Есть задача:
Методом простых итераций со значением итерационного параметра
и начальным приближением
 "x^{0}=(1;1)")
решают систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с нулевой правой частью и с матрицей (простите, но в ЭТОМ форуме коряво работает отображение матриц!!):
2 1
1 2
При данном значении итерационного параметра (0.3), уже на 5-ой итерации получаем ответ
 "(1\cdot10^{-5};1\cdot10^{-5})")
, который с хорошей точностью близок к правильному. Но при выборе
оптимального параметра, который равен
, чтобы получить близкий к предыдущему ответ, а именно,
 "(1.53 \cdot10^{-5};1.53 \cdot10^{-5})")
требуется аж 16 итераций!!!
Как объяснить этот результат? Ведь условия теоремы, которую я приведу ниже, выполнены! Почему же тогда оптимальный параметр не оптимален?
ТеоремаРассмотрим уравнение
,
(1)
относительно
, где
- евклидово пространство. Пусть известны наименьшее
и наибольшее
собственные значения
. Зададим
и приведем уравнение (1) к виду:
x+\tau f "x=(E-\tau A)x+\tau f")
Зададим произвольное нулевое приближение
} "x^{(0)}")
и рассмотрим последовательность простых итераций
}=(E-\tau A)x^{(p)}+\tau f "x^{(p+1)}=(E-\tau A)x^{(p)}+\tau f")
,
1.Если
достаточно мало, а именно, удовлетворяет неравенствам
(2),
то последовательность
} "x^{(p)}")
сходится к решению
уравнения (1), причем гарантировано убывание нормы погрешности
}\right| "\left| x-x^{(p)}\right|")
при возрастании
в соответствии с оценкой
}\right|\leq q^{p}\left| x-x^{(0)}\right| "\left| x-x^{(p)}\right|\leq q^{p}\left| x-x^{(0)}\right|")
,
(3)
Здесь
и выражается формулой
=max(\left| 1-\tau \lambda_{min}\right|,\left| 1-\tau \lambda_{max}\right|) "q=q(\tau)=max(\left| 1-\tau \lambda_{min}\right|,\left| 1-\tau \lambda_{max}\right|)")
(4)
2.Пусть
- произвольное число, удовлетворяющее (2)
Существует начальное приближение
, при котором оценку (3) при выбраном
улучшить нельзя, так как при этом
соотношение (3) превращается в точное равнество.
3. Если условие (2) нарушено так, что
или
, то существует
, при котором последовательность
не сходится с ростом
к решению
.
4. Число
 "q=q(\tau)")
, задавоемое формулой (4), принимает наименьшее значение
 "q_{opt}=q(\tau_{opt})")
, если
 "\tau=\tau_{opt}=2/(\lambda_{min}+\lambda_{max})")
. В этом случае число
принимает значение
-1}{\mu(A)+1} "q=q_{opt}=\frac{\lambda_{max}-\lambda_{min}}{\lambda_{max}+\lambda_{min}}=\frac{\mu(A)-1}{\mu(A)+1}")
где
 "\mu(A)")
- число обусловленности оператора
.
