Студенческий форум Физфака МГУ > написать диф. уравнение для R,L,C цепочки

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: написать диф. уравнение для R,L,C цепочки

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Desperado

26.2.2008, 20:20

здравствуйте все, мне один знакомый посоветовал этот ресурс - сказал ,что помогут.Помогите разобраться с задачей:"дана R,L,C - цепочка последовательно соединенная.Имеется источник ЭДС и ключ замыкающий цепь.необходимо составить диф.уравнение и выразить из него зависимость I(t).Помогите, пожалуйста!!! (задача по электродинамике)

Марсианин

26.2.2008, 20:54

Источник какой ЭДС? Постоянной? Переменной?

~K(0)SHI~

26.2.2008, 22:37

Рассмотрим общий случай.

Нажмите для просмотра прикрепленного файла

Запишем 2-ой закон Киргхофа:

$\frac{d^2q}{dt^2}L + \frac{dq}{dt}R + qC = E\cdot cos(wt)$

затем решая это дифференциальное уравнение (начальные условия вы не указали. Т.е. ключ изначально замыкает цепь или вас интересует момент размыкания).
получаем:

$q(t) = e^{-\frac{1}{2}\frac{\left(R-\sqrt{R^2-4CL}\right)t}{L}}\cdot A + e^{-\frac{1}{2}\frac{\left(R-\sqrt{R^2-4CL}\right)t}{L}}\cdot B + \frac{\left(\left(C-w^2L\right)cos(wt) + sin(wt)wR\right)E}{w^4L^2 + \left(R^2-2CL\right)w^2+C^2}$ , где A=cont, B=cont зависят от начальных условий.

Затем дифференцируя это выражение по t находим I(t).

Если источник постоянного тока, то решение значительно проще.

aibon

26.2.2008, 22:52

Цитата(Desperado @ 26.02.2008, 20:20)

здравствуйте все, мне один знакомый посоветовал этот ресурс - сказал ,что помогут.

еще бы - тут полно идиотов, которым нечего делать

Предупреждение:
Флуд, два балла.

Jesper

26.2.2008, 23:07

я, конечно, извиняюсь, но постоянный ток с конденсатором в цепочке не очень дружит, как мне кажется

~K(0)SHI~

26.2.2008, 23:10

Я про переходные процессы в реактивных элементах (конденсаторе и катушке), возникающие в момент размыкания/замыкания ключа.

~K(0)SHI~

27.2.2008, 1:44

Запишу решение в более простом виде:

По 2-ому закону Киргхофа:

$\frac{d^2q}{dt^2}L + \frac{dq}{dt}R + qC = E_0\cdot cos(wt)$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$q(t) =E_0*C\cdot \left( A\cdot e^{-\gamma\cdot t}\cdot sin(\omega_0 t) + B\cdot e^{-\gamma\cdot t}\cdot sin(\omega_0 t) + cos(wt)\right)$ , где A и B - задается начальными условиями,
$\gamma = \frac{R}{2L}$ - коэффициент затухния, $\omega_0 = \sqrt{\left(\frac{1}{LC}\right)^2-\gamma^2}$

Найдем модуль импеданса цепи: $|Z|=\sqrt{\left({\omega\cdot L}-\frac{1}{\omega\cdot C}\right)^2+R^2}$

Найдем действующую амплитуду цепи: $|E|= Re\left(E_0e^(\omegat\cdot i)\right)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}$

Применим закон Ома: $I = \frac{|E|}{|Z|}$

Учтем: $U = \frac{q}{C}$

Окончательно: $I(t) = \frac{E_0\cdot \left( A\cdot e^{-\gamma\cdot t}\cdot sin(\omega_0 t) + B\cdot e^{-\gamma\cdot t}\cdot sin(\omega_0 t) + cos(wt)\right)}{\sqrt{2}\sqrt{\left({\omega\cdot L}-\frac{1}{\omega\cdot C}\right)^2+R^2}}$

Owen

27.2.2008, 12:02

я, конечно, извиняюсь, но постоянный ток с конденсатором в цепочке не очень дружит, как мне кажется

Черт, и это аспирант физфака...

В диффуре есть ошибочка. Напряжение на конденсаторе не qC, а q/C.

В случае источника постоянного тока решение отличается от решения уравнения свободных колебаний совсем чуть-чуть, заменой q' = q + CE уравнение сводится к свободным (затухающим) колебаниям с ненулевым начальным зарядом конденсатора.

Вообще же решать в случае источника постоянной ЭДС без начальных условий нечего. В условии есть слова вида "в начальный момент ток через индуктивность и заряд конденсатора равны нулю"?

Desperado

27.2.2008, 14:30

Извиняюсь за неточности в постановке вопроса
Уточнения:
1.Постоянный ток
2.Н.У. q=0,dq/dt=0
3.зависимость I(t) надо найти (как я понял) в момент замыкания ключа.

Developer

27.2.2008, 15:07

Поступите, как посоветовал Owen:
- найдите частное решение однородного уравнения $L \ddot{q}+R \dot{q}+ \frac{1}{C} q=0$ в виде затухающих колебаний, здесь q - заряд;
- затем получите общее решение просуммировав частные решения;
- рассмотрите, как поведет себя система в случае воздействия на нее вынуждающей "силы" в виде внешнего источника постоянной э.д.с.
Удачи...

Desperado

27.2.2008, 20:10

спасибо всем за советы

BeliyMustDie

4.3.2008, 16:04

Всем здравствуйте, мне необходимо смоделировать эту задачу на компьютере, т.е. нарисовать зависимость тока от времени во время переходного процесса. Я записал диф уравнение через конечные разности и вроде решил его, но почемуто правильный ответ получается не при любых значениях емкости, индуктивности и сопротивления. Свою программу с исходными текстами на object paskal я приложил к сообщению. Хотелось бы узнать слабые места программы или даной схемы решения. За ответы заранее спасибо=)

BeliyMustDie

5.3.2008, 18:35

как я и ожидал, препод раскритиковал мою прогу

Т.к. она не считает ничего при С=0, L=0 или R=0. Он сказал, что необходимо решать не конечно-разностной схемой, а методом Рунгэ-Кутта, но им у меня вобще ничего не получается

Помогите пожалуйста, ато в следущий раз он мне не даст шанс испрпавится

tkm

8.3.2008, 14:55

Цитата(BeliyMustDie @ 4.03.2008, 16:04)

но почемуто правильный ответ получается не при любых значениях емкости, индуктивности и сопротивления

Видимо алгоритм, используемый вами - неустойчивый. Так что препод правильно посоветовал использовать прекрано зарекомендовавшую себя вычислительную схему Рунге-Кутты - описание можно найти в любом учебнике по ЧМ.

tkm

8.3.2008, 15:05

Ну да, глянул программу - алгоритм, используемый вами - явный, т.е. вы находите следующее значение тока, исходя из предыдущих значений всех величин. Такие алгоритмы обладают хорошо известной проблемой - они неустойчивы. Для устойчивости можно ввести в эту схему элемент неявности - получать следующее значение тока, исходя из следующих значений производных (которые пока не известны, но в первом приближении можно считать их равными предыдущим). Далее все просто - устраиваете следующий цикл: исходя из предполагаемых следующих значений, находите их точные значения - и так, пока разность между предполагаемыми и вычисленными не станет меньше погрешности. Это обычно устраняет неустойчивость.
Хотя, если препод сказал Рунге-Кутты - значит Рунге-Кутты...

peregoudov

8.3.2008, 17:09

Цитата(BeliyMustDie @ 5.03.2008, 18:35)

препод раскритиковал мою прогу sad.gif Т.к. она не считает ничего при С=0, L=0 или R=0.

Это проблема не метода. C=0 вообще считать нечего, ток не течет. Правильный предел отсутствия конденсатора --- $C=\infty$ . Случай R=0 должен считаться без проблем, тут Вы что-то путаете. А вот в случае L=0 меняется порядок уравнения (со второго на первый), это никакой численной схемой не лечится, нужно отдельный код писать. Как и под случай $C=\infty$ , когда порядок уравнения тоже понижается. Так что в этом отношении посылаете Вашего препода на...

Цитата(BeliyMustDie @ 5.03.2008, 18:35)

Он сказал, что необходимо решать не конечно-разностной схемой, а методом Рунгэ-Кутта, но им у меня вобще ничего не получается

А что там может не получаться? Берете готовый код, хотя бы из Numerical Recipes, все, что остается, --- правильно параметры в процедуру передать. Или Вам нужно самому написать реализацию метода Рунге-Кутта? Ну, переписываете готовый код "своими словами". Конкретнее нужно вопросы задавать.

P.S. Чтобы пользоваться методом Рунге-Кутта, нужно сначала переписать уравнение второго порядка
$L\ddot q+R\dot q+q/C=0$
(для упрощения предполагаю, что постоянный член в решении Вы уже нашли) в виде системы уравнений первого порядка
$\begin{array}{l} \dot I=-IR/L-q/LC,\\ \dot q=I. \end{array}$
Чтобы охватить максимальную область изменения параметров, уравнения рекомендую обезразмерить. У Вас два параметра с размерностью времени: период колебаний $\tau_1=\sqrt{LC}$ и постоянная затухания $\tau_2=L/R$ . Их отношение $Q=\tau_2/\tau_1$ называется добротностью. Удобно сравнять размерности тока и заряда, введя $\tilde q=q/\tau_1$ . Время обезразмериваем на тот временной масштаб, который меньше. При Q>1 безразмерное время $t'=t/\tau_1$
$\begin{array}{l} I'=-\tilde q-I/Q,\\ \tilde q'=I. \end{array}$
При Q<1 безразмерное время $t'=t/\tau_2$
$\begin{array}{l} I'=-I-Q\tilde q,\\ \tilde q'=IQ. \end{array}$
(Штрихи в системах уравнений --- производные по безразмерному времени.)

P.P.S. В последнем случае можно и заряд поделить на постоянную затухания $\tilde q=q/\tau_2$ , тогда уравнения принимают вид
$\begin{array}{l} I'=-I-Q^2\tilde q,\\ \tilde q'=I. \end{array}$

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.