Есть гармонический ряд 1/n, нужно узнать будет ли сходиться этот ряд, если из него выкинуть все члены, знаменатель которых заканчивается на 9 (1/9, 1/19, 1/29, ... , 1/99...). Интересная задачка)

Какая там шутка, гармонический-то расходится.

Upd. Это ответ на прошлый пост, который удалили

угу .... не знаметил ...

Конечно, не будет сходиться. Даже ряд {1/10 + 1/20 + 1/30 + 1/40 + ...} расходится, очевидно.

Что в ней интересного? Расходится.

Солидарен. А если из ряда Owena удалить члены,не удовлетворяющие условию n_m+1 = 2n_m, то ряд сойдется. Лим = 2/n = 0,2

Очевидно, это понятно. Но по какому признаку никак не пойму...

И еще одна простенькая задачка есть ряд: m=1,n=1 и до бесконечности. Под знаком суммы выражение: 1/(n^2+m^2). Задание аналогичное: узнать сходится или расходится данный ряд?

По-моему, он сходится, если по-парно складывать все слагаемые, то при стремлении к +бесконечности, последнее будет стремиться к 0. Значит выполненно необходимое условие сходимости ряда, но оно не достаточное... Как быть?

По Коши. Спросите у Н. Оресма.

Ошибочка вышла: ряд из которого убрали те члены, знаменатель которых заканчивается на 9, СХОДИТСЯ. Вот такие дела... Это препод сказал, как доказать пока не знаю, появится док-во, напишу

Ну-ну.
Есть ряд, каждый N-й член которого по модулю меньше N-го члена твоего ряда, и при этом расходится.

А кто у тебя препод и что точно он сказал?

По физкультуре?

Лучше не надо...

Сходится. Только предел в два раза меньше чем у 1/n^2

Это Вы видимо про ряд 1/10*n... Это заблуждение... Так вот, где-то далеко, мб на миллиардном (N-ом) члене за счет того, что члены ряда гармонического (знаменатель которых будет заканчиваться на 9) будут выбрасываться, N-ый член ряда 1/10*n вдруг (а точнее вовсе не вдруг) станет больше N-ого члена "гармонического ряда без девяток"

Вы не правы, этот ряд расходиться. Доказательство геометрическое. Попробуйте на плоскости просуммировать точки со всевозможными целыми положительными координатами...

Л. Д. Кудрявцев. "Курс математического анализа" том 2, стр 22.

Ну, это веский аргумент! Owen отдыхает

Дзета-функция Римана---Эпштейна Z(1,1;1). Попадаем на (единственный) полюс, ряд расходится.

http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/de199e79b...274608b008.djvu

Ответа на вопрос: сходиться ли данный ряд там нету...

Это здорово Огромное спасибо!

Там есть ответ на вопрос: сходится ли ряд 1/n^2. А дальнейшие выводы сделайте сами.
П. С. Предел будет меньше в два раза для m=n. Ну а если по всем значениям m и n, то Вам уже ответили.

N-ый член ряда 1/10*n вдруг (а точнее вовсе не вдруг) станет больше N-ого члена "гармонического ряда без девяток"

Я чего-то не понимаю? Можно услышать оценку для этого N, ну чисто подставить и проверить? Или остановимся на том, что "препод сказал", как на весомейшем аргументе?

Я тебе выпишу 10й, 100й и 1000й члены рядов. Ну чисто чтоб сравнить перед оценкой.
твой 1/11 ; 1/111; 1/1111...
мой 1/100; 1/1000; 1/10000...

Просто мой ряд получается выкидыванием из гармонического всех дробей, у которых знаменатель кончается на 9, ну и еще на 8, и на 7, и на 6, и на 5, и на 4... И даже на 3, 2 и 1. Мой ряд (и последовательность частичных сумм) расходится. В твоем ряду фигурируют все числа моего ряда (у меня ни одного нету, чтоб на "9" заканчивалось)... Есть о чем подумать.

А чтобы оценка Owen'а стала совсем очевидной, представьте, что Вы не выкидываете члены ряда, а заменяете их нулями.

При таком подходе вы не сможете записать получившийся после вычитания (гармонический ряд без чисел, имеющих в знаменателе последним знаком девятку) ряд в общепринятом виде. А следовательно, не сможете применить критерии необходимости и достаточности.
Если сможете - запишите, pls.
P. S. Уважаемый loscov! Подскажите, где можно ознакомиться (увидеть доказательство расхождения) с дзета-функцией Римана-Эпштейна?