Постоянный ток I течет через цилиндр (высота h, радиус a, проводимость сигма). Контакты, симметрично расположенные на торцах, представляют собой бесконечно тонкие идеально проводящие диски (радиус b, b<a). Распределение тока по ним предполагается равномерным. Найти распределение потенциала U и плотности тока внутри цилиндра.

Проблема собственно в чем:
Записал я ур-ия Максвелла, получил ур-ие Лапласа delta(U)=0
Проблема собственно в постановке доп. условий.
То что тангенциальная составляющая плотности тока на боковых гранях нулевая я записал
Прошу помощи/идей с остальными условиями, буду очень благодарен!

А Вы не переусложняете задачу? Может, цилиндр все же бесконечный? Тогда задача решается из таких соображений. Электроны, движущиеся вдоль цилиндра, притягиваются как сонаправленные токи. Поэтому в целом нейтральный цилиндр поляризуется: внутри получается отрицательная плотность заряда, вблизи поверхности --- положительная. Создается радиальное электрическое поле, которое и не дает всем электронам собраться на оси провода. Из баланса силы Лоренца и электрической силы находится распределение плотности заряда по радиусу.

2 peregoudov
Задача стоит именно такая, поэтом и обращаюсь за помощью.

P.S. Нашел откуда взята эта задача: Арсенин В.Я. "ММФ и спец ф-ии" в разделе "Спец ф-ии"

Такс, вот что я получил

Не ошибся ли где?
И как получить доп. условие для верхней грани цилиндра?

Товарищи физики...ну неужели все так просто, что даже никто не отвечает

Да, на самом деле все просто. Проще всего плясать от тока, от сохранения заряда. Получаем однородную плотность тока. Поле равно току, деленному на проводимость. Потенциал находится интегрированием поля.

Объемные плотности зарядов, я думаю, можно не принимать во внимание, хотя то, что пишет Перегудов, естественно, правильно. Но достаточно вспомнить реальность, что при средних скоростях порядка мм/сек проводники (медь, например) уже плавятся, а магнитное взаимодействие токов - релятивистский эффект, причем второго порядка... так что изменение плотности будет до смешного малым на фоне полного движущегося заряда. Так что распределение тока по сечению можно смело считать однородным.

Интереснее было бы найти плотности поверхностных зарядов. Потому как однородное электрическое поле внутри проводника создается зарядами на его поверхности, причем заряды должны сидеть и на боковых поверхностях цилиндра.

Плотность тока не может быть равномерной, хотя бы из-за того, что он весь втекает через идеальный диск а дальше растекается по всему цилиндру и к верхушке цилиндра опять "замыкаясь" на диск.

На всякий случай приведу ответ задачи

Showman
С помощью такого Вашего объяснения у меня такого ответа ну никак не выходит

Получается классическая внутренняя задача Неймана - уравнение Лапласа с заданной нормальной составляющей градиента потенциала на границе конечной области пространства.


Если по отношению к границе (а как еще можно понимать), то не тангенциальная, а нормальная.


На тех частях торцов, где находятся контакты, нормальная составляющая плотности тока равна ненулевой константе (полному току, деленному на площадь), на частях вне контактов - равна нулю.


В граничном условии на боковой поверхности не ошиблись (хотя словами написали неправильно (см. выше)), а второе граничное условие записано неправильно: слева - вектор, а справа - скаляр.


См. выше.

Судя по ответу, задача решается в цилиндрических координатах методом разделения переменных.

2 Александр Т.



Разумеется, описка.
С градиентом тоже согласен - имел ввиду значение по модулю.

Благодарю за помощь.

Всем спасибо, задачку решил.