25.03.03
Площадь поверхности
Если определять площадь по-верхности объемной фигуры по ана-логии с пло-ской поверхностью, как точная нижняя грань суммы площа-дей граней описанного многогран-ника, то полученный результат бу-дет неверным. Докажем это:
Пусть
дан цилиндр с радиусом r и высотой h. По
известной формуле площадь его боковой поверхности равна:
Найдем теперь площадь цилиндра, как точную нижнюю грань площадь опи-санного многогранника.
Разобьем
цилиндр на m дисков, каждый диск - на n треугольников со стороной а (см. рис.). Их суммарная площадь будет равна 2nmS
, а площадь цилиндра равна:
Из
треугольника на рисунке 
видно, что
Так как 
, значит, поскольку 
, получим
и 
(т.к. 
).
и
.
Необходимо проверить, что 
.
Это равно: 
. Отсюда получим, выбирая m = n2: 
. Этот пример называется сапог Шварца.
Поэтому для определения площади используют следующую модель. Пусть:
.
Функция f(x,y) дифференцируема в любой точке из D, следовательно, в любой точке S существует каса-тельная плоскость.
Теперь
разобьем компакт D и спроектируем разбиение на S. В i-м элементе разбиения
возьмем точку 
и построим в ней каса-тельную
плоскость. Теперь спроек-тируем i-й элемент Di компакта D на эту плоскость. Получим
плоскую область Si. Площадь S определяется, как 
, если существует интегральная сумма 
T (см. рис.).
- нормальный век-тор, ni - косинусы
углов наклона этого вектора к осям координат:
.
Между Di и Si существует следующая связь:
где γ - угол наклона нормали к оси z. Отсюда получим:
.
Нормаль имеет следующие координаты:
.
+ в этом выражении появляется из-за того, что нормаль может иметь два про-тивоположных направления - 'вверх' и 'вниз', поэтому для определенности рас-сматриваются двухсторонние поверхности.
Определение: двухсторонней поверхностью называют такую поверхность, в каждой точке которой нормаль определена однозначно.
При движении по любой кривой на этой
поверхности нормаль к поверхности определяется однозначно.
ПРИМЕР:
Односторонняя поверхность - лента Мебиуса:
Для
определенности в расчетах будем использовать 
.
, 
Площадь
поверхности, заданной уравнением 
вычисляется по формуле:
(1)
В общем случае, площадь поверхности определяется в параметрическом виде:
Уравнение нормали.
Обозначим
Зафиксируем переменную v. Тогда x, y, z - функции, зависящие от и, и задающие на поверхности S координатную линию. Аналогично, фиксируя u, получим другую координатную линию на поверхности. В результате последовательного фиксирования v и u получим координатную сетку на S.
(2)
Если 
, то поверхность S - вырождена.
Перепишем уравнение (1), учитывая (2):
Модуль векторного
произведения 
можно представить так:
Пусть и 
. Тогда уравнения для 
и 
будут выглядеть так:
ПРИМЕРЫ:
1) Площадь боковой поверхности цилиндра.
и
Тогда:
.
2)
Площадь сферы.
, где
,
, поэтому
.
Поверхностные
интегралы
Поверхностные интегралы первого рода:
.
- невырожденная поверхность.
Если
.
Поверхностные интегралы второго рода:
Пусть есть вектор функция 
. Выберем положительную нормаль:
, тогда
, где
.
Если S такова, что , тогда:
. Таким образом, получаем:
ПРИМЕР:
.
Уравнение поверхности сферы: 
. Зададим сферические координаты:
. Тогда
, где
Следовательно, поверхностный интеграл запишется, как:
.