Лекция 7

Формула Гаусса-Остроградского

Формула Гаусса-Остроградского является одной из наиболее важных формул в векторном анализе. Она связывает поток векторного поля через замкнутую поверхность с напряженностью векторного поля внутри замкнутой поверхности. Для векотрного поля :

,

причем поверхностный интеграл потока векторного поля берется по поверхности через внешнюю сторону (вектор нормали к поверхности направлен 'наружу'). Правую часть формулы можно переписать в виде:

, где - дивергенция векторного поля , - оператор Гамильтона (набла).

Формула Гаусса-Остроградского справедлива, если выполняются два условия. Во-первых, поверхность S должна быть кусочно-гладкой, т.е. такой, что в любой ее точке можно провести касательную плоскость (поверхность задается дифференцируемыми функциями) и двусторонней (направление нормали при движении вдоль поверхности сохраняется. Во-вторых, векторное поле должно быть таким, что функции и их частные производные по x, y и z непрерывны в области V.

Другие варианты формулы Гаусса-Остроградского.

Запишем выражение для вектора нормали: , где - углы,

γ   β   α   x   y   z

которые вектор нормали составляет с осями координат. . Отсюда

Кроме того, имеет место следующая формула:

Доказательство формулы (1 вариант):

Представим векторное поле в виде суммы векторных полей: , где , найдем потоки этих векторных полей по отдельности, а затем сложим их.

Рассмотрим сначала случай поля . Замкнутая поверхность является цилиндроидом, ограниченным сверху и снизу поверхностями, заданными в явном виде: (снизу) и

y   D   S3 z=z2(x,y)   S1 z=z1(x,y)   x   S2   z	(сверху). Поверхность S состоит из нижней S1, боковой S2 и верхней S3 поверхностей. Рассмотрим поверхностный интеграл по S1. D - проекция S1 на плоскость xy. Координаты вектора нормали: .

Так как вектор нормали направлен вниз (координата по z отрицательна), то в формуле для нужно выбрать знак '+'. .

D

Дифференциал поверхности равен: Отсюда Интеграл по боковой поверхности S₂. Вектор нормали , так как нормаль параллельна плоскости xy. . Какая бы ни была боковая поверхность, интеграл по ней равен нулю:

Интеграл по поверхности S₃Рассматривается аналогично интегралу по поверхности S₁ с той разницей, что вектор нормали направлен в противоположную сторону - вверх:. Скалярное произведение на вектор нормали: , дифференциал поверхности:

Сложим интегралы по поверхностям S₁, S₂ и S₃:

Рассмотрим тройной интеграл по объему V:

Таким образом, для векторного поля формула Гаусса-Остроградского доказана.

Аналогично доказывается формула, если взять поле , и в качестве замкнутой поверхности взять цилиндроид, ось которого направлена вдоль оси y.

(доказывается аналогично)

Аналогично и для поля :

Если взять поле , то - формула Гаусса-Остроградского в общем виде верна.

При доказательстве мы использовали замкнутую поверхность, которая может быть представлена как цилиндроид с осью, направленной вдоль осей x, y или z. Такой поверхностью является прямоугольный параллелепипед. Если рассмотреть произвольную поверхность, то справедливость формулы не очевидна.

Разобьем произвольную поверхность на две - S₁ и S₂.

Проинтегрируем векторное поле по каждой поверхности и сложим. Получатся интегралы по S₁, S₂ и два интеграла по сечению. Интегралы по сечению отличаются только знаком (так как векторы нормалей направлены в разные стороны), они уничтожаются при сложении. Поэтому поверхность можно разбивать на части, интегрировать по ним, результаты складывать.

Произведем сечение замкнутой поверхности большим числом перпендикулярных плоскостей. Формула Гаусса-Остроградского будет верна всюду, кроме границ поверхности, на границах становится справедливой при устремлении диаметра разбиения к нулю. Отсюда следует, что формула Гаусса-Остроградского справедлива для любой кусочно-гладкой поверхности.

Пример.

В качестве поля возьмем радиус-вектор: , S - сфера радиуса R с центром в начале координат.

Для нахождения потока вектора воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:

 

Формула Ньютона-Лейбница представляет интеграл по отрезку по значениям первообразной на границах отрезка. Формула Гаусса-Остроградского представляет собой, по существу, то же самое (вместо отрезка - объем, вместо границ отрезка - замкнутая поверхность). Эту формулу, как и формулу Грина, можно считать обобщением формулы Ньютона-Лейбница.