те топологические характеристики, о которых ты говоришь -- гомотопические инварианты.

Всем спасибо за участие!

2 M_T
В следующий раз спрашивайте первого попавшегося Нобелевского лауреата - и сразу отпускайте усы!