Народ, помогите, плиз. Что есть: вектор в некоторой точке 1, который надо перенести в точку 2. Известна метрика в точках 1 и 2. Необходимо найти координаты вектора при переносе из т. 1 в т.2. Другими словами, требуется формула преобразования координат, использующая только компоненты g[ik].
Если я некорректно поставил задачу (возможно и такое), укажите, пожалуйста, где именно.

Заранее спасибо!

Точки 1 и 2 близко или не очень? Если не очень, тогда сразу куча вопросов: а) Перенос по геодезической? б) Какая по дороге метрика?

Перенос по геодезической. По дороге метрика Минковского (ну например [-,+,+,+])

Круто. В исходной точке метрика одна, в конечной -- другая, а по дороге -- минковского? Это которая (1, -1, -1, -1), так? Ну или (-1, +1, +1, +1), неважно. Метрика, она, знаете, должна непрерывно от точки зависеть.
Прикол в том, что если надо переносить вдоль некоторого конечного куска геодезической, а не бесконечно малого, то очень важно, как устроено твое многообразие по дороге. А не то, какая там сигнатура метрики -- ясно, что такая же, как в начале и как в конце. Привести пример, когда начало и конец одинаковые, а результат переноса совсем другой из-за того, что по дороге все по-разному?
А вот если точки бесконечно близки, тогда все понятно -- связность Леви-Чивиты по известной формуле и линейное приближение.
Так что надо-то?

Имеется в виду пример при переносе по бесконечно малому замкнутому контуру (там выскакивает тензор кривизны)? Если нет, то приведите, пожалуйста, очень интересно посмотреть...

Точки, увы, не бесконечно близки. Однако, в одной из точек переноса 1 и 2, метрика тоже Минковского. И на пути из 1 (допустим, метрика Минковского у нас есть метрика исходной точки) в 2 пространство плоское! В точке 2 имеется какая-нибудь "загогулина", которая делает пространство там кривым. Причем наверняка в моей задаче (которую я, по понятным причинам, взваливать на Вас целиком не хочу да и не имею права) впоследствии будет использоваться расстояние между пунктами 1 и 2 (которое, опять же, можно измерить, т.к. пространство между ними плоское). Из-за "загогулины" координаты исходного вектора, остававшегося по величине и абсолютным координатам на пути из 1 в 2 постоянным, меняются в точке 2. Это изменение и нужно найти. Я помню формулу преобразования координат, использующую не метрику напрямую, а частные производные новых координат по старым. Но, увы, туплю не по детски и не могу понять, как же свести ее к формуле преобразования, явно использующую компоненты метрики.

Нет, конечно, имеется ввиду не это. Самый простой пример такой:
1. Плоскость. Везде метрика единичная. Как ни таскай, ничего не меняется.
2. Взяли сферу, слегка пристукнули ее молотком, чтобы вокруг каких-нибудь двух точек образовались плоские площадки (естественно, гладко переходящие потом в сферу, без изломов). В этих точках метрика единичная -- так же, как и в пункте 1. Но ясно, что, раз сфера все-таки кривая, вектора, которые мы будем таскать из одной точки в другую, будут крутиться.

Вот это интересно. То есть вдоль пути, по которому мы тащим вектор, метрика не непрерывно меняется, да? В точке 2 у нее скачок?
Нет, я, конечно, понимаю, что такое бывает, например, у конуса бывает вершина. Но если интересуются вершиной кнуса, то таких вопросов ("как переносится вектор") не задают. Там же у кривизны сингулярность! Некорректно так вопрос ставить.
Уж лучше расскажите, что ли, откуда такой вопрос возник, или сформулируйте вопрос корректно.

Пардон, вел в заблуждение Вас, поскольку сам заблуждался. Вопрос решен проще, чем предполагалось. Большое спасибо за обсуждение! Если еще появятся вопросы, буду писать сюда же, чтобы не засорять раздел (если не возражаете).