Просьба откликнуться специалистам. Требуется рассчитать конкуренцию и устойчивость мод в кольцевом генераторе с запаздывающей обратной связью. В цепь обратной связи включена некая сложная дисперсионная цепочка, описываемая ОДУ 3-5 порядка. Если решать задачу в лоб, т.е.усреднять уравнения по методу медленно меняющихся амплитуд (как при решении уравнения Ван дер Поля) получаются страшно громоздкие выкладки.

Т.е. проблема как получить укороченные уравнения для амплитуды при большом порядке системы.

Может быть существует какой нибудь другой более простой метод, не требующий усреднения, а например, только знания комплексного коэффициента передачи?
Буду благодарен за ссылки на книжки (с примерами) по этой теме.

Скажу сразу, что именно такую задачу не решал, но мнение имею.

Как мне кажется, метод ММА не совсем подходит для определения "конкуренции мод", ну получети Вы основную частоту и огибающую, не факт, что колебательный процесс представим в таком виде. Может в реальности будет генериться меандр.

Что касается решения задачи "в лоб" (нахождение временной реализации u(t)), я бы предпочел преобразование Лапласса (если конечно д.у. линейное), там по крайней мере, запаздывание легко описывается.

Поскольку интересует именно "конкуренция мод", не обязательно искать u(t), возможно, достаточно исследовать уравнение на устойчивость? Например, сделать подстановку exp(st) и посмотреть при каких значениях s это комплексная величина.

Ben Gan Спасибо за ответ.

Вопрос состоит в том, чтобы узнать возможны ли в системе устойчивые стационарные автоколебания и какова их амплитуда и частота.
В линейном приближении малого сигнала в системе могут возбуждаться колебания сразу нескольких частот, но какая из них в итоге "выживет", будут ли ее колебания устойчивыми или например возникнет автомодуляция (периодические колебания огибающей), т.е. как себя поведут колебания в режиме большого сигнала (нелинейном)?


"Как мне кажется, метод ММА не совсем подходит для определения "конкуренции мод", ну получети Вы основную частоту и огибающую, не факт, что колебательный процесс представим в таком виде. Может в реальности будет генериться меандр."

Релаксационные колебания (меандр) возникают при большой положительной обратной связи, т.е. при значительном превышении порога самовозбуждения. У порога генерации колебания по форме практически всегда близки к синусоиде.


"Что касается решения задачи "в лоб" (нахождение временной реализации u(t)), я бы предпочел преобразование Лапласса (если конечно д.у. линейное), там по крайней мере, запаздывание легко описывается.
Поскольку интересует именно "конкуренция мод", не обязательно искать u(t), возможно, достаточно исследовать уравнение на устойчивость? Например, сделать подстановку exp(st) и посмотреть при каких значениях s это комплексная величина."

Так и поступают.
Сначала исходную систему лианеризуют, считая колебания малыми.
В получившееся диф уравнение подставляют exp (pt) или exp(st) и получают алгебраическое уравнение для собственых значений p относительно коэффициента усиления и других параметров колебательной системы.
Решения уравнения комплексные т.е. p=alfa+I*Omega, где alfa коэффициент нарастания (инкремент), Omega частота колебаний.
А можно сделать еще проще.
Сразу записать уравнене для комплексного коэффициента передачи цепи обратной связи K(p)=1 и построить его численное решение в Maple.

А дальше начинаются нелинейные трудности.
Обычно применяют ММА (колебания нарастают медленно, почти гармонические по форме).
Применяют какую либо процедуру усреднения и получают нелинейное ОДУ для амплитуды огибающей A в виде dA/dt=f(A,...).
Потом из правой части f(A0,...)=0 находят стационарное решение A0.
Подставляют малое возмущение A1 в стационарного решения A=A0+A1. Еще раз лианеризуют уже уравнение для огибающей. Далее подставляют A1=exp(pt) и находят как оно себя ведет (нарастают или затухают возмущения).

Если есть две моды, то наверно принцип остается тем же. Составляют два уравнения для огибающих
dA1/dt=f1(A1,A2,..)
dA2/dt=f2(A1,A2,...)
Далее задаются разными начальными условиями A1,A2 и смотрят куда выскакивает решение.
Физически это решение описывает конкуренцию мод (какое колебание установится при нулевой начальной амплитуде) и мультистабильность (при разных начальных условиях разные колебания).

В моей задаче выкладки получаются очень громоздким. Но этими вопросами много занимались, должны быть статьи, книжки, примеры похожих задач и незачем изобретать велосипед.
Т.е. проблема в том, чтобы найти подходящую литературу с подробным разбором методики на примерах.

Иногда проще работать не с системой уравнений, а с выражением для энергии

2 and
Загляните в Блехман И.И. Вибрации в технике том 2: Колебания нелинейных механических систем.

PS: Вы лазерный гироскоп расчитываете?

Загляните в Блехман И.И. Вибрации в технике том 2: Колебания нелинейных механических систем.

Спасибо. Посмотрю.

PS: Вы лазерный гироскоп расчитываете?

В общем да, но пока интересуюсь его простейшей колебательной моделью.