такой вот интеграл, извиняюсь, формулами я не умею.
Интеграл(cos(B*x)*exp(-A*t)*dt), где A и B постоянные...
может он неберущийся???

2 Senya:
То, что вы написали - фактически интеграл экспоненты (если я правильно прочел), какие проблемы? Или все же имелось в виду "Интеграл(cos(B*t)*exp(-A*t)*dt)"? Тогда на вид кажется, что надо два раза по частям интегрировать, при этом исходное выражение обозначить за I - тогда получится линейное уравнение относительно I. Вроде так, я ничего не напутал?

я немного поторопился с помощью спасибо... я в литературе покапался, и нашел. Два раза по частя, точно!!! Блин, вот учишся, учишся... все из головы вылетает, ну точно, щас как прочитал строчики сразу выстроилось все в голове... блина

Подскажите, пожалуйста, как посчитать такой интеграл:



У меня есть смутные подозрения, что результат не будет элементарной функцией, но я понятия не имею в какую сторону копать. Буду рад любой помощи.

Я тут поразмышлял немного, получилось, что предыдущий мой интеграл можно свести к такому:



Здесь тэ нулевое, бета и гамма -- действительные числа. Интеграл выглядит по-проще, возможно, это облегчит поиск решения.

Выкладки делать мне, естественно, лень... Второй интеграл, кстати, вообще расходится, по-моему.

Насчет синка... Знаменатель там мешает, да, и на побочный продукт неудачных попыток взять что-то вида "степень на экспоненту" по частям (если кто понимает, о чем я, конечно...) оно тоже вроде бы не похоже. Так что "в лоб" видится только один путь: домножить исходный интеграл (обозначим его за J) на \alpha и продифференцировать по \alpha, получится дифференциальное уравнение (относительно J \cdot \alpha, разумеется). Правая часть берется, надо, естественно, разложить косинус по экспонентам, выделить полные квадраты и взять два гауссовых интеграла. Ну а дальше смотреть, получится ли в итоге что-то аналитическое...

Ну, да. Подинтегральная функция имеет особенность 1/t в точке t_0, поэтому, если второй интеграл и считается, то только в смысле главного значения.

На счет того, как получить диф. уравнение для исходного интеграла интеграла, не понял. Если J умножить на альфа, а затем по альфа продифференцировать, то получим снова J.

2 B@R5uk
White вам дело говорит. Посмотрите внимательно, распишите явно sinc. Так как в аргументе есть , то оно появится в знаменателе, а после умножения исчезнет из знаменателя и останется только под синусом. После этого дифференцирование по альфа сводится к дифференцированию синуса... В общем знаменатель исчезнет и останется интеграл, сводимый к нахождению фурье-образа "гауссоиды", а это задача решаемая. Но ответ, похоже, и в самом деле не будет выражаться через элементарные функции

Да, я наконец-таки разобрался. Исходный интеграл



путем преобразования, которое предложил White (за ему больше СПАСИБО), существенно упрощается, лишаясь своего знаменателя:



Интеграл в правой части уже считается:



Считал я его не сам, а с помощью программы символьной алгебры Maxima, поэтому меня сильно удивило, что результат выражается в элементарных функциях (не ошибка ли это?). Далее, первообразные для экспонент тоже находятся с помощью той же программы:




Здесь erf(x) -- функция ошибок. Затем эти результаты надо сложить, подставить пределы интегрирования от нуля до альфа и все поделить на альфа чтобы получить искомый интеграл. Задача решена.

Однако меня смущает один момент: программа символьной алгебры выдала результат с комплексным аргументом для функции ошибок, хотя она определяется как функция действительного аргумента. Это нормально? Более того, в программе Matlab, в которой я собираюсь проводить рассчеты, функция ошибок определена только для действительного аргумента. Есть ли какая-либо возможность (по типу формулы Эйлера для комплексной экспоненты) преобразовать эту функцию от комплексного аргумента к другому, к какому-нибудь более популярному виду?

В общем, нашел в википедии выражение для функции ошибок через неполную гамма-функцию, которая в программе Matlab реализована для комплексных чисел. Теперь все вопросы закрыты. Всем спасибо за помощь.

2 B@R5uk

Всегда пожалуйста.

А я ведь выше Вам ясно писал, что он легко берется и аналитически: синус представить в виде полусуммы двух комплексных экпонент по формуле с первого курса или даже из школы, а в получившихся гауссоподобных интегралах надо выделить полный квадрат и сделать замену переменной, останется чистый интеграл Пуассона (собственно, оттуда и \sqrt \pi) и "хвостик" в экспоненте, который пойдет в ответ. Комплексность, по-моему, здесь не мешает, в отличие от некоторых задач, где, впрочем, явный ляп игнорируется даже в известных физических учебниках.

Что касается результата через функцию ошибок, то это очень хорошо.