Была на зачете у меня такая задачка, частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина а. И дана в ней волновая функция x*(a - x)
Вот и возникает вопрос - а может ли в такой яме быть такая волновая функция?

А почему бы и нет? Эта функция - просто суперпозиция различных стационарных состояний этой ямы.

Проверьте, удовлетворяет ли ваша функция уравнению Шредингера (просто надо продифференцировать нужным образом по координате и посмотреть), а также граничным условиям - нуль на стенках ямы.

По-моему, это здесь лишнее.

Для бесконечной ямы можно и не проверять - система собственных функций является полной, поэтому любую непрерыфную функцию можно представисть в виде суперпозиции собственных функций.
А для конечной ямы надо проверить - ибо там еще и непрерывный спектр имеется.

2 Relana:
Я имел в виду не это. Рассмотрим волновую функцию

где |1> и |2> собственные состояния потенциальной ямы (пусть даже конечной глубины).
Подставляем в УШ (Вы же имели в виду именно стационарное уравнение, да?)

и убеждаемся, что эта волновая функция ему не удовлетворяет.

Вы меня все не поняли.
Конечно, эта волновая функция не является стационарной. Конечно, никто не мешает представлять ее как суперпозицию чего угодно с чем угодно. Вопрос не в этом.
Есть граничные условия в нуле, там должны быть равны, как я поняла, значения функции слева и справа и производные ее. Значения равны, и слева от 0, и справа нули, а производные не равны?
А может, только значение, а не производная?

На бесконечных стенках такое может быть.

скачок второй производной пропорционален скачку потенциала -
просто потому что вторая производная и потенциал входят в одно и то же уравнение.

В данном случае скачок второй произоводной бесконечный - стало быть, для первой производной будет разрыв, а для самой функции - излом.

Это неправильно. Граничные условия разные в случае скачка потенциала, наличия дельта-функции в потенциале и стенки (те виды потенциала, которые встречаются в наших задачах).
Под стенкой понимается бесконечный скачок, такой, что с одной стороны потенциал имеет конечное значение, а с другой - бесконечно большое. В этом случае на волновую функцию ставится только условие ее равенство нулю на границе "стенки" (и равенство ее нулю везде в области бесконечно большого потенцила, т.е. за стенкой).

То, что не может требоваться непрерывности производных, понять можно следующим образом: а какие функции у стационарного состояния? sinkx (с определенными k). Производная в нуле что дает? 1.

Условия чисто математические, и вытекают из математических свойств уравнения Шредингера,
никакой физики (кроме той, что в самом уравнении) за ними - нет.

Кстати, чего это она не стационарная?

Стационарна, т.е. плотность вероятности неизменна во времени - только собственная функция.
Это синусы всякие с нулем на границе.

Заданную функцию можно разложить по собственным, но суперпозиция даже двух собственных функций с разной энергией не будет стационарной. Достаточно возвести модуль в квадрат и обратить внимание на перекрестные члены - они осциллирующие.

abavaba:частица в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, ширина а. И дана в ней волновая функция x*(a - x). может ли в такой яме быть такая волновая функция?
----------------------------------------------------
Эта функция удовлетворяет граничным условиям, но не являеттся стационарным решением данного уравнения Шредингера с какой-либо энергией. Для того чтобы разобраться с граничными условиями можно использовать яму с конечными стенками, а потом устремить их к бесконечности. В этом простом случае все легко получается.