Студенческий форум Физфака МГУ > Парадокс Белла и преобразования Лоренца-Фока

Помощь - Поиск - Пользователи - Календарь

Полная версия этой страницы: Парадокс Белла и преобразования Лоренца-Фока

Студенческий форум Физфака МГУ > Наука физика > Проверка теорий на прочность

Страницы: 1, 2, 3

Котофеич

9.11.2007, 14:12

Постановка задачи:
Speakable and unspeakable in quantum mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN ISBN 0-521-52338-9 Известная книга, содержащая перепечатку исходной статьи Белла 1976 года.
Постановка задачи также имеется здесь
http://forum.dubinushka.ru/index.php?showt...11304&st=80
Сообщение #99
Оценка для растяжения троса приведена там же Сообщение #100.
На самом деле с помощью преобразований Лоренца можно получить точное выражение для растяжения троса в самом общем случае произвольной зависимости ускорения от времени. В дальнейшем для простоты, мы ограничимся законом предложенным в Сообщение #100.

Через $S$ мы обозначим ИСО в которой задан закон движения ракет.
Через $S^{'}{(t_{A})}$ мы обозначим ИСО мгновенно сопутствующую левой ракете в
момент времени $t_{A}.$ Тогда мгновенная длина троса в ИСО $S^{'}{(t_{A})}$
задается следующим выражением:

$(1) L(t ^{'} )=x^{'}_{B}(t^{'})-x^{'}_{A}(t^{'}),$
где $x^{'}_{A,B}(t^{'}) -$ координаты начала и конца тросса, измеренные в ИСО
$S^{'}(t_ {A})$ одновременно в некоторый момент времени $t ^{'}$ .
Применяя преобразования Лорентца, мы имеем:

$(2) x_{A,B}=G(t_{A})(x ^{'} _{A,B}+v(t_{A})t^{'}),$
$(3) t_{A,B}=G(t_{A})(t^{'}+v(t_{A})x^{'}_{A,B}),$
$(4) G(t_{A})=1/(1-v^{2}(t_{A}))^{1/2}.$

В дальнейшем будем предполагать, что начало отсчета ИСО $S^{'} (t_{A})$ совпадает с левым
концом троса, т.е. $x^{'} _{A}=0$ и cоответственно $L(t ^{'} )=x^{'} _{B}(t^{'} ).$
Теперь в силу $(2)-(3)$ имеем очевидным образом:

$(5) t_{A}=G(t_{A})t^{'},$
$(6) t_{B}=G(t_{A})(t^{'}+v(t_{A})L(t ^{'} )),$
$(7) x_{B}(t_{B})-x_{A}(t_{A})=L(t ^{'} )G(t_{A}).$

В силу заданного ранее закона движения ракет мы имеем:

$(8) x_{A}=(1+t^{2}_{A})^{1/2},$
$(9) x_{B}=1+(1+t^{2}_{B}) ^{1/2} ,$
$(10) G(t_{A})=(1+t^{2}_{A})^{1/2},$
$(11) v(t_{A})=t_{A}/(1+t^{2}_{A})^{1/2}$

Преобразуя формулу $(6)$ с учетом формул ( $10)-(11)$ мы имеем:

$(12) t_{B}=t^{'}(1+t^{2}_{A})^{1/2} +t_{A}L(t^{'})$

Преобразуя формулу $(7)$ с учетом закона движения ракет и формулы $(10)$
мы имеем:

$(13) 1+(1+t^{2}_{B})^{1/2}-(1+t^{2}_{A})^{1/2}=L(t{'})(1+t^{2}_{A})^{1/2}$

Из равенства $(13)$ уже легко получить уравнение относительно неизвестной функции
$L(t{'})$

В силу $(5)$ и $(10)$ мы имеем:
$(14)t_{A}=t^{'}(1+t^{2}_{A}) ^{1/2}$

Откуда следует равенство:
$(15) t^{2}_{A}=t^{'}^{2}}/(1-t^{'}^{2}), 0<t<1$

Теперь остается только преобразовать уравнение $(13)$ с учетом равенств $(12)$ и
$(15).$
Далее в результате элементарных преобразований мы имеем:
$(16) t_{A}= t^{'}} /(1-t^{'}^{2})^{1/2} , 0<t<1$

$(17) 1+t^{2}_{A}=1+ t^{'}^{2}} /(1-t^{'}^{2}) = 1/(1-t^{'}^{2}) , 0<t<1$

Подставив $(16)-(17)$ в равенство $(12)$ мы имеем

$(18) t_{B}= t^{'} (1+t^{2}_{A})^{1/2} +t_{A} L(t^{'} )= t^{'}/(1-t^{'}^{2})^{1/2}+ t^{'}}L(t^{'}) /(1-t^{'}^{2})^{1/2} = t^{'}}[L(t^{'})+1] /(1-t^{'}^{2})^{1/2}$

$(19) t_{B}= t^{'}}[L(t^{'})+1] /(1-t^{'}^{2}) ^{1/2}$

$(20) t ^{2}_{B}= t^{'} ^{2}}[L(t^{'})+1] ^{2} /(1-t^{'}^{2})$
Подставив теперь равенства $(17)$ и $(20)$ в уравнение $(13)$ оканчательно получим следующее уравнение для искомой функции $L(t^{'}):$

$(21) 1+[1+[t^{'} ^{2}}( L(t^{'}) +1) ^{2} /(1-t^{'}^{2})]] ^{1/2} - 1/(1-t^{'}^{2})^{1/2}- L(t^{'})/(1-t^{'}^{2})^{1/2}= 0$

$(22) 1+[1+[t^{'} ^{2}}( L(t^{'}) +1) ^{2} /(1-t^{'}^{2})]] ^{1/2} - [L(t^{'})+1]/(1-t^{'}^{2}) ^{1/2}= 0$

Обозначим

$z=[ L(t^{'}) +1]$ ,

тогда уравнение $(22)$ примет следующий вид

$(23) 1+ [1+ (t^{'}z)^{2}/ (1-t^{'}^{2}) ] ^{1/2} - z/ (1-t^{'} ^{2} ) ^{1/2} = 0$

уравнение $(23)$ перепишем в виде

$(24) 1+ (t^{'}z) ^{2}/ (1-t^{'}^{2}) = [z/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}-1]^{2}$
или

$(25) 1+ z^{2}[t^{'}^{2}/(1-t^{'}^{2})] =z^{2}/ (1-t^{'}^{2}) -2z/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}+1$

В результате элементарных преобразований, получаем линейное уравнение:

$(25) z[t^{'}^{2}/(1-t^{'}^{2})] =z/ (1-t^{'}^{2}) - 2/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}$

$(26) z= 2/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}$

$(27) L(t^{'}) =2/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}-1$

peregoudov

10.11.2007, 13:02

Котофеич, допишИте решение до конца, тогда поговорим.

Котофеич

10.11.2007, 15:20

Дописал уравнение. Решение допишу завтра.

morozov

10.11.2007, 17:41

2 Котофеич

все правильно, ответ очевиден. Может немного многословно....
не успел выставить свое ...

Котофеич

10.11.2007, 17:57

Ну так это не мое. Просто txAlien все время мене долдонил, что это дело можно посчитать элементарно. Вот я и решил проверить...

morozov

10.11.2007, 18:28

Цитата(Котофеич @ 10.11.2007, 17:57)

Просто txAlien все время мене долдонил, что это дело можно посчитать элементарно. Вот я и решил проверить...

Я с ним согласен. Просто надо немного времени все расписать.

А Как у белла решается парадокс с ракетами? В смысле ответ какой?

Сайтех не работает. Да еще Перегудов ждет урока по акустике... давно не репетировал а тут надо все доходчиво объяснять ...

morozov

10.11.2007, 18:39

Цитата(Котофеич @ 10.11.2007, 15:20)

Дописал уравнение. Решение допишу завтра.

если получится, постараюсь сегодня выставить на третьем форуме, Потом сравним...

тема "Простое решение парадокса Белла"

Котофеич

11.11.2007, 4:55

Цитата(morozov @ 10.11.2007, 19:28)

Цитата(Котофеич @ 10.11.2007, 17:57)

Просто txAlien все время мене долдонил, что это дело можно посчитать элементарно. Вот я и решил проверить...

Согласно Беллу, струна растянется
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%...%BB%D0%BB%D0%B0
Но вообще говоря правильное решение можно получить только имея в своем распоряжении правило перехода из ИСО в соответствующую НСО. Простейшие преобразования такого типа, были предложены Ву. Ответ такой же самый т.е. растянется. Вычисления элементарны и приведены в этой статье.
http://www.aapps.org/archive/bulletin/vol1...5_p17p21%7F.pdf

Мнение специализдов состоит в том, что к великому сожалению мы не знаем истинные физические правила перехода из ИСО в НСО для произвольно больших ускорений. Помимо преобразований Ву, существуют еще и другие, при использовании которых ответ такой, что растянется но не сильно.

morozov

11.11.2007, 5:00

Цитата(Котофеич @ 11.11.2007, 4:55)

Согласно Беллу, струна растянется

перегудовщина!
Впрочем среди альтов эта идея бродит. они воспринимают Лоренцево сокращение, как Фицжеральдово ... а это давно проверено в эксперименте ..
...идея такая. если сжать все (все что попадется под руку) но такое сжатие необнаружимо, ... но они не любят писать формулы.... правда излишняя любовь к написанию формул тоже не доводит до добра.. это странно, но факт налицо...

Решение выставил, открою завтра... а то шпана начнет пакостить пока я сплю..

morozov

11.11.2007, 14:47

проснулся, открыл, прочитал, понравилось, скопировал на ФИАНовский форум...

чмто технически мне проще вытаскивать на сайтех, чем сюда.... - это извинение.

morozov

11.11.2007, 16:18

Цитата(Котофеич @ 11.11.2007, 4:55)

Согласно Беллу, струна растянется

перегудовщина!

выставил, открою завтра... а то шпана начнет пакостить пока я сплю..

Цитата(Котофеич @ 11.11.2007, 4:55)

Мнение специализдов состоит в том, что к великому сожалению мы не знаем истинные физические правила перехода из ИСО в НСО для произвольно больших ускорений.

К счастью в большинстве задач переход в другою систему это всего лишь прием решения задачи ....
переход в НСО не обязателен и мы строго можем рассматривать задаче в СТО. Правомочность рассмотрения динамических задач в рамках СТО иногда необоснованные вызывает сомнения. На самом деле сложности вызывает рассмотрение НСО.

peregoudov

13.11.2007, 22:25

Котофеич,
так я не понял, Вы решение когда-нибудь допишете, или мне можно уже не заглядывать?

morozov

16.11.2007, 18:50

Бурная дискуссия.

Ничего не пропустил.

Я конечно плохо изложил решение... переделаю...

Котофеич

17.11.2007, 1:48

Цитата(morozov @ 16.11.2007, 19:50)

Бурная дискуссия.

Ничего не пропустил.

Я конечно плохо изложил решение... переделаю...

Я свое решение вообще не излагал, потому что здесь собрались одни ортодоксы...
В СТО эта задача имеет решение вообще говоря только если $c^2/w>L$ где $L-$ расстояние между ракетами. В том случае когда ускорение ракет $w$ достаточно большое
так что $c^2/w<L$ расстояние между ними в их СО не определено в обычном смысле, ну например с линейкой ползать там нельзя...аналогично как и в НСО Логунова.
На мой взгляд это говорит о том что преобразования Лоренца надо поменять в такой ситуации на более общие.
http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9905/9905046v1.pdf

Котофеич

17.11.2007, 2:13

Цитата(peregoudov @ 13.11.2007, 23:25)

Котофеич,
так я не понял, Вы решение когда-нибудь допишете, или мне можно уже не заглядывать?

Что Вы имеете в виду под допишите...? Решить квадратное уравнение.

morozov

17.11.2007, 2:16

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:13)

Решить квадратное уравнение.

я верю в перегудова года за полтора справится...

Предупреждение:
Неконструктив, личные выпады. Предупреждение. Неделя блокировки аккаунта.

Котофеич

17.11.2007, 2:24

Цитата(morozov @ 17.11.2007, 3:16)

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:13)

Решить квадратное уравнение.

я верю в перегудова года за полтора справится...

Он же не один работает. У него есть Munin.

Предупреждение:
Флуд, неконструктив, личные выпады. Предупреждение.

morozov

17.11.2007, 2:48

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:24)

Он же не один работает. У него есть Munin.

ну с муниным не пропадешь

Предупреждение:
Флуд, оффтопик. Предупреждение.

Котофеич

17.11.2007, 15:54

Цитата(morozov @ 17.11.2007, 3:48)

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:24)

Он же не один работает. У него есть Munin.

ну с муниным не пропадешь

не знаю, не уверен.

Предупреждение:
Флуд, оффтопик. Предупреждение.

Котофеич

23.11.2007, 22:43

Преобразования Лоренца- Фока
С. Н. Манида

http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/manida/

Специальная теория относительности построена на линейных преобразованиях Лоренца. Однако, еще в работе В. А. Фока [1]показано, что переход между различными инерциальными системами отсчета может осуществляться дробно-линейными преобразованиями. Явный вид этих преобразований содержит две фундаментальные постоянные разной пространственно-временной размерности. Их можно привести к постоянной $c$ с размерностью скорости и к постоянной $H$ с размерностью обратного времени. Первая из этих постоянных имеет смысл 'скорости света', а вторая - смысл 'постоянной Хаббла'. Картина расширяющейся однородной Вселенной оказывается при таких преобразованиях (в отличие от обычных преобразований Лоренца) ковариантной, а скорость света - зависящей от времени.

Такова обычная стандартная интерпретация преобразований Лоренца-Фока.

Преобразований Лоренца-Фока, первоначально были получены Фоком исходя из требования форминвариантности уравнения $(S)$ фронта световой волны относительно гладкой замены координат:

$x^{'} _{a} =f_{a}(x_{0}, x_{1},x_{2},x_{3}),a=0,1,2,3$

$(S) ({\partial} \omega /{\partial} x_{0} )^{2} -[ ({\partial} \omega /{\partial}x_{1})^{2}+({\partial} \omega /{\partial}x_{2})^{2}+({\partial} \omega /{\partial}x_{0})^{2}+({\partial} \omega /{\partial}x_{3})^{2} ]=0,x_{0}=ct$

Преобразования Лоренца-Фока образуют группу, содержащую в качестве подгруппы группу $F$ изоморфную группе т.н. сингулярных преобразований Мебиуса и подгруппу изоморфную группе Лоренца $L.$ Группу преобразования Лоренца-Фока мы обозначим символом $LF.$
Классический вывод этих преобразований имеется в приложении А книги Фока
Фок А.В. Теория пространства времени и тяготения
http://jaykovfoukzon.narod.ru/FOK.djvu
Нажмите для просмотра прикрепленного файла
Условие форминвариантности уравнения $S$ эквивалентно выделению некоторого класса $F_{c}$ систем отсчета для которых выполнено следующее условие:
$(S^{'})$ любое прямолинейное равномерное движение $x= x_{0} +c(t - t_{0} )$ со скоростью света $c$ всегда переходит только в прямолинейное равномерное движение $x ^{'} =x^{'}_{0}+c(t^{'}- t^{'}_{0})$ со скоростью света при переходе из одной СО $Q$ принадлежащей классу $F_{c}$ в любую другую СО $Q^{'},$ принадлежащую этому же классу классу $F_{c}.$
В силу своей существенной нелинейности, преобразования Лоренца-Фока не сохраняют вид функции $x= x_{0} +c(t - t_{0} )$ и таким образом СО из класса $F_{c}$ согласно традиционной точке зрения, не являются инерциальными. Такие СО мы будем называть $c-$ инерциальными СО или фоковскими ИСО.

Класс обычных ИСО $L_{c}$ связанных преобразованиями из группы Лоренца, как известно определяется однозначно следующим условием Фока:
$(S^{*})$ любое прямолинейное равномерное движение $x= x_{0} +u(t - t_{0} )$ со скоростью $u,u \leqslant c$ всегда переходит только в прямолинейное равномерное движение $x ^{'} =x^{'}_{0}+v(t^{'}- t^{'}_{0})$ со скоростью $v,v\leqslant c$ при переходе из одной ИСО $Q$ принадлежащей классу $L_{c}$ в любую другую СО $Q^{'},$ принадлежащую этому же классу $L_{c}$ .

Таким образом свойство $(S^{*})$ является фундаментальным характеристическим свойством группы Лоренца. Это обстоятельство наводит на мысль, что преобразования Лореца, вообще говоря, могут связывать между собой только такие два множества событий $W$ и $W^{'}$ которые связаны с равномерным движением. В других случаях это возможно только очень хорошее приближение. Таким образом релятивистская механика построенная исходя из требования лоренцинвариантности может носить только приближенный характер, если вопрос касается ускоренного движения тел и даже точечных частиц.

Преобразования Фока образуют группу, которая есть некоторое специальное нелинейное представление линейной группы Лоренца, которое в символической записи имеет следующий вид:

$1. F=U^{-1}(ct)L(u) U(ct)$
где $L(u)-$ произвольный элемент группы Лоренца,

$2.U(ct) x_{a} =U(x_{0})x_{a}= U[{x_{0}( x_{a})] x_{a} =x_{a} /(1- x_{0} R^{-1} ) ,x_{0}=ct,a=0,1,2,3$

Положив $U(x_{0}) x_{a}= y_{a}$ перепишем $(2)$ в виде

$2(a).y_{a}=x_{a} /(1- x_{0} R^{-1} )$

Откуда имеем следующие равенства:

$2(0).y_{0}= x_{0} /(1- x_{0} R^{-1} )$

$2(i).y_{i}=x_{i} /(1- x_{0} R^{-1} ), i=1,2,3$

В силу равенства $2(0)$ мы имеем:

$2^{'}(0) x_{0}= y_{0}/(1+y_{0} R^{-1})$

В силу равенства $2(i)$ мы имеем:

$x_{i}=y_{i} (1- x_{0} R^{-1} ), i=1,2,3.$

Подставив в последнее равенство выражение $2^{'}(0)$ получим

$2 ^{'} (i).x_{i}=y_{i} /(1+y_{0} R^{-1} ), i=1,2,3.$

Таким образом для обратного оператора $U^{-1}(x_{0})x_{a}$ мы имеем выражение:

$2^{'}.U^{-1}(ct)x_{a}= U^{-1}(x_{0})x_{a} =x_{a} /(1+x_{0} R^{-1} ) ,x_{0}=ct,a=0,1,2,3$

Детали имеются например в этой статье:
http://lanl.arxiv.org/abs/hep-th/0112090v2

Lorentz invariance with an invariant energy scale
http://lanl.arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0112/0112090v2.pdf
http://lanl.arxiv.org/format/hep-th/0112090
Authors: Joao Magueijo, Lee Smolin
(Submitted on 11 Dec 2001 (v1), last revised 18 Dec 2001 (this version, v2))
Abstract: We propose a modification of special relativity in which a physical energy, which may be the Planck energy, joins the speed of light as an invariant, in spite of a complete relativity of inertial frames and agreement with Einstein's theory at low energies. This is accomplished by a non-linear modification of the action of the Lorentz group on momentum space, generated by adding a dilatation to each boost in such a way that the Planck energy remains invariant. The associated algebra has unmodified structure constants, and we highlight the similarities between the group action found and a transformation previously proposed by Fock. We also discuss the resulting modifications of field theory and suggest a modification of the equivalence principle which determines how the new theory is embedded in general relativity.

В силу $(1),(2), (2^{'})$ мы имеем:

$3. t^{'}= G(u) (t-ux/c^{2})/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$

$4.x^{'}=G(u)(x-ut)/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$

$5.y^{'}=y/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$

$6.z^{'}=z/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$

где

$G(u)=1/( 1 -u^{2}/c^{2} )^{1/2}.$

Покажем, что это действительно так. Вычислим значение вектора

$z_{a} = L(u) U[x_{0}(x_{a})] x_{a} =L(u) y_{a}$

где вектор $y_{a},а=0,1,2,3$ задан формулой $2(a).$

Таким образом

$z_{0} = G(u)[ x_{0} -ux_{1}/c] / (1- x_{0} R^{-1} ) ,$

$z_{1} = G(u)[ x_{1} -ux_{0}/c] /(1- x_{0} R^{-1} ),$

$z_{2} = x_{2} /(1- x_{0} R^{-1} ),$

$z_{3} = x_{3} /(1- x_{0} R^{-1} ).$

Вычислим теперь значение вектора:

$x^{'}_{a} = U[z_{0}(z_{a})] z_{a}=z_{a}/ ( 1+z_{0} R^{-1} ) ,a=0,1,2,3$

Учитывая элементарное тождество:

$1+z_{0} R^{-1} =1+ G(u) [ x_{0} -ux_{1}/c] R^{-1} /(1- x_{0} R^{-1})=$

$= [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c] /(1- x_{0} R^{-1} )$

окончательно получаем следующие равенства:

$x^{'}_{0} = G(u)[ x_{0} -ux_{1}/c]/ [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$

$x^{'}_{1} = G(u)[ x_{1} -ut/c]/ [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$

$x^{'}_{2} = x_{2} / [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$

$x^{'}_{3} = x_{3} / [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$

Полученные равенства, с точностью до обозначений совпадают с равенствами $(3)-(6)$

Преобразования Лоренца-Фока (3)-(6) имеют следующий инвариант:

$7.s^{2}_{F}=[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}]/(1-c R^{-1} t)^{2}=inv$

В силу $(7)$ в результате стандартных преобразований мы имеем следующее выражение для квадрата дифференциала длины дуги $ds^{2}_{F}$

$7a. ds^{2}_{F}=[ (1-r^{2}/R^{2}) c^{2}dt ^{2}- (1-ct/R) ^{2} dr^{2}+2cdt(1-ct/R)rdr/R]/(1-ct/R)^{4}.$

В силу $(7a)$ в результате стандартных преобразований мы имеем следующее выражение для $ds^{2}_{F}$

$7^{'} ds ^{2} _ {F} = c^{2}dt ^{2} [1-(u/c-ut/R+r/R)^{2}]/ (1-ct/R)^{4}, u=dr/dt$

и для $ds^{2}_{F} \geqslant 0:$

$7^{''} ds _ {F} = cdt [1-(u/c-ut/R+r/R)^{2}]^{1/2}/(1-ct/R)^{2}, u=dr/dt$

Параметр $R$ обычно интерпретируют как некоторый очень большой инвариантный пространственный масштаб. Очевидно что при такой интерпретации, релятивистская механика, построенная на основе преобразований Фока
будет отличаться от обычной релятивистской механики, только если величинa $xu/cR$ будет порядка 1 или более того. Такая интерпретация этих преобразований, обычно используется при построении космологических моделей с переменной скоростью света.
Мы будем пользоваться другой интерпретацией, рассматривая параметр $R^{-1}$ как характерный масштаб ускорений, см. МТУ Т1. стр.209. При такой интерпретации например пространственному масштабу в 1 световой год будет соответствовать ускорение порядка $10 m^{2}/sec^{2}$
В дальнейшем мы будем предполагать что размеры ускоренно движущихся тел, намного меньше масштаба $R$ , т.е.
$8.x/R<<1$ .
В ультрарелятивистском случае, т.е. когда $G(u)>>1$ формулы $(3)-(4)$ принимают следующий вид:
$9. t^{'}=(t-ux/c^{2})/[ctR^{-1}-R^{-1}ux/c],$

$10.x^{'}=(x-ut)/[ctR^{-1}-R^{-1}ux/c].$

Учитывая условие (8) имеем

$11. t^{'}=(t-ux/c^{2})/[ctR^{-1}],$

$12.x^{'}=(x-ut)/ [ctR^{-1}] .$

Из $(11)-(12)$ обычным образом получаем формулу для преобразования длины $L_{0}$ стержня, покоящегося в штрихованой ИСО $S{'}$ при переходе из ИСО $S{'}$ в ИСО $S:$
$13. L=L_{0}[ctR^{-1}].$

Запишем величину $R^{-1}$ в эквивалентном виде $R^{-1}=w/c^{2},$ где параметр $w$ имеет размерность ускорения $m^{2}/sec^{2}.$
Тогда равенства $(3)-(7)$ примут следующий вид:

$14. t^{'}=G(u)(t-ux/c^{2})/[1+(G(u)-1) (wt/c) -G(u)uxw/c^{3}]$

$15.x^{'}=G(u)(x-ut)/[1+(G(u)-1)(wt/c)-G(u)uxw/c^{3}]$

$16.y^{'}=y/[1+(G(u)-1)(wt/c)-G(u)uxw/c^{3}]$

$17.z^{'}=z/[1+(G(u)-1)(wt/c)-G(u)uxw/c^{3}]$

$18.s^{2}_{F}(w)=[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}]/(1-w t/c)^{2}=inv$

Таким образом параметр $R^{-1}=w/c^{2}$ может быть интерпретирован как некоторый характерный инвариантный масштаб ускорения.
В нерелятивистском случае, т.е. когда $|u|<<c$ мы имеем $G(u)=1+u^{2}/2c^{2}$

и равенства $(14)-(17)$ примут следующий вид:

$19. t^{'}=(t-ux/c^{2})/[1+u^{2}wt/2c^{3} -uxw/c^{3}]$

$20.x^{'}=(x-ut)/[1+u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}]$

$21.y^{'}=y/[1+u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}]$

$22.z^{'}=z/[1+u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}]$

Таким образом преобразования Лоренца-Фока, вносят существенную коррекцию в классическую механику при больших ускорениях, т.е. в тех случаях когда величина

$23. u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}$

стремится к $1.$

Для $s^{2}_{F}(w)$ мы имеем в силу $(7a)$ следующее выражение:

$24. ds^{2}_{F} (w) =[ (1-w^{2}r^{2}/c ^{4}) c^{2}dt ^{2}- (1-wt/c) ^{2} dr^{2}+2cdt(1-wt/c)rdr/R]/(1-wt/c)^{4}.$

В силу $(7^{'})$ для $ds^{2}_{F}(w)$ мы имеем также выражение

$25. ds ^{2} _ {F}(w) = c^{2}dt ^{2} [1-(u/c-uwt/c^{2} +wr/c^{2}) ^{2} ]/ (1-wt/c)^{4}, u=dr/dt$

и для $ds^{2}_{F}(w) \geqslant 0:$

$26. ds _ {F}(w) = cdt [1-(u/c-uwt/c+wr/c^{2})^{2}]^{1/2}/(1-wt/c)^{2}, u=dr/dt$

Необходимо отметить также, что введенные выше дробно линейные преобразования Фока, сохраняют уравнение фронта световой волны. Доказательство см.
http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=371221
Другими словами, условие $(*)x-ct=0$ влечет условие $(**)x^{'}-ct^{'}=0$

$(*)\Rightarrow (**)$

II. Нелинейные представление обобщенной группы Лоренца. Обобщенные преобразования Фока.

Напомним, что под обобщенной ИСО понимают такую ИСО квадрат интервала которой имеет следующий вид:

$ds^{2}=c^{2}g_{00} dt^{2}+2cg_{01}dxdt +g_{11}dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$

Или в эквивалентной записи через координатную скорость света [Логунов cтр.105 (12.11)]:
http://jaykovfoukzon.narod.ru/LOGUNOV.djvu

$ds^{2}=c^{2} g_{00} [dt^{2}-( c_{1}^{-1} + c_{2}^{-1}) dxdt +dx^{2}c_{1}^{-1}c_{2}^{-1}]-dy^{2}-dz^{2}$

где $c_1,c_2-$ координатные скорости света вдоль оси $x.$

Мы будем рассматривать только случай, когда обобщенная ИСО получена из галилеевой ИСО путем преобразования координат

$x^{'}=x+ut, t=t^{'},$ тогда

$g_{00}=1-u^{2}/c^{2}, g_{01}=u/c,g_{11}=-1,$

$c_1 =c \frac {-g_{01} -\sqrt{g_{01}^{2}-g_{00}g_{11}}} {g_{11}}=u+c$

$c_2 =c\frac {-g_{01} +\sqrt{g_{01}^{2}-g_{00}g_{11}}} {g_{11}}=u-c$

Рассмотрим теперь нелинейное представление обобщенной группы Лоренца, преобразования которой

$L(u,c_{1},c_{2})$ имеют следующий вид:

$(2.1)x^{'}=\frac {x+ut} {\sqrt{(1+ u/ c_{1} )(1 +u/ c_{2} )}}$

$(2.2)t^{'}=\frac{t(1+u/c_{1}+u/c_{2})-xu/c_{1}c_{2}}{\sqrt{(1+ u/c_{1} )(1 +u/c_{2} )}}$

$(2.3) y^{'}=y, z^{'}=z.$

Какоткин Р. В.

24.11.2007, 0:17

Цитата(Котофеич @ 23.11.2007, 22:43)

Специальная теория относительности построена на линейных преобразованиях Лоренца. Однако, еще в работе В. А. Фока [1]показано, что переход между различными инерциальными системами отсчета может осуществляться дробно-линейными преобразованиями.

Какая между ними разница?
Цитирую из...:
http://www.phys.spbu.ru/library/studentlec...manida/chapter2
"Легко убедиться, что формулы (F9) эквивалентны следующим преобразованиям...
т. е. обычным преобразованиям Лоренца для величин... "

Котофеич

24.11.2007, 3:51

Цитата(Какоткин Р. В. @ 24.11.2007, 1:17)

Цитата(Котофеич @ 23.11.2007, 22:43)

Основная разница в том, что преобразования Лоренца линейны, а преобразования Фока существенно нелинейны. Простой вывод этих преобразований есть в кижке Фока:
В. А. Фок, Теория пространства, времени и тяготения. Из д. 2-е, дополненное. - М, Физматгиз. 1961. 564 с. - (The theory of space, time and gravitation. 2nd revised edition.) Pergamon Press, Oxford, London, New York, Paris, 1964, XII, 448 p.

Какоткин Р. В.

24.11.2007, 14:32

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 3:51)

Основная разница в том, что преобразования Лоренца линейны, а преобразования Фока существенно нелинейны.

Спасибо за ответ, уважаемый Котофеич!
Приводят ли преобразования Фока к разнице в вычислениях по сравнению с преобразованиями Лоренца (касаемо парадокса Белла)?

peregoudov

24.11.2007, 15:06

Я так понимаю, что, не дорешав задачу, заявленную в первом посте, Котофеич теперь будет копипастить сюда куски из книжки Фока и статей с arxiv'а?

В общем так. За темой я следить не буду, если будет что-то конкретное по первоначальной задаче, вызывайте личным сообщением.

Котофеич

24.11.2007, 18:08

Цитата(Какоткин Р. В. @ 24.11.2007, 15:32)

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 3:51)

Основная разница в том, что преобразования Лоренца линейны, а преобразования Фока существенно нелинейны.

Да приводят, но только при достаточно больших ускорениях ракет.

Котофеич

24.11.2007, 18:11

Цитата(peregoudov @ 24.11.2007, 16:06)

Задача находится на стадии проверки и вписывания формул.

Какоткин Р. В.

24.11.2007, 18:21

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 18:08)

Да приводят, но только при достаточно больших ускорениях ракет.

Зачем в таком случае использовать преобразования Фока, если по условию задачи, ведущей к парадоксу Белла ускорение ракет берется малым.
Чтобы получить еще одну разновидность парадокса?

Котофеич

24.11.2007, 19:11

Цитата(Какоткин Р. В. @ 24.11.2007, 19:21)

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 18:08)

Да приводят, но только при достаточно больших ускорениях ракет.

Существенные отличия от обычном релятивистской механики будут и при малых ускорениях когда время очень большое, т.е. $ct/R>>1$ . Потом накладывать ограничение на ускорение нет никакой необходимости.

Какоткин Р. В.

24.11.2007, 19:30

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 19:11)

Существенные отличия от обычном релятивистской механики будут и при малых ускорениях когда время очень большое

Значительное увеличение времени влечет значительное увеличение дисперсии (ошибки), имхо.

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 19:11)

Потом накладывать ограничение на ускорение нет никакой необходимости.

Малое ускорение накладывается не по признаку необходимости, а по признаку достаточности.

Зачем усложнять?

Котофеич

24.11.2007, 19:57

Цитата(Какоткин Р. В. @ 24.11.2007, 20:30)

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 19:11)

Значительное увеличение времени влечет значительное увеличение дисперсии (ошибки), имхо.

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 19:11)

Потом накладывать ограничение на ускорение нет никакой необходимости.

Малое ускорение накладывается не по признаку необходимости, а по признаку достаточности.

Зачем усложнять?

Если ускорение малое, то время должно быть большим иначе трос заметно не растянется. Ошибки измерений там роли не играют, считайте, что задача идеальная.

Какоткин Р. В.

24.11.2007, 20:31

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 19:57)

считайте, что задача идеальная.

Идеальны ли преобразования?

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 18:11)

Задача находится на стадии проверки и вписывания формул

Подождем формул.

Спасибо за ответы! Последний вопрос:
Если Лоренц так отличается от Фока, то почему в сабже ... преобразования Лоренца-Фока?

Котофеич

24.11.2007, 22:05

Идеальны ли преобразования?

Какие Лоренца или Фока? Для точечных частиц релятивистская механика подтверждена экспериментально вплоть до огромных ускорений, а для тел нет пока возможности надежно проверить.
Спасибо за ответы! Последний вопрос:

Если Лоренц так отличается от Фока, то почему в сабже ... преобразования Лоренца-Фока?

Потому что принцип соответствия выполняется. При стремлении параметра $R$ к бесконечности, Вы получите Лоренца. Вообще это некоторые физики так назвали... и оно это название закрепилось.

peregoudov

24.11.2007, 22:10

То есть в качестве решения нам предлагается вот это?

Цитата(Котофеич)

окончательно имеем

$L (t^{'}) =z(t^{'})(1-t^{'}^{2}) -1$ , где

$(30) z(t^{'})= t^{'} ^{-2} (1-t^{'}) +[t^{'}^{-3}(4t^{'}^{-1}-1)]^{1/2}$

$t^{'}<1/4$ .

Какая-то фигня. Во-первых, почему только для t<1/4? Во-вторых, при t=0 тоже проблемы.

Попробуйте еще раз.

Котофеич

24.11.2007, 23:55

Цитата(peregoudov @ 24.11.2007, 23:10)

То есть в качестве решения нам предлагается вот это?

Цитата(Котофеич)

окончательно имеем

$L (t^{'}) =z(t^{'})(1-t^{'}^{2}) -1$ , где

$(30) z(t^{'})= t^{'} ^{-2} (1-t^{'}) +[t^{'}^{-3}(4t^{'}^{-1}-1)]^{1/2}$

$t^{'}<1/4$ .

Какая-то фигня. Во-первых, почему только для t<1/4? Во-вторых, при t=0 тоже проблемы.

Попробуйте еще раз.

Да, ответ конечно неверный

В уравнении (23) была описька и поэтому решение уехало.

Уравнение (23) я исправил. Завтра исправлю решение. Но в окрестности t=0 решение в простом (явном) виде получить нельзя, потому я загрубил уравнение (23), взяв вместо него значительно более простое приближенное уравнение (24), которое следует из (23) в силу условия (23b).

Какоткин Р. В.

25.11.2007, 7:46

Цитата(Какоткин Р. В. @ 24.11.2007, 14:32)

Приводят ли преобразования Фока к разнице в вычислениях по сравнению с преобразованиями Лоренца (касаемо парадокса Белла)?

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 18:08)

Да приводят, но только при достаточно больших ускорениях ракет.

Цитата(Какоткин Р. В. @ 24.11.2007, 18:21)

Зачем в таком случае использовать преобразования Фока, если по условию задачи, ведущей к парадоксу Белла ускорение ракет берется малым.

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 19:11)

Существенные отличия от обычном релятивистской механики будут и при малых ускорениях когда время очень большое,

Цитата(Котофеич @ 24.11.2007, 22:05)

принцип соответствия выполняется. При стремлении параметра к бесконечности, Вы получите Лоренца.

При малых ускорениях - различия, при больших - Лоренц.
Зачем Фок?

Котофеич

25.11.2007, 8:25

Масштаб ускорения в релятивистском случпе это $1/R$ , а Фок переходит в Лоренца только когда параметр $R>>1$ , т.е. при малых ускорениях.

Какоткин Р. В.

25.11.2007, 9:04

Для чего Вы, уважаемый Котофеич, собираетесь применять преобразования Фока?
Чтобы показать отсутствие парадокса Белла?
Так это возможно без привлечения громоздких мат-аппаратов, ибо парадокс возникает искуственно из постановки не пременимых условий задачи.
Чтобы создать еще один парадокс?
Так их (парадоксов) можно создать несчетное колличество манипулируя не пременимыми условиями.

Или цель иная? Какая?

Котофеич

25.11.2007, 9:16

Парадокс возникает только если Вы рассмотрите задачу Белла в НСО. Пока Вы рассматриваете эту задачу в ИСО то название "парадокс" чисто условное, потому что в СТО нет реальных парадоксов.

Какоткин Р. В.

25.11.2007, 9:29

Тем более не понятны Ваши цели.
В чем проблемы? Что решаете?

P. S. Котофеич! Почему исчез Ваш последний пост?

Котофеич

25.11.2007, 9:52

Цитата(Какоткин Р. В. @ 25.11.2007, 10:29)

Тем более не понятны Ваши цели.
В чем проблемы? Что решаете?

P. S. Котофеич! Почему исчез Ваш последний пост?

При равноускоренном движении с ускорением $w$ мгловенное лоренцево сокращение у Вас будет $L_{0}/ (1+(wt/c)^{2})^{1/2)$ . Поскольку в исходной ИСО расстояние между ракетами не изменяется, то это означает, что в НСО трос должен растянуться в точности в $(1+(wt/c)^{2})^{1/2)$ раз, т.е.
в НСО длина стержня должна быть ровно $L_{0}(1+(wt/c)^{2})^{1/2)$ . Но этого не происходит, т.е. при рассмотрении НСО будет противоречие с ИСО

По поводу последнего поста не понял.

Какоткин Р. В.

25.11.2007, 10:19