Вопрос знатокам математики.
Что известно о свойствах функциональных определителей, и какие есть методы их явного вычисления? Приветствуются ссылки на литературу (как книги, так и статьи по теме).
На всякий случай уточню, что речь идет об объекте, для которого справедлива формула:

Здесь A - линейный оператор, отображающий пространство V на себя.

А что за оператор? Как он выглядит примерно?

Напр., можно взять собственные вектора такого оператора А, и тогда detA превратится в определитель обычной матрицы (правда, бесконечной), на диагонали которой будут стоять собственные значения. Или взять полную систему и вычиcлить (i|A|j) на ней. Но тогда сложно подсчитать detA.

По-моему детерминант оператора тесно связан с дзета-функцией оператора.....
сейчас судорожно копаюсь в книжках по функану....

2 ignit0r:
Нда... Вам к Славнову...

Литература - курсы КТП, где применяется "континуальный интеграл".
Времени нет, а так запостю попозже.

В целом, этот объект обычно вообще не существует (причем двояко: формула в первом посте - это тоже, вообще-то, определение). Делают часто вот что: ln Det = Tr ln, а Tr берут как сумму собственных значений. Она расходится, естественно. Поэтому подправляют как-нибудь, например, вставляют множитель типа . Если повезет, то в самый конечный ответ задачи эта Lambda не войдет...

Функан тут порой не поможет, потому что часто с этим делом обращаются очень грубо, так что с точки зрения математики статьи физиков - вовсе бред.

Т.е. в конечном счете все сводится к вычислению собственных значений и их перемножению? А нет ли других, более экономичных способов?

Да, вот это уже интереснее. Собственно, хотелось бы почитать что-нибудь по этому вопросу.

Тогда, скорее, КТП при конечной температуре (задача действительно из этой области).

А искать собственные значения не очень хочется, т.к. A - это дифференциальный оператор первого порядка, но действующий в пространстве двухкомпонентных (спинорных) ВФ. Т.е. задача на собственные функции для него - это уравнение второго порядка с непостоянными коэффициентами.

КТП при конечной температуре: есть, например, Попов В.Н. "Континуальные интегралы в КТП и статистической физике", но она может показаться довольно тяжелой и в ней может не быть ответов на все вопросы. Еще есть Kapusta J. I. "Finite-temperature field theory". Тоже та еще книжка...

Когда дойдет дело до реальных вычислений никакая дзета-функция не поможет!
Просто так избежать решения уравнений движения нельзя. След логарифма - это в некотором смысле тоже определение этой штуки.

Со спинорами - там бывают дополнительные неприятности из-за грассмановости (т.е. там вообще-то Det в числителе оказывается, а не в знаменателе).

О следе оператора и подсчете его хорошо написано у Садовничего. Там же возникает и дзета-функция ....

Да, Садовничий - это наше все!
Только получить zeta(s|L) не выйдет без решения УД все равно. Задачу не обманешь! Точнее, альтернативная техника ее получения сведется к какому-либо хитроумному, возможно, приближенному способу решения УД.

А там как раз этот хитроумный способ и описан.....

Ok, всем спасибо. Пойду читать Попова и Садовничего.

Стандартный способ расчета такого детерминанта - попробовать выразить его через функцию Грина гармонического осциллятора с переменной частотой (или иной подобной системы), а ее, в свою очередь, свести к оператору эволюции для классического осциллятора. Классическую же задачу можно без особых проблем решить численно.

А спрошу-ка я у Арсеньева. Думаю лучше него никто не ответит .
2 OlegShvedov: А как связан след какого-то дифф. оператора с функцией Грина гармонического осцилятора?

2 ivandasch:
Выразите функцию Грина гармонического осциллятора (можно с переменной частотой) через континуальный интеграл; он окажется гауссовским и будет выражаться через детерминант оператора. Кстати, полезено сосчитать функцию Грина гармонического осциллятора с постоянной частотой методом континуального интеграла - там получится бесконечное произведение - и сравнить ответ с известной функцией Грина.

2 OlegShvedov: Спасибо, посмотрю
Малых мне посоветовал почитать книгу Гохберг Крейн "Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов". Говорит, все там есть.

Боюсь, что все несколько сложнее. Реальные системы гораздо сложнее осцилляторов. Каждый непертурбативный результат - по-своему уникален. "Оператор" часто бывает вообще нелинейным (и не-оператором ). Устранение расходимостей и перенормировки - отдельная большая тема. Нужно смотреть именно книги по КТП, чтобы понять как обращаться с этими вещами в реальных ситуациях.

Про осциллятор - это частично изложено в Славнове-Фаддееве.

Посмотрел Гохберга-Крейна: первое впечатление: книга нефизическая, к КТП некоторое отношение хоть имеет, но для расчетов не поможет. Надо будет поглядеть еще.

И оператор будет -(d/dx)^2+U. А у нас в А нет -(d/dx)^2? Ну, подумаешь, пусть тогда так: А=-(d/dx)^2 +(A-(d/dx)^2)=-(d/dx)^2+U. Так что ли?