Прошу помочь разрешить следующий вопрос.
Частица в потенциальной яме находится в состоянии являющемся собственным состоянием оператора энергии. Определена ли эенергия этого состояния?
Импульс в этом состоянии не определен, т.к. частица локализована в пределах размера ямы, и это согласуется с математикой: собственные ф-ии Е не равные нулю в пределах ямы раскладываются по собственным ф-ям оператора P.
Но как быть с энергией? С одной стороны она неопределена, (ибо неопределен P, а потенциальная энергия в ящике определена), а с другой стороны частица же находится в собственном состоянии Е, а потому ее Е определено (сие постулат).
??

Да, по определению собственного состояния оператора.
Неверно, потенц.энергия так же не определена (т.к. она зависит от координаты, а координата не определена)

Спасибо.
1. Но мне непонятно, что значит координата неопределена?. Координата частицы? Ну и ладно. Мы же знаем, что она находится в пределах ямы, я в ней потенциальная энергия постоянна (я это забыл упомянуть в первом вопросе - прошу прощения, рассматривается потенциальный ящик с бесконечными стенками).
2. Ваш ответ не проясняет, то что, как я написал, по постулату частица находящаяся в собственном состоянии обладает определенным значением. (При этом в этом постулате, не имеет значение отсутствие у частицы определенной координаты - т.е. форма потенциальной энергии могла бы быть и другой.)
Из Вашего ответа следует что постулат не верен?

Сообщение отредактировал AndrV - 6.1.2009, 16:05

В случае частицы в ящике (в стационарном состоянии) ее импульс не просто "не определен", а имеет два измеримых значения - +p и -p, измеряемых с равной вероятностью. Поскольку энергия пропорциональна квадрату импульса, для нее получаем одно измеримое значение. Следовательно, она определена. Рассуждение слегка примитивное, но мне оно казалось более или менее осмысленным...

Сообщение отредактировал Марсианин - 7.1.2009, 1:43

Неопределен вектор импульса, но модуль определен (то бишь квадрат импульса).

Спасибо. Непонятно следующее.
Пси ф-я частицы отлична от ноля только в пределах ямы (ограниченной ширины). Каким образом можно разложить такую ф-ю так, чтобы интеграл Фурье (разложение по собственным ф-ям импульса - это по сути разложение Фурье) сводился к сумме только 2-х двух членов, представляющих произведение коэффициентов на экспоненты? На участках, где Пси-ф-я равна нулю, эти два члена не могут дать равную нулю ф-ю (их сумму).
Точно не уверен, но, кажется, есть и теорема, что ф-я отличная от ноля только на конечном промежутке имеет бесконечный спектр.

Сообщение отредактировал AndrV - 6.1.2009, 16:51

В данном случае мы говорим о частице, локализованной в яме. Решение УШ состоит из трех отдельных частей - две вне ямы и одна внутри. Внутри ямы это сумма двух волновых функций с определенными значениями импульса; снаружи - тождественный ноль. Сшиваем из соображений непрерывности.

Нет. Внутри ямы это сумма двух волновых ф-й, каждая из которых представляет собой коэффициент, умноженный на зкспоненту, в показателе которой стоит определенное число (p умноженное на др. коэффициент). Каждая из этих волновых ф-й не является собственной ф-ей оператора импульса (т.к. собственная ф-я этого оператора не равна нулю во всем пространстве) и ее можно разложить по собственным оператора импульса - получится бесконечный спектр (о чем я уже писал).
Т.е. нельзя ф-ю равную собственной ф-ии оператора на конечном промежутке считать собственной ф-й этого опрератора на этом промежутке.
Это ясно и без математики: пусть частица находится в состоянии с ф-ей равной собственной ф-ии оператора импульса только на конечном промежутке и нулю в остальном пространстве. Тогда ясно, что ее импульс неопределен из принципа неопределенности.

Сообщение отредактировал AndrV - 6.1.2009, 18:25

Я это в уме и проделывал до того, как задать вопрос.
Ясно, что энергия частицы вне ямы равна энергии частицы в яме (полная энергия).
Но тем не менее импульс неопределен, и возникает все ж вопрос: как может быть при этом определенная энергия?
Пришел к выводу, что если определяем энергию, то совершено не знаем где это делаем (делаем это везде, оно и ясно: оператор координаты и энергии не коммутируют). И потому рассуждения о том, что импульс неопределен, а потенциальная энергия определена - не верно: потенциальная энергия тоже неопределена и поэтому общая энергия может иметь определенное значение. Но хочется выслушать альтернативные (в хорошем смысле) точки зрения, я такого разбора в учебниках не встречал и хочется математики (хочется математического доказательства на пальцах того, что неопределенные кинетическая и потенциальная энергии дают определенную полную энергию).

Сообщение отредактировал AndrV - 6.1.2009, 19:46

Спасибо за комментарий. На самом деле, логика за моим высказыванием была приблизительно следующая.
Рассмотрим яму бесконечной глубины. Пусть она находится между координатами 0 и 1. Тогда волновая функция за ее пределами равна нулю, а в ней пропорциональна

с энергией относительно дна ямы

Эту волновую функцию можно представить в виде

Экспоненты, если отвлечься на время от ограниченности ямы, представляют собой волновые функции состояний с определенным импульсом

которому соответствует вышеуказанная энергия.
Говоря чуть более строго, эти (экспоненциальные) волновые функции действительно соответствуют определенным импульсам, но представляют собой решения уравнения Шредингера на отрезке [0,1] с несколько необычными граничными условиями. Более того, в определенном смысле (с классической точки зрения) можно интерпретировать это как частицу, осциллирующую в яме, периодически отражаясь от стен. При этом одна волновая функция соответствует фазе движения направо, другая - фазе движения налево. Их суперпозиция и является волновой функцией частицы в яме. Отражение что в нуле, что в единице происходит в противофазе, что и вызывает зануление суммарной волновой функции на краях.

Не могли бы вы сказать, что в этих рассуждениях разумно, а что нет? Или это все - полный бред?

Почему можно "отвлечься" от ограниченности ямы?
Эти - соответствуют (если не уходить в обсуждение того, может ли существовать состояние с определенным импульсом вообще, а функция ли дельта-функция и т.д. ...), но реальная волновая функция частицы в яме не равна суперпозиции этих двух волновых функций. Поэтому импульс частицы имеет неопределенность не меньшую, чем полагается по соответствующему соотношению.

Спасибо.

Спасибо за объяснение.

Цитата(Nacht-Wandler @ 7.01.2009, 2:37)

Почему можно "отвлечься" от ограниченности ямы?

Потому что с точки зрения рассмотрения волновой функции внутри ямы нет разницы между заданием граничных условий на стенках и периодическим продлением на всю ось со сменой фазы. Попытка применения к этой задаче метода зеркальных отображений. Не очень удачная, судя по всему.

Сообщение отредактировал Марсианин - 7.1.2009, 13:24

Речь шла не о периодическом потенциале. Впрочем, дело прошлое...