15.04.03
Потенциальные, соленоидальные и
гармонические
поля
1. Потенциальное поле
Пусть есть две точки А и В.
Пусть
- поле.
Поле называется потенциальным, если выполняется одно из условий:
1) 
2) 
. Если это выполнено, то U называется потенциалом поля.
, где 
- гравитационное поле
является потенциальным: 
.
Поле 
называется центральным,
если 
Отсюда следует,
что потенциально:
При этом, 
. Следовательно, 
и выполняется первое
из условий потенциальности поля. Поэтому любое поле вида 
- потенциальное,
значит, можно найти его потенциал.
Рассмотрим
функцию 
. Докажем, что
:
. Аналогично получим,
что 
и 
. Следовательно, всякое центральное поле - потенциально.
2. Соленоидальное поле
Поле 
- соленоидальное,
если его дивергенция равна нулю:
.
По формуле Гаусса-Остроградского:
Поток соленоидального поля через любую поверхность равен
нулю. Соленоидальные поля характерны для движения потоков жидкостей и газов.
Поток
через боковую поверхность Sбок всегда равен
нулю, так как направлен по
касательной к этой поверхности.
Поток через S1 равен потоку через S2 с обратным знаком - 'сколько вошло, столько вышло'.
Утверждение:
Если поле - соленоидальное, то
оно является ротором поля 
, то есть если 
, то 
, где - векторный потенциал.
Поэтому 
. Докажем это:
.
,
Докажем также,
что
:
. Доказано.
Рассчитаем площадь поверхности сферы:
Пусть дана сфера
радиуса ε с центром в точке 
.
Пол
теореме о среднем:
Перейдем к пределу:
.
Это
выражение можно рассматривать, как определение дивергенции. Из него видно, что
дивергенция не зависит от системы координат, в которых решается задача.
Дивергенция
- это интенсивность потока поля. Аналогично, ротор - завихренность поля . В некоторых учебниках ротор называется вихрь.
Ротор является инвариантом относительно системы координат.
3. Гармоническое поле
Гармоническим называется поле, для которого и ротор и дивергенция равны нулю.
и
.
Это выражение - уравнение Лапласа. Его решением является гармоническая
функция, поэтому поле, обладающее такими свойствами, называется гармоническим.
ПРИМЕР:
В качестве примера рассмотрим гравитационное поле, которое является единственным центральным полем, одновременно имеющим свойства гармонического.
Докажем, что всякое центральное гармоническое поле - гравитационное и наоборот.
1. 
. Это условие проверено выше.
2. . Используем это условие:
. Пусть 
, тогда
.
Отсюда получаем:
. Интегрируя обе части по t, получим:
,
. Отсюда, возвращаясь к 
, получим, что 
. Следовательно, так как 
, окончательно получаем, что 
, а это по определению - гравитационное поле.