Полная версия этой страницы: Помогите решить задачу по теории поля
Сферическая поверхность радиуса R состоит из двух равномерно и разноименно заряженных полусфер, поверхностная плотность заряда равна ς(сигма) и -ς. Ось Z совпадает с осью симметрии и направлена от отрицательных зарядов к положительным. Найти потенциал электрического поля φ электрического поля внутри и снаружи сферической поверхности.
В каком виде нужен ответ? И где, собственно, нужно найти потенциал? Во всем пространстве или в каких-то точках?
Интересная задача...
Сначала нужно отыскать поле "\vec E = \vec E (\vec r)")
, вспомнив о теореме Гаусса-Остроградского, а потом вычислить интеграл по контуру 
?
Сначала нужно отыскать поле
Ясно, что относительно оси Оz имеет место аксиальная симметрия. Можно выписать общее решение уравнения Лапласа 
в таком случае. Учитывая, что в начале координат потенциал должен быть конечен, а на бесконечности равен нулю, для двух областей пространства выпишем решение:
=\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}A_{n}r^{n}P_{n}(\cos\theta) "\varphi_{1}(r,\theta)=\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}A_{n}r^{n}P_{n}(\cos\theta)")
при 
=\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\frac{B_n}{r^{n+1}}P_{n}(\cos\theta) "\varphi_{2}(r,\theta)=\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\frac{B_n}{r^{n+1}}P_{n}(\cos\theta)")
при 
Осталось только найти коэффициенты
. Для этого сначала воспользуемся тем, что потенциал непрерывен: =\varphi_{2}(R,\theta), "\varphi_{1}(R,\theta)=\varphi_{2}(R,\theta),")
откуда получим 
. Далее, в силу симметрии задачи потенциал в плоскости z=0 внутри сферы следует положить равным 0. Но тогда согласно свойствам полиномов Лежандра в разложении останутся только полиномы с нечетными номерами 
. Воспользуемся еще тем, что при переходе через сферу нормальная компонента поля терпит разрыв:
при  "\theta\in(0,\pi/2)")
. Получится вроде бы так:
A_{2l+1}R^{2l}+(2l+2)B_{2l+1}R^{-2l-3})P_{2l+1}(\cos\theta) "\sigma=\frac{1}{4\pi}\sum\limits_{l=0}^{l=\infty}((2l+1)A_{2l+1}R^{2l}+(2l+2)B_{2l+1}R^{-2l-3})P_{2l+1}(\cos\theta)")
.
Теперь домножим это соотношение на\sin\theta "P_{m}(\cos\theta)\sin\theta")
и проинтегрируем от 0 до 
, используя тождества
P_{m}(x)\,dx=\frac{1}{2n+1}\delta_{mn} "\int\limits_{0}^{1}P_{n}(x)P_{m}(x)\,dx=\frac{1}{2n+1}\delta_{mn}")
при одновременно нечетных m и n
\,dx=\frac{(-1)^{k}(2k)!}{2^{2k+1}k!(k+1)!} "\int\limits_{0}^{1}P_{2k+1}(x)\,dx=\frac{(-1)^{k}(2k)!}{2^{2k+1}k!(k+1)!}")
Написанного здесь достаточно, чтобы получить коэффициенты и записать ответ в виде ряда.
Осталось только найти коэффициенты
Теперь домножим это соотношение на
Написанного здесь достаточно, чтобы получить коэффициенты и записать ответ в виде ряда.
Вот ответ: Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Если Вы доведете мое решение до конца (а осталось чуть-чуть -- вычисления там легкие), то получите в точности такие ответы.
MaxVT спасибо за решение, я понял что все получиться, там просто спрашивали ответ и, поэтому, я его выложил.
Если что я могу к тебе обратиться, по-поводу еще либо каких-то непонятных вопросов по теории поля или какой либо задачи?
Если что я могу к тебе обратиться, по-поводу еще либо каких-то непонятных вопросов по теории поля или какой либо задачи?
Для просмотра полной версии этой страницы, пожалуйста, пройдите по ссылке.