Парадокс Белла и преобразования Лоренца-Фока - Студенческий форум Физфака МГУ

Парадокс Белла и преобразования Лоренца-Фока, Решение парадокса Белла с помощью преобразований Лоренца-Фока

Котофеич Просмотр профиля	9.11.2007, 14:12 Сообщение #1
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Постановка задачи: Speakable and unspeakable in quantum mechanics. - Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN ISBN 0-521-52338-9 Известная книга, содержащая перепечатку исходной статьи Белла 1976 года. Постановка задачи также имеется здесь http://forum.dubinushka.ru/index.php?showt...11304&st=80 Сообщение #99 Оценка для растяжения троса приведена там же Сообщение #100. На самом деле с помощью преобразований Лоренца можно получить точное выражение для растяжения троса в самом общем случае произвольной зависимости ускорения от времени. В дальнейшем для простоты, мы ограничимся законом предложенным в Сообщение #100. Через $S$ мы обозначим ИСО в которой задан закон движения ракет. Через $S^{'}{(t_{A})}$ мы обозначим ИСО мгновенно сопутствующую левой ракете в момент времени $t_{A}.$ Тогда мгновенная длина троса в ИСО $S^{'}{(t_{A})}$ задается следующим выражением: $(1) L(t ^{'} )=x^{'}_{B}(t^{'})-x^{'}_{A}(t^{'}),$ где $x^{'}_{A,B}(t^{'}) -$ координаты начала и конца тросса, измеренные в ИСО $S^{'}(t_ {A})$ одновременно в некоторый момент времени $t ^{'}$ . Применяя преобразования Лорентца, мы имеем: $(2) x_{A,B}=G(t_{A})(x ^{'} _{A,B}+v(t_{A})t^{'}),$ $(3) t_{A,B}=G(t_{A})(t^{'}+v(t_{A})x^{'}_{A,B}),$ $(4) G(t_{A})=1/(1-v^{2}(t_{A}))^{1/2}.$ В дальнейшем будем предполагать, что начало отсчета ИСО $S^{'} (t_{A})$ совпадает с левым концом троса, т.е. $x^{'} _{A}=0$ и cоответственно $L(t ^{'} )=x^{'} _{B}(t^{'} ).$ Теперь в силу $(2)-(3)$ имеем очевидным образом: $(5) t_{A}=G(t_{A})t^{'},$ $(6) t_{B}=G(t_{A})(t^{'}+v(t_{A})L(t ^{'} )),$ $(7) x_{B}(t_{B})-x_{A}(t_{A})=L(t ^{'} )G(t_{A}).$ В силу заданного ранее закона движения ракет мы имеем: $(8) x_{A}=(1+t^{2}_{A})^{1/2},$ $(9) x_{B}=1+(1+t^{2}_{B}) ^{1/2} ,$ $(10) G(t_{A})=(1+t^{2}_{A})^{1/2},$ $(11) v(t_{A})=t_{A}/(1+t^{2}_{A})^{1/2}$ Преобразуя формулу $(6)$ с учетом формул ( $10)-(11)$ мы имеем: $(12) t_{B}=t^{'}(1+t^{2}_{A})^{1/2} +t_{A}L(t^{'})$ Преобразуя формулу $(7)$ с учетом закона движения ракет и формулы $(10)$ мы имеем: $(13) 1+(1+t^{2}_{B})^{1/2}-(1+t^{2}_{A})^{1/2}=L(t{'})(1+t^{2}_{A})^{1/2}$ Из равенства $(13)$ уже легко получить уравнение относительно неизвестной функции $L(t{'})$ В силу $(5)$ и $(10)$ мы имеем: $(14)t_{A}=t^{'}(1+t^{2}_{A}) ^{1/2}$ Откуда следует равенство: $(15) t^{2}_{A}=t^{'}^{2}}/(1-t^{'}^{2}), 0<t<1$ Теперь остается только преобразовать уравнение $(13)$ с учетом равенств $(12)$ и $(15).$ Далее в результате элементарных преобразований мы имеем: $(16) t_{A}= t^{'}} /(1-t^{'}^{2})^{1/2} , 0<t<1$ $(17) 1+t^{2}_{A}=1+ t^{'}^{2}} /(1-t^{'}^{2}) = 1/(1-t^{'}^{2}) , 0<t<1$ Подставив $(16)-(17)$ в равенство $(12)$ мы имеем $(18) t_{B}= t^{'} (1+t^{2}_{A})^{1/2} +t_{A} L(t^{'} )= t^{'}/(1-t^{'}^{2})^{1/2}+ t^{'}}L(t^{'}) /(1-t^{'}^{2})^{1/2} = t^{'}}[L(t^{'})+1] /(1-t^{'}^{2})^{1/2}$ $(19) t_{B}= t^{'}}[L(t^{'})+1] /(1-t^{'}^{2}) ^{1/2}$ $(20) t ^{2}_{B}= t^{'} ^{2}}[L(t^{'})+1] ^{2} /(1-t^{'}^{2})$ Подставив теперь равенства $(17)$ и $(20)$ в уравнение $(13)$ оканчательно получим следующее уравнение для искомой функции $L(t^{'}):$ $(21) 1+[1+[t^{'} ^{2}}( L(t^{'}) +1) ^{2} /(1-t^{'}^{2})]] ^{1/2} - 1/(1-t^{'}^{2})^{1/2}- L(t^{'})/(1-t^{'}^{2})^{1/2}= 0$ $(22) 1+[1+[t^{'} ^{2}}( L(t^{'}) +1) ^{2} /(1-t^{'}^{2})]] ^{1/2} - [L(t^{'})+1]/(1-t^{'}^{2}) ^{1/2}= 0$ Обозначим $z=[ L(t^{'}) +1]$ , тогда уравнение $(22)$ примет следующий вид $(23) 1+ [1+ (t^{'}z)^{2}/ (1-t^{'}^{2}) ] ^{1/2} - z/ (1-t^{'} ^{2} ) ^{1/2} = 0$ уравнение $(23)$ перепишем в виде $(24) 1+ (t^{'}z) ^{2}/ (1-t^{'}^{2}) = [z/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}-1]^{2}$ или $(25) 1+ z^{2}[t^{'}^{2}/(1-t^{'}^{2})] =z^{2}/ (1-t^{'}^{2}) -2z/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}+1$ В результате элементарных преобразований, получаем линейное уравнение: $(25) z[t^{'}^{2}/(1-t^{'}^{2})] =z/ (1-t^{'}^{2}) - 2/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}$ $(26) z= 2/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}$ $(27) L(t^{'}) =2/ (1-t^{'}^{2}) ^{1/2}-1$ Сообщение отредактировал Котофеич - 11.1.2008, 23:21 -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911 Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

peregoudov Просмотр профиля	10.11.2007, 13:02 Сообщение #2
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Котофеич, допишИте решение до конца, тогда поговорим.

Котофеич Просмотр профиля	10.11.2007, 15:20 Сообщение #3
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Дописал уравнение. Решение допишу завтра. Сообщение отредактировал Котофеич - 10.11.2007, 17:20 -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911 Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

morozov Просмотр профиля	10.11.2007, 17:41 Сообщение #4
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	2 Котофеич все правильно, ответ очевиден. Может немного многословно.... не успел выставить свое ... -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

Котофеич Просмотр профиля	10.11.2007, 17:57 Сообщение #5
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Ну так это не мое. Просто txAlien все время мене долдонил, что это дело можно посчитать элементарно. Вот я и решил проверить... -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911 Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

morozov Просмотр профиля	10.11.2007, 18:28 Сообщение #6
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	Цитата(Котофеич @ 10.11.2007, 17:57) Просто txAlien все время мене долдонил, что это дело можно посчитать элементарно. Вот я и решил проверить... Я с ним согласен. Просто надо немного времени все расписать. А Как у белла решается парадокс с ракетами? В смысле ответ какой? Сайтех не работает. Да еще Перегудов ждет урока по акустике... давно не репетировал а тут надо все доходчиво объяснять ... Сообщение отредактировал morozov - 10.11.2007, 18:34 -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

morozov Просмотр профиля	10.11.2007, 18:39 Сообщение #7
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	Цитата(Котофеич @ 10.11.2007, 15:20) Дописал уравнение. Решение допишу завтра. если получится, постараюсь сегодня выставить на третьем форуме, Потом сравним... тема "Простое решение парадокса Белла" Сообщение отредактировал morozov - 11.11.2007, 2:40 -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

Котофеич Просмотр профиля	11.11.2007, 4:55 Сообщение #8
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Цитата(morozov @ 10.11.2007, 19:28) Цитата(Котофеич @ 10.11.2007, 17:57) Просто txAlien все время мене долдонил, что это дело можно посчитать элементарно. Вот я и решил проверить... Я с ним согласен. Просто надо немного времени все расписать. А Как у белла решается парадокс с ракетами? В смысле ответ какой? Сайтех не работает. Да еще Перегудов ждет урока по акустике... давно не репетировал а тут надо все доходчиво объяснять ... Согласно Беллу, струна растянется http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%...%BB%D0%BB%D0%B0 Но вообще говоря правильное решение можно получить только имея в своем распоряжении правило перехода из ИСО в соответствующую НСО. Простейшие преобразования такого типа, были предложены Ву. Ответ такой же самый т.е. растянется. Вычисления элементарны и приведены в этой статье. http://www.aapps.org/archive/bulletin/vol1...5_p17p21%7F.pdf Мнение специализдов состоит в том, что к великому сожалению мы не знаем истинные физические правила перехода из ИСО в НСО для произвольно больших ускорений. Помимо преобразований Ву, существуют еще и другие, при использовании которых ответ такой, что растянется но не сильно. Сообщение отредактировал Котофеич - 11.11.2007, 5:18 -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911 Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

morozov Просмотр профиля	11.11.2007, 5:00 Сообщение #9
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	Цитата(Котофеич @ 11.11.2007, 4:55) Согласно Беллу, струна растянется перегудовщина! Впрочем среди альтов эта идея бродит. они воспринимают Лоренцево сокращение, как Фицжеральдово ... а это давно проверено в эксперименте .. ...идея такая. если сжать все (все что попадется под руку) но такое сжатие необнаружимо, ... но они не любят писать формулы.... правда излишняя любовь к написанию формул тоже не доводит до добра.. это странно, но факт налицо... Решение выставил, открою завтра... а то шпана начнет пакостить пока я сплю.. Сообщение отредактировал morozov - 11.11.2007, 5:07 -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

morozov Просмотр профиля	11.11.2007, 14:47 Сообщение #10
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	проснулся, открыл, прочитал, понравилось, скопировал на ФИАНовский форум... чмто технически мне проще вытаскивать на сайтех, чем сюда.... - это извинение. Сообщение отредактировал morozov - 11.11.2007, 15:04 -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

morozov Просмотр профиля	11.11.2007, 16:18 Сообщение #11
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	Цитата(Котофеич @ 11.11.2007, 4:55) Согласно Беллу, струна растянется перегудовщина! выставил, открою завтра... а то шпана начнет пакостить пока я сплю.. Цитата(Котофеич @ 11.11.2007, 4:55) Мнение специализдов состоит в том, что к великому сожалению мы не знаем истинные физические правила перехода из ИСО в НСО для произвольно больших ускорений. К счастью в большинстве задач переход в другою систему это всего лишь прием решения задачи .... переход в НСО не обязателен и мы строго можем рассматривать задаче в СТО. Правомочность рассмотрения динамических задач в рамках СТО иногда необоснованные вызывает сомнения. На самом деле сложности вызывает рассмотрение НСО. -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

peregoudov Просмотр профиля	13.11.2007, 22:25 Сообщение #12
ломовая лошадь Группа: VIP Сообщений: 937 Репутация: 50 Предупреждения: (0%)	Котофеич, так я не понял, Вы решение когда-нибудь допишете, или мне можно уже не заглядывать?

morozov Просмотр профиля	16.11.2007, 18:50 Сообщение #13
супер-элита Группа: VIP Сообщений: 785 Репутация: -1 Предупреждения: (0%)	Бурная дискуссия. Ничего не пропустил. Я конечно плохо изложил решение... переделаю... -------------------- ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди. Форум не достоин моего уважения. Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам. Физфак упал низко и продолжает падать....

Котофеич Просмотр профиля	17.11.2007, 1:48 Сообщение #14
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Цитата(morozov @ 16.11.2007, 19:50) Бурная дискуссия. Ничего не пропустил. Я конечно плохо изложил решение... переделаю... Я свое решение вообще не излагал, потому что здесь собрались одни ортодоксы... В СТО эта задача имеет решение вообще говоря только если $c^2/w>L$ где $L-$ расстояние между ракетами. В том случае когда ускорение ракет $w$ достаточно большое так что $c^2/w<L$ расстояние между ними в их СО не определено в обычном смысле, ну например с линейкой ползать там нельзя...аналогично как и в НСО Логунова. На мой взгляд это говорит о том что преобразования Лоренца надо поменять в такой ситуации на более общие. http://arxiv.org/PS_cache/gr-qc/pdf/9905/9905046v1.pdf Сообщение отредактировал Котофеич - 17.11.2007, 2:16 -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911 Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

Котофеич Просмотр профиля	17.11.2007, 2:13 Сообщение #15
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Цитата(peregoudov @ 13.11.2007, 23:25) Котофеич, так я не понял, Вы решение когда-нибудь допишете, или мне можно уже не заглядывать? Что Вы имеете в виду под допишите...? Решить квадратное уравнение. -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911 Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

morozov

17.11.2007, 2:16

Сообщение #16

супер-элита

Группа: VIP
Сообщений: 785
Репутация: -1

Предупреждения:
(0%)

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:13)

Решить квадратное уравнение.

я верю в перегудова года за полтора справится...

!

Предупреждение:
Неконструктив, личные выпады. Предупреждение. Неделя блокировки аккаунта.

Сообщение отредактировал Owen - 17.11.2007, 17:59

--------------------

ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди.
Форум не достоин моего уважения.
Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам.
Физфак упал низко и продолжает падать....

Котофеич

17.11.2007, 2:24

Сообщение #17

живу здесь

Группа: Гуру
Сообщений: 389
Репутация: 1

Предупреждения:
(100%) XXXXX

Цитата(morozov @ 17.11.2007, 3:16)

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:13)

Решить квадратное уравнение.

я верю в перегудова года за полтора справится...

Он же не один работает. У него есть Munin.

!

Предупреждение:
Флуд, неконструктив, личные выпады. Предупреждение.

Сообщение отредактировал Owen - 17.11.2007, 18:02

--------------------

КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911
Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

morozov

17.11.2007, 2:48

Сообщение #18

супер-элита

Группа: VIP
Сообщений: 785
Репутация: -1

Предупреждения:
(0%)

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:24)

Он же не один работает. У него есть Munin.

ну с муниным не пропадешь

!

Предупреждение:
Флуд, оффтопик. Предупреждение.

Сообщение отредактировал Owen - 17.11.2007, 18:03

--------------------

ЭТО форум где заправляют невежды непорядочные люди.
Форум не достоин моего уважения.
Тут позволено оскорблять безнаказанно и модераторы это поощряют. Тут вольготно фрикам и невеждам.
Физфак упал низко и продолжает падать....

Котофеич

17.11.2007, 15:54

Сообщение #19

живу здесь

Группа: Гуру
Сообщений: 389
Репутация: 1

Предупреждения:
(100%) XXXXX

Цитата(morozov @ 17.11.2007, 3:48)

Цитата(Котофеич @ 17.11.2007, 2:24)

Он же не один работает. У него есть Munin.

ну с муниным не пропадешь

не знаю, не уверен.

!

Предупреждение:
Флуд, оффтопик. Предупреждение.

Сообщение отредактировал Owen - 17.11.2007, 18:03

--------------------

КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911
Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.

Котофеич Просмотр профиля	23.11.2007, 22:43 Сообщение #20
живу здесь Группа: Гуру Сообщений: 389 Репутация: 1 Предупреждения: (100%)	Преобразования Лоренца- Фока С. Н. Манида http://www.phys.spbu.ru/library/studentlectures/manida/ Специальная теория относительности построена на линейных преобразованиях Лоренца. Однако, еще в работе В. А. Фока [1]показано, что переход между различными инерциальными системами отсчета может осуществляться дробно-линейными преобразованиями. Явный вид этих преобразований содержит две фундаментальные постоянные разной пространственно-временной размерности. Их можно привести к постоянной $c$ с размерностью скорости и к постоянной $H$ с размерностью обратного времени. Первая из этих постоянных имеет смысл 'скорости света', а вторая - смысл 'постоянной Хаббла'. Картина расширяющейся однородной Вселенной оказывается при таких преобразованиях (в отличие от обычных преобразований Лоренца) ковариантной, а скорость света - зависящей от времени. Такова обычная стандартная интерпретация преобразований Лоренца-Фока. Преобразований Лоренца-Фока, первоначально были получены Фоком исходя из требования форминвариантности уравнения $(S)$ фронта световой волны относительно гладкой замены координат: $x^{'} _{a} =f_{a}(x_{0}, x_{1},x_{2},x_{3}),a=0,1,2,3$ $(S) ({\partial} \omega /{\partial} x_{0} )^{2} -[ ({\partial} \omega /{\partial}x_{1})^{2}+({\partial} \omega /{\partial}x_{2})^{2}+({\partial} \omega /{\partial}x_{0})^{2}+({\partial} \omega /{\partial}x_{3})^{2} ]=0,x_{0}=ct$ Преобразования Лоренца-Фока образуют группу, содержащую в качестве подгруппы группу $F$ изоморфную группе т.н. сингулярных преобразований Мебиуса и подгруппу изоморфную группе Лоренца $L.$ Группу преобразования Лоренца-Фока мы обозначим символом $LF.$ Классический вывод этих преобразований имеется в приложении А книги Фока Фок А.В. Теория пространства времени и тяготения http://jaykovfoukzon.narod.ru/FOK.djvu cat4.JPG ( 83.46 килобайт ) Кол-во скачиваний: 5 Условие форминвариантности уравнения $S$ эквивалентно выделению некоторого класса $F_{c}$ систем отсчета для которых выполнено следующее условие: $(S^{'})$ любое прямолинейное равномерное движение $x= x_{0} +c(t - t_{0} )$ со скоростью света $c$ всегда переходит только в прямолинейное равномерное движение $x ^{'} =x^{'}_{0}+c(t^{'}- t^{'}_{0})$ со скоростью света при переходе из одной СО $Q$ принадлежащей классу $F_{c}$ в любую другую СО $Q^{'},$ принадлежащую этому же классу классу $F_{c}.$ В силу своей существенной нелинейности, преобразования Лоренца-Фока не сохраняют вид функции $x= x_{0} +c(t - t_{0} )$ и таким образом СО из класса $F_{c}$ согласно традиционной точке зрения, не являются инерциальными. Такие СО мы будем называть $c-$ инерциальными СО или фоковскими ИСО. Класс обычных ИСО $L_{c}$ связанных преобразованиями из группы Лоренца, как известно определяется однозначно следующим условием Фока: $(S^{})$ любое прямолинейное равномерное движение $x= x_{0} +u(t - t_{0} )$ со скоростью $u,u \leqslant c$ всегда переходит только в прямолинейное равномерное движение $x ^{'} =x^{'}_{0}+v(t^{'}- t^{'}_{0})$ со скоростью $v,v\leqslant c$ при переходе из одной ИСО $Q$ принадлежащей классу $L_{c}$ в любую другую СО $Q^{'},$ принадлежащую этому же классу $L_{c}$ . Таким образом свойство $(S^{})$ является фундаментальным характеристическим свойством группы Лоренца. Это обстоятельство наводит на мысль, что преобразования Лореца, вообще говоря, могут связывать между собой только такие два множества событий $W$ и $W^{'}$ которые связаны с равномерным движением. В других случаях это возможно только очень хорошее приближение. Таким образом релятивистская механика построенная исходя из требования лоренцинвариантности может носить только приближенный характер, если вопрос касается ускоренного движения тел и даже точечных частиц. Преобразования Фока образуют группу, которая есть некоторое специальное нелинейное представление линейной группы Лоренца, которое в символической записи имеет следующий вид: $1. F=U^{-1}(ct)L(u) U(ct)$ где $L(u)-$ произвольный элемент группы Лоренца, $2.U(ct) x_{a} =U(x_{0})x_{a}= U[{x_{0}( x_{a})] x_{a} =x_{a} /(1- x_{0} R^{-1} ) ,x_{0}=ct,a=0,1,2,3$ Положив $U(x_{0}) x_{a}= y_{a}$ перепишем $(2)$ в виде $2(a).y_{a}=x_{a} /(1- x_{0} R^{-1} )$ Откуда имеем следующие равенства: $2(0).y_{0}= x_{0} /(1- x_{0} R^{-1} )$ $2(i).y_{i}=x_{i} /(1- x_{0} R^{-1} ), i=1,2,3$ В силу равенства $2(0)$ мы имеем: $2^{'}(0) x_{0}= y_{0}/(1+y_{0} R^{-1})$ В силу равенства $2(i)$ мы имеем: $x_{i}=y_{i} (1- x_{0} R^{-1} ), i=1,2,3.$ Подставив в последнее равенство выражение $2^{'}(0)$ получим $2 ^{'} (i).x_{i}=y_{i} /(1+y_{0} R^{-1} ), i=1,2,3.$ Таким образом для обратного оператора $U^{-1}(x_{0})x_{a}$ мы имеем выражение: $2^{'}.U^{-1}(ct)x_{a}= U^{-1}(x_{0})x_{a} =x_{a} /(1+x_{0} R^{-1} ) ,x_{0}=ct,a=0,1,2,3$ Детали имеются например в этой статье: http://lanl.arxiv.org/abs/hep-th/0112090v2 Lorentz invariance with an invariant energy scale http://lanl.arxiv.org/PS_cache/hep-th/pdf/0112/0112090v2.pdf http://lanl.arxiv.org/format/hep-th/0112090 Authors: Joao Magueijo, Lee Smolin (Submitted on 11 Dec 2001 (v1), last revised 18 Dec 2001 (this version, v2)) Abstract: We propose a modification of special relativity in which a physical energy, which may be the Planck energy, joins the speed of light as an invariant, in spite of a complete relativity of inertial frames and agreement with Einstein's theory at low energies. This is accomplished by a non-linear modification of the action of the Lorentz group on momentum space, generated by adding a dilatation to each boost in such a way that the Planck energy remains invariant. The associated algebra has unmodified structure constants, and we highlight the similarities between the group action found and a transformation previously proposed by Fock. We also discuss the resulting modifications of field theory and suggest a modification of the equivalence principle which determines how the new theory is embedded in general relativity. В силу $(1),(2), (2^{'})$ мы имеем: $3. t^{'}= G(u) (t-ux/c^{2})/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$ $4.x^{'}=G(u)(x-ut)/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$ $5.y^{'}=y/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$ $6.z^{'}=z/[1+cR^{-1}(G(u)-1)t-R^{-1}G(u)ux/c]$ где $G(u)=1/( 1 -u^{2}/c^{2} )^{1/2}.$ Покажем, что это действительно так. Вычислим значение вектора $z_{a} = L(u) U[x_{0}(x_{a})] x_{a} =L(u) y_{a}$ где вектор $y_{a},а=0,1,2,3$ задан формулой $2(a).$ Таким образом $z_{0} = G(u)[ x_{0} -ux_{1}/c] / (1- x_{0} R^{-1} ) ,$ $z_{1} = G(u)[ x_{1} -ux_{0}/c] /(1- x_{0} R^{-1} ),$ $z_{2} = x_{2} /(1- x_{0} R^{-1} ),$ $z_{3} = x_{3} /(1- x_{0} R^{-1} ).$ Вычислим теперь значение вектора: $x^{'}_{a} = U[z_{0}(z_{a})] z_{a}=z_{a}/ ( 1+z_{0} R^{-1} ) ,a=0,1,2,3$ Учитывая элементарное тождество: $1+z_{0} R^{-1} =1+ G(u) [ x_{0} -ux_{1}/c] R^{-1} /(1- x_{0} R^{-1})=$ $= [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c] /(1- x_{0} R^{-1} )$ окончательно получаем следующие равенства: $x^{'}_{0} = G(u)[ x_{0} -ux_{1}/c]/ [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$ $x^{'}_{1} = G(u)[ x_{1} -ut/c]/ [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$ $x^{'}_{2} = x_{2} / [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$ $x^{'}_{3} = x_{3} / [1+[G(u)-1]R^{-1} x_{0}-R^{-1}G(u)ux_{1}/c]$ Полученные равенства, с точностью до обозначений совпадают с равенствами $(3)-(6)$ Преобразования Лоренца-Фока (3)-(6) имеют следующий инвариант: $7.s^{2}_{F}=[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}]/(1-c R^{-1} t)^{2}=inv$ В силу $(7)$ в результате стандартных преобразований мы имеем следующее выражение для квадрата дифференциала длины дуги $ds^{2}_{F}$ $7a. ds^{2}_{F}=[ (1-r^{2}/R^{2}) c^{2}dt ^{2}- (1-ct/R) ^{2} dr^{2}+2cdt(1-ct/R)rdr/R]/(1-ct/R)^{4}.$ В силу $(7a)$ в результате стандартных преобразований мы имеем следующее выражение для $ds^{2}_{F}$ $7^{'} ds ^{2} _ {F} = c^{2}dt ^{2} [1-(u/c-ut/R+r/R)^{2}]/ (1-ct/R)^{4}, u=dr/dt$ и для $ds^{2}_{F} \geqslant 0:$ $7^{''} ds _ {F} = cdt [1-(u/c-ut/R+r/R)^{2}]^{1/2}/(1-ct/R)^{2}, u=dr/dt$ Параметр $R$ обычно интерпретируют как некоторый очень большой инвариантный пространственный масштаб. Очевидно что при такой интерпретации, релятивистская механика, построенная на основе преобразований Фока будет отличаться от обычной релятивистской механики, только если величинa $xu/cR$ будет порядка 1 или более того. Такая интерпретация этих преобразований, обычно используется при построении космологических моделей с переменной скоростью света. Мы будем пользоваться другой интерпретацией, рассматривая параметр $R^{-1}$ как характерный масштаб ускорений, см. МТУ Т1. стр.209. При такой интерпретации например пространственному масштабу в 1 световой год будет соответствовать ускорение порядка $10 m^{2}/sec^{2}$ В дальнейшем мы будем предполагать что размеры ускоренно движущихся тел, намного меньше масштаба $R$ , т.е. $8.x/R<<1$ . В ультрарелятивистском случае, т.е. когда $G(u)>>1$ формулы $(3)-(4)$ принимают следующий вид: $9. t^{'}=(t-ux/c^{2})/[ctR^{-1}-R^{-1}ux/c],$ $10.x^{'}=(x-ut)/[ctR^{-1}-R^{-1}ux/c].$ Учитывая условие (8) имеем $11. t^{'}=(t-ux/c^{2})/[ctR^{-1}],$ $12.x^{'}=(x-ut)/ [ctR^{-1}] .$ Из $(11)-(12)$ обычным образом получаем формулу для преобразования длины $L_{0}$ стержня, покоящегося в штрихованой ИСО $S{'}$ при переходе из ИСО $S{'}$ в ИСО $S:$ $13. L=L_{0}[ctR^{-1}].$ Запишем величину $R^{-1}$ в эквивалентном виде $R^{-1}=w/c^{2},$ где параметр $w$ имеет размерность ускорения $m^{2}/sec^{2}.$ Тогда равенства $(3)-(7)$ примут следующий вид: $14. t^{'}=G(u)(t-ux/c^{2})/[1+(G(u)-1) (wt/c) -G(u)uxw/c^{3}]$ $15.x^{'}=G(u)(x-ut)/[1+(G(u)-1)(wt/c)-G(u)uxw/c^{3}]$ $16.y^{'}=y/[1+(G(u)-1)(wt/c)-G(u)uxw/c^{3}]$ $17.z^{'}=z/[1+(G(u)-1)(wt/c)-G(u)uxw/c^{3}]$ $18.s^{2}_{F}(w)=[c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}]/(1-w t/c)^{2}=inv$ Таким образом параметр $R^{-1}=w/c^{2}$ может быть интерпретирован как некоторый характерный инвариантный масштаб ускорения. В нерелятивистском случае, т.е. когда $\|u\|<<c$ мы имеем $G(u)=1+u^{2}/2c^{2}$ и равенства $(14)-(17)$ примут следующий вид: $19. t^{'}=(t-ux/c^{2})/[1+u^{2}wt/2c^{3} -uxw/c^{3}]$ $20.x^{'}=(x-ut)/[1+u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}]$ $21.y^{'}=y/[1+u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}]$ $22.z^{'}=z/[1+u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}]$ Таким образом преобразования Лоренца-Фока, вносят существенную коррекцию в классическую механику при больших ускорениях, т.е. в тех случаях когда величина $23. u^{2}wt/2c^{3}-uxw/c^{3}$ стремится к $1.$ Для $s^{2}_{F}(w)$ мы имеем в силу $(7a)$ следующее выражение: $24. ds^{2}_{F} (w) =[ (1-w^{2}r^{2}/c ^{4}) c^{2}dt ^{2}- (1-wt/c) ^{2} dr^{2}+2cdt(1-wt/c)rdr/R]/(1-wt/c)^{4}.$ В силу $(7^{'})$ для $ds^{2}_{F}(w)$ мы имеем также выражение $25. ds ^{2} _ {F}(w) = c^{2}dt ^{2} [1-(u/c-uwt/c^{2} +wr/c^{2}) ^{2} ]/ (1-wt/c)^{4}, u=dr/dt$ и для $ds^{2}_{F}(w) \geqslant 0:$ $26. ds _ {F}(w) = cdt [1-(u/c-uwt/c+wr/c^{2})^{2}]^{1/2}/(1-wt/c)^{2}, u=dr/dt$ Необходимо отметить также, что введенные выше *дробно линейные преобразования Фока, сохраняют уравнение фронта световой волны.* Доказательство см. http://forum.dubinushka.ru/index.php?s=&am...st&p=371221 Другими словами, условие $()x-ct=0$ влечет условие $()x^{'}-ct^{'}=0$ $()\Rightarrow ()$ II. Нелинейные представление обобщенной группы Лоренца. Обобщенные преобразования Фока. Напомним, что под обобщенной ИСО понимают такую ИСО квадрат интервала которой имеет следующий вид: $ds^{2}=c^{2}g_{00} dt^{2}+2cg_{01}dxdt +g_{11}dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}$ Или в эквивалентной записи через координатную скорость света [Логунов cтр.105 (12.11)]: http://jaykovfoukzon.narod.ru/LOGUNOV.djvu $ds^{2}=c^{2} g_{00} [dt^{2}-( c_{1}^{-1} + c_{2}^{-1}) dxdt +dx^{2}c_{1}^{-1}c_{2}^{-1}]-dy^{2}-dz^{2}$ где $c_1,c_2-$ координатные скорости света вдоль оси $x.$ Мы будем рассматривать только случай, когда обобщенная ИСО получена из галилеевой ИСО путем преобразования координат $x^{'}=x+ut, t=t^{'},$ тогда $g_{00}=1-u^{2}/c^{2}, g_{01}=u/c,g_{11}=-1,$ $c_1 =c \frac {-g_{01} -\sqrt{g_{01}^{2}-g_{00}g_{11}}} {g_{11}}=u+c$ $c_2 =c\frac {-g_{01} +\sqrt{g_{01}^{2}-g_{00}g_{11}}} {g_{11}}=u-c$ Рассмотрим теперь нелинейное представление обобщенной группы Лоренца, преобразования которой $L(u,c_{1},c_{2})$ имеют следующий вид: $(2.1)x^{'}=\frac {x+ut} {\sqrt{(1+ u/ c_{1} )(1 +u/ c_{2} )}}$ $(2.2)t^{'}=\frac{t(1+u/c_{1}+u/c_{2})-xu/c_{1}c_{2}}{\sqrt{(1+ u/c_{1} )(1 +u/c_{2} )}}$ $(2.3) y^{'}=y, z^{'}=z.$ Сообщение отредактировал Котофеич - 12.1.2008, 0:00 -------------------- КОТ СПАС ЖИЗНЬ ХОЗЯИНУ, ПОЗВОНИВ В 911** Прошу также учесть, что кот это очень древнее и неприкосновенное животное.