Студенческий форум Физфака МГУ

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Распад мезона

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Есть проблема

Anatoliy

23.11.2007, 23:09

Найти максимальную и минимальную энергию электрона от распада: $\mu \rightarrow e+\nu+\tilde{ \nu}$ . Энергия $\mu$ -мезона $E$ .

Пробуем в лоб.

В СЦИ суммарный импульс - нуль. Начальная энергия мезона равна его энергии покоя.
ЗСЭ: $m_{\mu}c^2=E_{e}+2E_{\nu}$ (1)
ЗСИ: $0=\vec{p_{e}}+\vec{p_{\nu}}+\vec{p_{\tilde{\nu}}}$ (2)
$E_{\nu}=E_{\tilde{\nu}}=p_{\nu}c=p_{\tilde{\nu}}c$ (3)
$E_{e}^2-p_{e}^2c^2=m_{e}^2c^4$ (4)

Из второго уравнения:
$p_{e}^2c^2=2p_{\nu}^2c^2+2p_{\nu}^2c^2Cos \alpha=2p_{\nu}^2(1+Cos \alpha)c^2$
Из первого:
$p_{\nu}^2c^2=\frac{1}{4}(m_{\mu}c^2-E_{e})^2$
$p_{e}^2c^2=\frac{1}{2}(1+Cos \alpha)(m_{\mu}c^2-E_{e})^2=X(m_{\mu}c^2-E_e)^2$

Подставляя это все в четвертое:
$E_{e}^2=X(m_{\mu}c^2-E_e)^2+m_{e}^2c^4$
$X^{min}=0$ $E_{e}^{min}=m_{e}c^2$
$X^{max}=1$ $E_{e}^{max}=...$

А теперь нужно перейти в лаб. систему отсчета.

Правильно ли я делаю? Если не правильно, то укажите, пожалуйста, что.
Спасибо.

peregoudov

23.11.2007, 23:59

Неправильно уже уравнение (1). С чего Вы взяли, что два нейтрино имеют одинаковые энергии? Однако эта ошибка не влияет на результат, он у Вас правильный.

Минимальная энергия электрона, очевидно, просто энергия покоя. При этом импульс электрона равен нулю, а импульсы нейтрино равны и противоположны.

Максимальную энергию электрон имеет, когда импульсы нейтрино сонаправлены (а их сумма равна импульсу электрона). В этом случае вообще неважно, как распределен импульс между нейтрино.

Задачу, однако, можно решить гораздо проще, если увидеть, что (2) дает неравенство треугольника
$p_e<p_\nu+p_{\tilde\nu}=E_\nu+E_{\tilde\nu}$
(извините, "c" писать не буду). Подставляя сюда сумму энергий нейтрино из (1) и импульс электрона из (4), сразу получаем нужное неравенство.

Можно еще воспользоваться законом сохранения импульса в четырехмерной форме
$P_\mu=P_e+P_\nu+P_{\tilde\nu}$
Возводя в квадрат равенство $P_\mu-P_e=P_\nu+P_{\tilde\nu}$ и учитывая
$P_\mu=(m_\mu,{\bf 0})$ , $P^2_e=m^2_e$

, $P^2_\nu=P^2_{\tilde\nu}=0$ , $$P_\nu P_{\tilde\nu}=E_\nu E_{\tilde\nu}(1-\cos\alpha)>0$ , снова получаем верхнюю границу энергии электрона.

Anatoliy

24.11.2007, 1:08

Цитата(peregoudov @ 23.11.2007, 23:59)

Маскимальную энергию электрон имеет, когда импульсы нейтрино сонаправлены (а их сумма равна импульсу электрона). В этом случае вообще неважно, как распределен импульс между нейтрино.

а можно здесь по-подробней? Почему именно так?

P.S. Очень красиво про треугольник. Спасибо, я не подумал даже ...

Anatoliy

24.11.2007, 1:23

А, понял.
Если перейти опять же в СЦИ, то у нас получается, что сумма трех векторов должна давать нуль. Чтобы вектор, изображающий импульс электрона был максимальной длины, нужна сонаправленность веткоров, изображающих импульсы нейтрино (любой другой случай, как видно из простой геометрии, дает меньшее значение суммы). Причем, без разницы распределение импульса между нейтрино.
Так?

peregoudov

24.11.2007, 2:05

Все правильно.

Anatoliy

24.11.2007, 2:12

Киньте, будьте добры идейку, а я уже сам разбомблю. Решить надо срочно, а мозг отказывается думать после тяжелой недели

Протон с изв. энергией сталкивается с покоящимся протоном:
$p+p \rightarrow p+p+X$
X - неизвестная частица. Какая максимальная масса частицы X может быть обнаружена в данной реакции?

Спасибо за любую наводящую реплику.

peregoudov

24.11.2007, 14:40

Вроде все просто, если немного подумать. Максимальная масса у частицы X будет, когда все продукты реакции покоятся в системе центра масс. Это видно и из формул, если записать квадрат 4-импульса частицы X в виде
$m_X^2=(E'-e)^2-p^2$

,
где E' --- суммарная энергия исходных протонов в системе центра масс, а "e" и "p" --- суммарные энергия и импульс протонов-продуктов, причем $2m_p<e<E'$

. Остается выразить E' через E --- энергию налетающего протона в лабораторной системе.

Anatoliy

30.11.2007, 18:45

Че то у меня какие-то сомнения возникли...

Ведь если перейти в сис-му центра масс и записать:
$2m=E_1+E_2+E_x$
$E_1^2=p_1^2+m^2$
$E_2^2=p_2^2+m^2$
$E_x^2=p_x^2+M_x^2$
$\vec{p_1}+\vec{p_2}+\vec{p_x}=0$

А теперь положить $p_1=p_2=p_x=0$

то получается $M_x=E_x=0$ !!

Что тут не так??

Объясните, пожалуйста, peregoudov

peregoudov

30.11.2007, 19:09

А че сразу peregoudov? Как че, так peregoudov! Тут публичный гм... форум, а я ваще по ядреной физике не специалист.

Ошибка в первой формуле: начальная энергия протонов не равна энергии покоя --- они ведь движутся!

А вообще, лучше с 4-импульсами работать. Тогда в системе центра масс начальный 4-импульс
$(E',{\bf 0})$
суммарный 4-импульс протонов-продуктов
$(e,{\bf p})$
4-импульс X-частицы (по закону сохранения)
$(E'-e,-{\bf p})$
Квадрат его равен квадрату массы X-частицы (см. мой предыдущий пост). Ну, а максимум найти совсем просто

Anatoliy

30.11.2007, 20:24

Извините за беспокойство!
Правильно ли я понимаю?
Нужно выразить, по Вашим обозначениям, $E'$ через $E$ .
$V^{scm}=\frac{P}{E+m}$
P - полный импульс исходных протонов (протон и налетающий протон).
$E'=\frac{(E+m)-V^{scm}P}{\sqrt{1-{(V^{scm})}^2}}=\frac{E+m-\frac{P^2}{E+m}}{\sqrt{1-\frac{P^2}{(E+m)^2}}}=\sqrt{(E+m)^2-P^2}$
$P^2=E^2-m^2$ и поэтому
$E'=\sqrt{2m(E+m)}$

А что делать с $e$ -- суммарной энергией протон-продутков???
И откуда взялось $2m<e<E'$ ?

Помогите, пожалуйста

peregoudov

30.11.2007, 23:09

Выражение E' через E у Вас правильное. Только опять нерационально получено. Лучше воспользоваться инвариантностью квадрата 4-импульса исходных протонов. В лабораторной системе
$(E+m,\sqrt{E^2-m^2})$
в системе центра масс
$(E',0)$

Приравнивая квадраты
$E'^2=(E+m)^2-(E^2-m^2)=2m(E+m)$

А дальше рассуждаем, когда же масса X-частицы будет максимальна.
$m_X^2=(E'-e)^2-p^2$

Импульс "p" можно менять без изменения энергии "e", просто меняя направления импульсов протонов-продуктов. Вроде очевидно, что выгоднее всего p=0. Ну, а теперь уже ясно, что выгоднее всего иметь минимальную возможную энергию "e". Ограничения на нее простые: снизу --- суммарная энергия покоя двух протонов-продуктов, сверху --- энергия исходных протонов (не может же энергия X-частицы быть отрицательной!) Нам выгоднее всего e=2m.

Anatoliy

30.11.2007, 23:21

Спасибо. Извините, что тупил так. Все просто...

peregoudov

1.12.2007, 0:05

Anatoliy,

я Вам тоже хочу сказать, что Вы хороший клиент. Вы пытаетесь что-то делать сами, это видно, и Вы достаточно четко ставите вопросы. А то, что Вы в данный момент времени чего-то не знаете и не понимаете, так в этом ничего страшного нет. Немного желания и труда --- все получится. Я ведь тоже не в очках родился.

Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.